1、第五章 数系的扩充与复数的引入,1 数系的扩充与复数的引入,1.了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用. 2.理解复数的有关概念及两复数相等的充要条件,掌握复数的代数形式及复数的分类. 3.了解复平面的概念,理解并掌握复数的几何意义.,1.数的概念的扩展 (1)虚数单位:把平方等于-1的数用符号i表示,规定i2=-1,我们把i叫作虚数单位. (2)复数:我们把形如a+bi的数叫作复数(a,b是实数,i是虚数单位).复数通常表示为z=a+bi(a,bR). (3)复数的分类:根据复数中a,b的取值不同,复数可以有以下分类: 复数a+bi 实数( =0 ) 虚数(
2、0 ) 纯虚数( =0 ) 非纯虚数(0) (4)复数的实部与虚部:对于复数z=a+bi(a,bR),a与b分别叫作复数z的实部与虚部,并且分别用Re z与Imz表示,即a=Re z,b=Imz.,1,2,【做一做1-1】 复数1-i的虚部是( ) A.1 B.-1 C.i D.-i 解析:分清复数的实部、虚部是解题的关键. 答案:B 【做一做1-2】 设全集I=复数,R=实数,M=纯虚数,则( ) A.MR=I B.IMR=I C.IMR=R D.MIR=I 解析:弄清数集的分类和集合之间的包含关系以及集合之间的交、并、补的运算. 答案:C,1,2,1,2,【做一做2-1】设x,yR,且满足
3、2x-3y+(3x+y)i=1+7i(i为虚数单位),求x,y的值. 解:2x-3y+(3x+y)i=1+7i, 根据复数相等的充要条件,有23=1, 3+=7, 解得 =2, =1, x=2,y=1.,1,2,(2)实轴、虚轴 当用直角坐标平面内的点来表示复数时,我们称这个直角坐标平面为复平面,x轴称为实轴,y轴称为虚轴. (3)几何意义 任一个复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)是一一对应的.这是复数的一个几何意义. 一个复数z=a+bi与复平面内的向量 =(a,b)是一一对应的. (4)复数的模 设复数z=a+bi在复平面内对应的点是Z(a,b),点Z到原点的距离|OZ|叫作复数的
4、模或绝对值,记作|z|,显然,|z|= 2 + 2 .两个复数一般不能比较大小,但可以比较它们的模的大小.,1,2,1,2,【做一做2-2】 复数z=3-4i在复平面内的对应点关于虚轴的对称点对应的复数为( ) A.z=3+4i B.z=-3+4i C.z=-3-4i D.z=3-4i 答案:C,1,2,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】已知f(z)=|2+z|-z,且f(-z)=3+5i,求复数z. 解:设复数z=a+bi(a,bR). f(z)=|2+z|-z,f(-z)=|2-z|+z. f(-z)=3+5i,|2-z|+z=3+5i, |2-
5、(a+bi)|+a+bi=3+5i. 根据复数相等的充要条件,得(2 ) 2 + 2 +=3, =5, 解得 =10, =5. 故复数z=-10+5i.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 设zC,在复平面内对应点Z,试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形. (1)|z|=2; (2)1|z|2. 解:(1)|z|=2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2,这样的点Z的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,正解:设
6、x=x0为方程x2+(k+2i)x+2+ki=0的实根,代入整理,得( 0 2 +kx0+2)+(2x0+k)i=0, 由复数相等的充要条件,得 0 2 + 0 +2=0, 2 0 +=0, 解得 0 = 2 , =2 2 或 0 = 2 , =2 2 . 方程的实根为x0= 2 或x0=- 2 , 此时k=-2 2 或k=2 2 . k的取值所构成的集合为-2 2 ,2 2 .,1“复数a+bi(a,bR)为纯虚数”是“a=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:a+bi为纯虚数,满足 =0, 0. 注意b0不要遗漏. 答案:A,1
7、 2 3 4 5 6,2下列四个命题中正确命题的个数是( ) 方程3x-7=0在整数集中无解; 方程3x2-11x-4=0在有理数集中有两个解; x=i是方程x2+1=0在复数集中的一个解; x4=1在实数集中有两个解,在复数集中也有两个解. A.1 B.2 C.3 D.4 解析:方程3x-7=0的解为x= 7 3 ,不是整数; 方程3x2-11x-4=0的解为x=- 1 3 或4,都是有理数; 方程x2+1=0的两个复数解为i与-i; x4=1在实数集中有两个解1,-1,在复数集中有四个解1,-1,i,-i. 只有不正确,正确. 答案:C,1 2 3 4 5 6,3若复数z=(x2-1)+(
8、x-1)i为纯虚数,则实数x的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.-1或1 解析:由题意,知 2 1=0, 10, 故x=-1. 答案:A,1 2 3 4 5 6,4已知复数x2-5x+6+(x2-2x-3)i在复平面内对应的点在第三象限,则实数x的取值范围为 . 解析:由 2 5+60, 2 230, 得 23, 13. 即2x3. 答案:2x3,1 2 3 4 5 6,5已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,yR,求x与y. 分析:因为x,yR,所以由两个复数相等的定义,可列出关于x,y的方程组,解方程组,可求出x,y的值. 解:根据复数相等的充要条件得 21=, 1=(3), 解得x= 5 2 ,y=4.,1 2 3 4 5 6,1 2 3 4 5 6,
