1、第三章 半导体中载流子的统计分布,半导体靠电子和空穴传导电流，为了了解和描述半导体的导电过程，必须首先了解其中电子和空穴按能量分布的基本规律，掌握用统计物理学的方法求解处于热平衡状态的一块半导体中的载流子密度及其随温度变化的规律。这就是本章要讨论的主要问题。,主要内容 3.1 状态密度 3.2 费米能级和载流子的统计分布 3.3 本征半导体的载流子浓度 3.4 杂质半导体的载流子浓度 3.5 一般情况下的载流子统计分布 3.6 简并半导体的载流子浓度,一、热平衡状态下的电子和空穴,3.1 状态密度,电子从价带跃迁到导带 本征激发 导带中 电子从施主能级跃迁到导带 杂质电离 电子n 电子从价带跃
2、迁到导带 本征激发 价带中 电子从价带跃迁到受主能级 杂质电离 的空穴p,载流子的产生：,在一定的温度下，产生和复合达到热平衡，半导体就有恒定的电子、空穴浓度n，p 温度改变时，建立新的热平衡，就有新的电子、空穴浓度n，p。,载流子的复合: 电子从导带跃迁到价带 减少一对电子空穴 电子从导带跃迁到施主能级 电子从受主能级跃迁到价带,Ec,Ev,产生,复合,ED,允许电子存在的量子态是如何按能量分布的，或者说每一个能量E有多少允许电子存在的量子态？,电子是按什么规律分布在这些能量状态的？,载流子浓度决定于：,假设：导带中单位能量间隔含有的量子状态数为gc(E)导带的状态密度,能量为E的每个状态被
3、电子占有的几率为 f(E),在能量E到E+dE内的状态具有的电子数为 f(E)gc(E)dE,空穴的浓度p为：,空穴占据能量E的几率为：1-f(E),式中Ev为价带底的能量,gV(E)为价带中单位能量间隔含有的状态数价带的状态密度,二K空间的量子态密度,单位k空间中的量子态数，即k空间的量子态密度,半导体中电子的允许能量状态（即能级）用波矢k标志, 但电子 的波矢k不能连续取值。,x,x+L,一维晶体,设它由N个原子组成，晶格常数为a，晶体的长为L，起点在x处,a,L = aN,在x和x+L处，电子的波函数分别为(x)和(x+L),(x)=(x+L),根据波恩卡曼边界条件,根据布洛赫定理，波函
4、数应具有如下形式,代入波恩卡曼边界条件,半导体中电子的允许能量状态(即能级)用波矢k标志，对晶格常数为a，原胞数为N的一维晶体，k的允许值为简略布里渊区中N个等间距的点，间隔距离为1/L，L=Na，即一维晶体的长度。,N总原子数，a原子间距, L=Na为一维晶体的长度,一维情况：,这相当于每一个状态占有k空间的长度为1/L。 或单位k空间长度内包含有个状态 即g(k)=Na=L,相邻的两个k值的间隔:,推广三维情况：,k有三个方向的取值,设晶体的边长为L，L=Na，体积为V = L3,K空间中的状态分布,kx,小立方的体积为：,一个允许电子存在的状态在k空间所占的体积,单位 k 空间允许的状态
5、数为：,单位k空间体积内所含的允许状态数等于晶体体积 V,k 空间的量子态（状态）密度,如果计入电子的自旋，k空间一个点实际上代表自旋方向相反的两个量子态。这时，电子在k空间的允许量子态密度是g(k)= 2V。,V是晶体的实体积,g(k)=V,g(k)在k空间是均匀分布的,假设在能带中能量E与E+dE之间的能量间隔dE内有量子态dZ个，则定义状态密度g（E）为：,即状态密度是能带中能量E附近单位能量间隔内的量子态数目,状态密度的计算思路 k空间的状态密度单位k空间体积内的量子态数-2V 能量间隔dE对应的k空间体积 能量间隔dE对应的量子态数dZ 计算状态密度g(E),三状态密度,g(k)在k
6、空间是均匀分布的 为求出能量状态密度g(E)或在EE+dE间隔内的状态数g(E)dE,我们只须求出在此能量间隔内包含的k空间的体积即可，为此必须知道E(k)关系，即能带结构,普遍的能带结构E(k)是难以确定的。,1、导带底的状态密度,1）各向同性的情况 在带底或带顶等能面可近似为球形等能面。,导带底附近E(k)与K的关系,能量E到E+dE间的量子态数,由E(k)与K的关系得：,导带态密度,通常将态密度定义为单位体积单位能量间隔内的量子态数目，因而上式中V1。,2）各向异性的情况,对于导带底不在布里渊区中心，且电子等能面为旋转椭球面的各向异性问题可用类似的方法得到相似的结果。问题的关键在于求出旋
7、转椭球等能面的体积。,极值点ko0,导带底附近的状态密度为：,式中S为导带极小值的个数 Si：S=6，Ge：S=4,导带底附近：,令：,称mdn导带电子状态密度有效质量,已知椭球体积为,式中a、b、c分别为椭球的长短轴之半，其值分别为,令s(8mlmt2)1/2=(2mdn)3/2，上式最终写成跟各向同性导带相同的形式：,具有s个等价能谷的各向异性导带的态密度就是,对硅，s=6，其mdn=1.08m0； 对锗，s=4，其mdn=0.56 m0。,硅的导带底在布里渊区沿6个方向的边界附近，从布里渊区中心到边界0.85长度处，其电子等能面是以该方向晶轴为旋转对称轴的长形椭球，共六个。,锗的导带极小
8、值位于8个方向的简约布里渊区边界上，即L点。共四个完整椭球。,2、价带顶的状态密度,1)无简并的情况,价带顶位于布里渊区中心且各向同性，中心附近的E(k)关系为,价带顶附近状态密度gv(E)为,2)对轻、重空穴的考虑,在晶体硅、锗中，价带在价带顶是二度简并的；与这两个能带相对应的有轻空穴有效质量(mp)l和重空穴有效质量(mp)h。,将其中的有效质量mp*替换为,对硅，mdp=0.59 m0；对锗，mdp=0.37 m0。,gv(E)=gvh(E)+gvl(E),导带态密度,价带态密度,对硅，s=6，mdn=1.08m0；对锗，s=4，mdn=0.56 m0。,对硅，mdp=0.59 m0；对
9、锗，mdp=0.37 m0。,导带和价带的态密度分布图,结论：导带底和价带顶附近，单位能量间隔内的量子态数目gC（E）和gV（E） ，随电子的能量增加按抛物线关系增大，即能量越大，状态密度越大。,例 导出能量在Ec和Ec+kT之间时，导带上的有效状态总数（状态数/cm3)的表达式， 是任意常数。,3.2 费米能级和载流子的统计,一、费米分布函数f(E),f(E)被称为电子的费米分布函数。式中k是玻耳兹曼常数，T是热力学温度。,根据量子力学，电子为费米子，服从费米分布 EF表示平衡状态的参数称为费米能级,第一种分布定律是麦克斯韦-玻尔兹曼分布函数。这种分布认为粒子是可以被一一区分开的，而且对每个
10、能态所能容纳的粒子数没有限制。容器中的气体处于相对低压时的状态可以看做是这种分布。,第二种分布定律是玻色-爱因斯坦分布函数。这种分布认为粒子是不可区分的，但每个能态所能容纳的粒子数仍没有限制。光子的状态或黑体辐射就是这种分布的例子。,第三种分布定律是费米-狄拉克分布函数。这种分布的粒子也是不可分辨的，而且每个量子态只允许一个粒子。晶体中的电子符合这种分布。,要确定粒子的统计特征，就要了解粒子应该遵循的规律，通常有三种分布法则用来确定粒子在有效能态中的分布。,不同温度下的费米分布函数与能量的关系,（1） 当T= 0 时 E EF ， f（E）= 0 E EF ， f（E）= 1 EF 为电子占据
11、状态的分界线,（2） 当T 0 时 E = EF ， f（E）= 1/2 E EF ， f（E） k0T f（E）= 0 若E-EF5 k0T f（E）0.993% EF 为电子占据状态的分界线,T=0K,1/2,T2T1,E,T1,T2,费米能级的意义： （1）它是电子热力学系统的化学势，它标志在T=0K时电 子占据和未占据的状态的分界线。即比费米能级高的 量子态，都没有被电子占据，比费米能级低的量子态 都被电子完全占据。 （2）处于热平衡状态的系统由统一的费米能级。 （3）费米能级与温度、半导体材料的导电类型、杂质的含 量有关,费米能级的位置比较直观地反映电子占据量子态的水平。,EF,EA
12、,（a）,（b）,（c）,（d）,（e）,EF,EF,EF,EF,强p型,p型,本征,n型,强n型,Ei,费米能级越靠近导带底，说明中导带电子浓度越高。,费米能级越靠近价带顶，则说明中价带空穴浓度越高。,f(E)表示能量为E的量子态被电子占据的几率，那么1 f(E)就是能量为E的量子态不被电子占据的几率，若该量子态属于价带，这也就是它被空穴占据的几率。即,被电子占据的概率f(E)与空状态 （被空穴占据）的概率1-f(E),例题 导带边缘Ec被填满的状态几率正好等于价带边缘Ev处空态的几率，求此时费米能级的位置 解：由 f(Ec)=1-f(Ev) 可得： EF=(Ec+Ev)/2 位于禁带中间,
13、例题2 （a)在热平衡条件下，温度T大于0K，电子能量位于费 米能级时，电子态的占有几率是多少？ (b)若EF位于EC，试计算状态在EC+kT时发现电子的几率 。,(c)在EC+kT时，若状态被占据的几率等于状态未 被占据的几率。此时费米能级位于何处？,由题意得：,解之得：,二、玻耳兹曼（Boltzmann）分布函数,当E-EFkT时，,由于 所以,费米分布函数,当E-EFkT时,导带中的电子大多数分布在导带底附近,价带中的空穴大多数分布在价带顶附近,费米分布函数和玻尔兹曼分布函数的比较,玻尔兹曼分布与费米分布的区别 费米统计受泡利不相容原理限制，即不允许 两个相同的粒子占据同一状态。 玻尔兹
14、曼分布（玻色子）允许相同的两个粒子 占据同一状态。,但当 f（E） 1 时费米分布的限制已形同虚设，其差别可不忽略不计。,空穴分布函数：,价带顶空穴占据几率大， 价带底空穴占据几率0 当EF-E K0T 时，上式分母中的1可以略去，则,三、简并半导体与非简并半导体,简并半导体：掺杂浓度高，对于n型半导体，其费米能级EF接近导带或进入导带中；对于 p型半导体，其费米能级EF接近价带或进入价带中的半导体 非简并半导体：掺杂浓度较低，其费米能级EF在禁带中的半导体,p型半导体,通常把适用于玻耳兹曼统计的半导体称为非简并半导体，而将必须使用费米统计计算载流子密度的半导体称为简并半导体。,非简并,弱简并
15、,简并,简并,弱简并,四、非简并半导体中的载流子统计,导带电子的统计,在能量E（E+dE）间的电子数dN为,把gc(E)和fB (E)代入上式，得,或改写成在能量E（E+dE）间单位体积中的电子数dn为,引入：,利用积分公式：,对上式积分，可算得热平衡状态下非简并半导体的导带电子浓度n0为,导带的有效状态密度Nc NcT3/2,简化得,把导带中所有量子态都集中在导带底Ec，而它的状态密度为Nc，则导带中的电子浓度n0是Nc中有电子占据的量子态数。,2.价带空穴的统计,与计算导带中电子浓度类似，计算可得,令,则得, 价带的有效状态密度 NcT3/2,在室温时：,结论,电子浓度,空穴浓度,导带中的
16、电子浓度和价带中的空穴浓度随着温度T和费米能级Ef的不同而变化，其中温度的影响来自NC、Nv和指数因子。费米能级也与温度及半导体中的杂质情况密切相关，在一定温度下，半导体中所含杂质的类型和数量不同，n0、p0也将随之变化。,3.非简并半导体中热平衡载流子密度的乘积n 0p0,这个关系式不论是本征半导体还是杂质半导体，只要是热平衡状态下的非简并半导体，都普遍适用。,1. 电子与空穴的浓度的乘积与费米能级无关。 2. 在一定温度下，不同半导体材料，禁带宽 度Eg不同，乘积n0p0也不同。 3. 对本征半导体和杂质半导体都成立 4. T和Eg一定，处于热平衡态时， n0p0保 持恒定，n0减少， p
17、0增加；反之n0增加， p0 减少,五、本征半导体的载流子密度,本征半导体：没有掺杂和缺陷的半导体 本征载流子：本征半导体中的载流子,Ei 为本征费米能级，将NC、NV代入：,Ge：mdp=0.37mo，mdn=0.56mo,室温时，kT=0.026ev,(Eg)Ge=0.67ev ,对Si、GaAs一样，,禁带中央,在室温下，第二项比禁带宽度小得多。因此，本征半导体的本征半导体的本征费米能级Ei相当靠近禁带的中央。,右图由左到右所描绘的时能带图、态密度N（E）、费米分布函数及本征半导体的载流子浓度。,可由图求得载流子浓度，亦即由图(b)中的N(E)与图(c)中的F(E)的乘积即可得到图(d)
18、中的n(E)对E的曲线(上半部的曲线)。图(d)上半部阴影区域面积相当于电子浓度。,利用:,300K下锗、硅、砷化镓的本征载流子浓度,在一定温度下，要使载流子主要来源于本征激发， 杂质含量不能超过一定限度。如室温下，Ge低于 10-9cm-3，Si低于10-12cm-3,GaAs低于10-15cm-3,正如所预期的，禁带宽度越大，本征载流子浓度越小。,考虑到Eg与温度T的关系，即设Eg=Eg (0) +T，代入上式得,作出lnni 1/T关系曲线, Eg (0)为外推至T=0K时的禁带宽度,随着温度的升高、本征载流子密度迅速地增加。,由于本征载流子密度随温度的迅速变化，用本征材料制作的器件性能
19、很不稳定。所以，半导体器件一般都不用本征材料制造。,一般半导体器件正常工作时，载流子主要来源于杂质电离。随着器件温度的上升，在保持载流子主要来源于杂质电离时，器件性能才可不失效。为此要求本征载流子浓度至少比杂质浓度低一个数量级。,硅平面管一般采用室温电阻率为1cm的材料，其杂质浓度约为51015cm-3，根据本征载流子浓度与温度的关系可得硅器件的极限工作温度约为520K。,由于本征载流子浓度随温度迅速变化，用本征半导体材料制作的器件性能很不稳定，所以制造半导体器件一般材料适当掺杂的半导体材料。,本节小结,非简并半导体载流子的浓度,平衡态,非平衡态,本征半导体中的载流子,非简并半导体载流子的浓度,同理,1. 已知室温时，N型Si半导体的费米能级位于禁带中心线以上0.30ev处，试求出室温时：（1）导带电子浓度no；（2）价带空穴浓度po;（3）导带电子浓度与价带空穴浓度的乘积nopo,室温时Si半导体：,2. 已知室温时，P型Si半导体的费米能级位于禁带中心线以下0.25ev处，试求出室温时： （1）导带电子浓度no； （2）价带空穴浓度po; （3）导带电子浓度与价带空穴浓度的乘积nopo,室温时Si半导体：,
