1、概率论与数理统计,区间估计 正态总体均值与方差的区间估计（1）,2,我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.,这里所说的“可靠程度”可用概率来度量的，称为置信概率、置信度或置信水平.,点估计值仅仅是未知参数的一个近似值。,它没有反映出这个近似值的误差范围.,3,置信水平的大小是根据实际需要选定的.,例如，通常可取置信水平 =0.95或0.9等.,4,寻找置信区间的方法,一般是从确定误差限入手.,使得,称 为 与 之间的误差限 .,我们选取未知参数的某个估计量 ，根据置信水平 ，可以找到一个正数 ，,只要知道 的概率分布，,5,设0 1, 对随机变量X，称满足,的点
2、为X的概率分布的上 分位数.,标准正态分布的 上 分位数,分位数：,其他分布的分位数：,6,一、置信区间定义,则称区间 是 的置信水平（置信度、 置信概率）为 的置信区间.,7,即要求估计尽量可靠.,可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度.,两个要求,8,N(0, 1),选 的点估计为,二、置信区间的求法,明确问题,是求什么参数的置信区间? 置信水平是多少？,解：,寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.,有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.,9,对给定的置信水平,查正态分布表得,对于给定的置信水平(大概率), 根据U的分布， 确定一个区
3、间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平.,使,10,对给定的置信水平,查正态分布表得,使,从中解得,11,也可简记为,于是所求 的 置信区间为,12,求置信区间的一般步骤如下:,1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间?,置信水平 是多少?,2. 寻找参数 的一个良好的点估计T (X1,X2,Xn),称S(T, )为枢轴量.,3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数 S(T, ),且其分布为已知.,13,5. 对“aS(T, )b”作等价变形,得到如下 形式:,则 就是 的100( )的置信区间.,14,三、正态总体均值与方差的区间估计,15,16,因方差未知，取,对给定的置信度 ,确定分
4、位数,使,解,17,从中解得,即,18,19,取,解,20,解得,21,N(0, 1),取,由标准正态分布表，对任意a、b，我们可以求得P( aUb) .,给定样本，给定置信水平，置信区间也不是唯一的.,对同一个参数，可以构造许多置信区间.,22,N(0, 1),23,这个区间比前面一个要长一些.,或由,24,我们总是希望置信区间尽可能短.,类似地，我们可得到若干个不同的置信区间.,任意两个数a和b，只要它们的纵标包含f(u)下95%的面积，就确定一个95%的置信区间.,25,在概率密度为单峰且对称的情形，当a =-b时求得的置信区间的长度为最短.,a =-b,26,即使在概率密度不对称的情形
5、，如 分布，F分布，习惯上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间.,我们可以得到未知参数的的任何置信水平小于1的置信区间，并且置信水平越高，相应的置信区间平均长度越长.,27,例3 某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了30天,其总金额的平均值是170元，标准差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计（置信水平为0.95）.,解：,设每天职工的总医疗费为X，,近似服从正态分布,大样本，由中心极限定理，,E(X)= ,D(X)=,未知，用样本标准差S近似代替.,28,取枢轴量,近似N(0,1)分布,对给定的置信水平 , 确定分位数,使,得均值 的置信水平为 的区间估计为, 159.27, 180.74,将 =170,S=30, =1.96,n=30代入得,
