人教A版选修2-2《函数单调性与导数》课件(共33张ppt).ppt

1、函数单调性与导数,高二数学 选修2-2 第一章 导数及其应用,问题1导数的定义与几何意义是什么.,几何意义：函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0), 就是曲线y=f(x) 在点 P(x0, f(x0) 处的切线的斜率.,问题2函数单调性的定义是什么？,一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于 区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，有,(1)若f(x1)f (x2) ，那么f(x)在这个区间上是增函数.,(2)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.,(2)作差f(x1)f(x2) (作商),用定义证明函数的单调性的一般步骤：,(1)任取x

2、1、x2D，且x1 x2.,(4)定号(判断差f(x1)f(x2)的正负)(与比较),(3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式),(5)结论,（1）观察法:观察图象的变化趋势; （2）定义法:,问题3判定函数单调性的方法有哪些？,4.讨论函数y=x24x3的单调性.,定义法,单增区间：(，+).,单减区间：(，).,图象法,5.确定函数f(x)=xlnx在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?,提出问题:(1)你能画出函数的图象吗?(2)能用单调性的定义吗?,发现问题:定义是解决单调性最根本的工具,但有时很麻烦,甚至解决不了.尤其是在不知道函数的图象的时候,如该例,这就需要我们寻求一个新

3、的方法来解决,函数的单调性可简单的认为是：,说明函数的变化率可以反映函数的单调性， 即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.,1. 函数单调性与其导数正负的关系：,函数 为常函数.,例1 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:,解:,(1) 函数定义域为R,因此, 函数 在 上单调递增.,(2)函数定义域为R,当 , 即 时, 函数 单调递增;,当 , 即 时, 函数 单调递减.,即单调增区间为(-,+).,因此单调增区间为(1,+)；减区间为(- ,1).,例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:,解:,(3)函数定义域为,因此, 函数 在 上单调递减.,即单调增区间为,练习：求下

4、列函数的单调区间.,变式2：求 的单调减区间,利用导数求函数单调区间的一般过程：,先求函数f(x)的定义域,证明： f(x)=2x-sinx在R上为单调增函数,练习：求证： 内是减函数,方程根的问题求证：方程 只有一个根。,已知：x0，求证：xsinx. 解析 设f(x)xsinx (x0) f(x)1cosx0对x(0，)恒成立 函数f(x)xsinx在(0，)上是单调增函数 又f(0)0f(x)0对x(0，)恒成立 即：xsinx (x0),不等式证明问题,函数单调性决定了函数图像的大致形状，如何根据导数信息来画函数的简图呢？,例1 已知导函数 的下列信息:,当1 x 4 时,当 x 4

5、, 或 x 1时,当 x = 4 , 或 x = 1时,试画出函数 的图象的大致形状.,解:,当 x = 4 , 或 x = 1时,综上, 函数 图象的大致形状如右图所示.,当1 x 4 时, 可知 在此区间内单调递增;,当 x 4 , 或 x 1时, 可知 在此区间内单调递减;,A,变式练习1：已知函数f(x)的导函数 的图像如下图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是 ( ),(A),(B),(C),(D),C,高,考,试,尝,设 是函数 的导函数， 的图象如 右图所示,则 的图象最有可能的是( ),A,例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中

6、, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.,(A),(B),(C),(D),h,t,O,h,t,O,h,t,O,h,t,O,（1）,（2）,（3）,（4）,（1）（B），（2）（A），（3）（D），（4）（C）,求参数取值范围问题,在某个区间上， ，f（x）在这个区间上单调递增 （递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而 仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于0 也能使f（x）在这个区间上单调,解：,因为函数在（0，1上单调递增,解析 解法一：(区间法) f(x)x2axa1，令f(x)0，所以x1或xa1. 当a11，即a2时，函数f(x)在(1，)内单调递增，不

7、合题意 当a11，即a2时，f(x)在(，1)和(a1，)上单调递增，在(1，a1)上单调递减，由题意知：(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)， 所以4a16，即5a7.,解法二：(转化为不等式的恒成立问题) f(x)x2axa1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f(x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1,4)上恒成立，所以ax1，因为2x15，所以当a5时，f(x)0在(1,4)上恒成立， 又因为f(x)在(6，)上单调递增，所以f(x)0在(6，)上恒成立，,所以ax1，因为x17，所以a7时，f(x)0在(6，)上恒成立由题意知5a7.,解法三：(数形结合) 如图所示，f(x)(x1)x(a1)若在(1,4)内f(x)0，(6，)内f(x)0，且f(x)0有一根为1，则另一根在4,6上,