1、1.2 函数的极值,1.结合函数的图像,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.理解函数极值的概念,理解函数的极值与导数的关系,会求函数的极值,并能确定是极大值还是极小值. 3.增强学生数形结合的思维意识,提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力.,1.函数的极值的有关概念 (1)在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函数值f(x0)为函数的极大值. 在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)
2、的极小值点,其函数值f(x0)为函数的极小值. 极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.,1,2,1,2,1,2,(2)如果函数y=f(x)在区间(a,x0)上是增加的,在区间(x0,b)上是减少的,那么x0是极大值点,f(x0)是极大值. 如果函数y=f(x)在区间(a,x0)上是减少的,在区间(x0,b)上是增加的,那么x0是极小值点,f(x0)是极小值. 【做一做1】 函数y=2-x2-x3的极值情况是( ) A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大值 C.既无极大值也无极小值 D.既有极大值又有极小值 答案:D,1,2,1,2,1,2,1.导数为零的点与极值点
3、之间是等价关系吗? 剖析:可导函数的极值点是导数为零的点,但是导数为零的点不一定是极值点,即点x0是可导函数f(x)的极值点是f(x0)=0的充分不必要条件,如函数f(x)=x3,有f(0)=0,但x=0不是极值点. 2.极值点附近函数切线的斜率的正负变化与函数的极值之间有怎样的关系? 剖析:曲线在极值点处切线的斜率为0,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题
4、型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,正解:(接错解)当a=4,b=-11时, f(x)=x3+4x2-11x+16, 得f(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1). 当x 11 3 ,1 时,f(x)0. 故当x=1时,f(x)取得极小值. 当a=-3,b=3时, f(x)=3(x-1)20,即x=1为非极值点. 所以a=-3,b=3舍去,故a+b=-7.,1关于函数的极值,下列说法正确的是( ) A.导数为零的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值和一个
5、极小值 D.若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数 解析:导数为零的点不一定是极值点,如f(x)=x3,f(0)=0,但x=0不是极值点.极小值不一定小于极大值.f(x)在定义域内可能有多个极值点. 答案:D,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,3函数f(x)=- 1 3 x3+ 1 2 x2+2x的极小值点x=( ) A.2 B.2,-1 C.-1 D.-3 解析:f(x)=-x2+x+2,令f(x)=0, 即-x2+x+2=0,解得x1=-1,x2=2. 当x0,f(x)是增加的. 故x=-1是函数的极小值点. 答案:C,1 2 3 4 5,4关于函数f(x)=x3-3x2的下列命题,其中正确命题的序号是 . f(x)是增函数; f(x)是减函数,无极值; f(x)的递增区间是(-,0)和(2,+),递减区间为(0,2); f(0)=0是极大值,f(2)=-4是极小值. 解析:f(x)=3x2-6x, 令f(x)=0,得x=0或x=2. 利用极值的求法可得x=0是极大值点,x=2是极小值点. 答案:,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,
