1、化工问题的建模与数学分析方法 Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering,第三章 一阶偏微分方程1、特征线法 2、非线性波与追赶现象,第三章一阶偏微分方程特征线法,1.1 一阶偏微分方程的定解问题 偏微分方程与常微分方程求解思路的不同常微分方程：求方程通解，初、边值定常数一阶偏微分：求方程通解，初、边值确定任意函数二阶偏微分：不求通解，从问题出发求解例，一阶PDE通解,第三章一阶偏微分方程特征线法,初值问题（Cauchy问题）初、边值问题（Riemann问题）,第三章一阶偏微分方程特征线法,一般的一
2、阶拟线性偏微分方程的问题,第三章一阶偏微分方程特征线法,1.2 特征线法的几何原理向量 ( P, Q, R ) 与解曲面u=u(x,y)的法线方向相互垂直，与 ( P, Q, R ) 共线的线元(dx, dy, du)必定满足偏微分方程，称为特征曲线，经过初始曲线的特征曲线的全体构成解曲面u=u(x,y) 。,第三章一阶偏微分方程特征线法,第三章一阶偏微分方程特征线法,第三章一阶偏微分方程特征线法,因此，特征线法的求解思路是用特性曲线来编织解曲面1。求出与向量场( P, Q, R ) 共线的特征曲线；2、让该曲线通过初始曲线,第三章一阶偏微分方程特征线法,特征线方程解x=x(s), y=y(s
3、), u=u(s)含任意常数，由初始曲线确定,第三章一阶偏微分方程特征线法,解曲面由以下双参变量形式给出参变量s 沿特征曲线方向变化，参变量 沿初始曲线方向变化。,第三章一阶偏微分方程特征线法,例2.1 特征线方程初始曲线,第三章一阶偏微分方程特征线法,解出 消去参变量,第三章一阶偏微分方程特征线法,以积分常数形式给出的特征线解 特征方程通解 初始曲线限制 解曲面,第三章一阶偏微分方程特征线法,例2.3 特征方程通解 解曲面由初值 得解,第三章一阶偏微分方程特征线法,1.3 特征线法的物理意义波 动物理量在空间的传播过程 特征线物理量的传播轨迹，沿该轨迹的变化关系例1管道中的溶质输送问题,第三
4、章一阶偏微分方程特征线法,特征线 初始曲线 解得,xvt,第三章一阶偏微分方程特征线法,图象矩形方波以速度v 传播,第三章一阶偏微分方程特征线法,x-t 平面的特征线及图解法,第三章一阶偏微分方程特征线法,例2线性色谱问题特征线,第三章一阶偏微分方程特征线法,x轴给出的初值的解 t 轴给出的边值的解,第三章一阶偏微分方程特征线法,x-t 平面的特征线,第三章一阶偏微分方程特征线法,斜坡输入时的图象,第三章一阶偏微分方程特征线法,例3 有化学反应时的色谱波动图象 浓度沿特征线传播时呈指数衰减线性波的特点波速与因变量无关保持初始间断和光滑性质不变特征线不相交,第三章一阶偏微分方程追赶现象,2 非线
5、性波与追赶现象1。追赶问题稀疏波身高曲线初始分布,第三章一阶偏微分方程追赶现象,特征线解得,第三章一阶偏微分方程追赶现象,图象稀疏波,第三章一阶偏微分方程追赶现象,2。追赶问题激波 初始分布：前低后高解得,第三章一阶偏微分方程追赶现象,图象,第三章一阶偏微分方程追赶现象,特点追赶，特征线相交，不真实的多值分布，非线性本征属性 原因：形成强间断激波，微分方程失效问题：补充间断面上的关系,第三章一阶偏微分方程追赶现象,3。激波间断关系,第三章一阶偏微分方程追赶现象,激波间断关系熵条件处理含间断问题的原则：分段求解,第三章一阶偏微分方程追赶现象,例1 含有激波的追赶问题间断条件初值,第三章一阶偏微分
6、方程追赶现象,图象,第三章一阶偏微分方程追赶现象,例2 非线性吸附反应器,第三章一阶偏微分方程追赶现象,特征曲线波速,第三章一阶偏微分方程追赶现象,激波间断条件特征线光滑解,第三章一阶偏微分方程追赶现象,将光滑解代入激波间断条件，解出激波轨迹,第三章一阶偏微分方程追赶现象,图象,第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题,3 化学剂段塞的色谱运动 问题,第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题,物理图象：前沿激波； 后缘中心稀疏波激波与稀疏波相互作用,第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题,特征线,第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题,解题思路1。运动初期：激波与稀疏波互不干扰，分别求解；2。运动后期：后缘侵蚀，稀疏波与
7、激波联立求解。,第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题,问题,第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题,特征线方程初始曲线,第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题,1。运动初期 激波稀疏波平台区,第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题,2。运动后期 激波（浓度在变化）稀疏波（给出激波浓度） 联立得到,第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题,激波轨迹激波浓度段塞宽度,第三章一阶偏微分方程小结,1、关于特征线法几何上，一阶偏微分方程可以看成向量（P, Q, R ) 与曲面法向 之间的正交关系.特征线法就是先由向量（P, Q, R )求出满足方程的特征线，再以此为元素构造出解曲面。物理上，波动总是从初始曲线出发沿特征线传播，特征线方程给出了波的速度和传播中的变化关系。,第三章一阶偏微分方程小结,2、关于非线性波动的概念线性波的波速与因变量无关，传播过程中保持初始间断或光滑性质不变，特征线不相交。非线性波容易发生追赶，形成稀疏波和激波，其类型与通量曲线的性质和初始分布状况两方面因素有关。处理激波问题的思路是：分段求解，联立确定。,谢 谢,
