1、3 计算导数,1.能根据导数的定义求几种常用函数的导数,并能熟练运用. 2.掌握基本初等函数的导数公式,并能利用这些公式求基本初等函数的导数.,1.计算函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤 (1)通过自变量在x0处的改变量x,确定函数在x0处的改变量:y=f(x0+x)-f(x0). (2)确定函数y=f(x)在x=x0处的平均变化率: = ( 0 +)( 0 ) . (3)当x趋于0时,得到导数: f(x0)= lim 0 ( 0 +)( 0 ) .,1,2,3,2.导函数 一般地,如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导数,导数值记为f(x):f(x)= lim 0 (
2、+)() ,则f(x)是关于x的函数,称f(x)为f(x)的导函数,通常也简称为导数.,1,2,3,1,2,3,【做一做1-1】下列结论正确的是( ) A.若y=sin x,则y=cos x B.若y=cos x,则y=sin x C.若y= 1 ,则y= 1 2 D.若y= ,则y= 1 2 答案:A 【做一做1-2】求下列函数的导数: (1)y=10;(2)y=x10;(3)y=cos x;(4)y=3x; (5)y=lgx. 解:(1)y=0. (2)y=(x10)=10x10-1=10x9. (3)y=(cosx)=-sinx. (4)y=(3x)=3xln3. (5)y=(lgx)=
3、 1 ln10 .,1,2,3,y=c(c为常数),y=x,y=x2的导数的几何意义及物理意义分别是什么? 剖析:(1)函数y=c的导数为y=0.y=0的几何意义为函数y=c图像上每一点处的切线的斜率都为0;若y=c表示路程关于时间的函数,则y=0可以理解为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态. (2)函数y=x的导数为y=1.y=1表示函数y=x图像上每一点处的切线斜率都为1;若y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以理解为某物体做瞬时速度为1的匀速运动. (3)函数y=x2的导数为y=2x,y=2x表示函数y=x2图像上点(x,y)处的切线斜率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率
4、也在变化;若y=x2表示路程关于时间的函数,则y=2x可以理解为当某物体做变速运动时,它在时刻x的瞬时速度为2x.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】给出下列结论: cos 6 =-sin 6 =- 1 2 ; 若y= 2 3 ,则y=-6x-4; 若f(x)=3x,则f(1)=3; 若y= 5 ,则y= 1 5 5 . 其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,解析:cos 6 = 3 2 为常数, cos 6 =0,故错误; y= 2 3 =(2x-3)=-6x-4,故正确; f(x)=3x,f(x)
5、=3. f(1)=3,f(1)=0,故错误; y=( 5 )=( 1 5 )= 1 5 4 5 ,故错误. 答案:A,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】设直线l1与曲线y= 相切于点P,直线l2过点P且垂直于l1,若l2交x轴于点Q,作PK垂直x轴于K,求KQ的长. 解:设切点P的坐标为(x0,y0),则 1 = 1 2 0 . 因为l1与l2垂直,所以 2 =-2 0 , 故l2:y-y0=-2 0 (x-x0). 令y=0,则-y0=-2 0 (xQ-x0), 即- 0 =-2 0 (xQ-x0), 解得xQ= 1 2 +x0. 又因为x
6、K=xP=x0, 所以KQ=|xQ-x0|= 1 2 .,题型一,题型二,题型三,1y=log12x的导数是 . 答案:y= 1 ln12,1 2 3 4 5 6,2f(x)=cos x在x= 6 处切线的斜率为 . 解析:f(x)=-sinx,f 6 =-sin 6 =- 1 2 . 答案:- 1 2,1 2 3 4 5 6,3若直线l与幂函数y=xn的图像相切于点A(2,8),则直线l的方程为 . 答案:12x-y-16=0,1 2 3 4 5 6,4设曲线y=xn+1(nN+)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+a99= . 解析:曲线y=x
7、n+1(nN+)在点(1,1)处的切线的斜率为n+1,故切线方程为y-1=(n+1)(x-1). 令y=0,得xn= +1 . 因为an=lgxn,所以a1+a2+a99=lg 1 2 2 3 99 99+1 =lg 1 100 =-2. 答案:-2,1 2 3 4 5 6,5利用导数定义求f(x)=1的导函数,并求f(2),f(3). 解:y=f(x+x)-f(x)=1-1=0, =0. 当x趋于0时, 趋于0, 即f(x)=0.故f(2)=0,f(3)=0.,1 2 3 4 5 6,6求曲线y=2x2的斜率为4的切线方程. 分析:导数的几何意义就是相应曲线在该点处的切线的斜率,由于切线的斜率已知,只要确定切点的坐标即可.先利用导数求出切点的横坐标,再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标,从而可求出切线方程. 解:设切点为P(x0,y0), 则y=(2x2)=4x. 当x=x0时,4=4x0,故x0=1. 当x0=1时,y0=2, 即切点P的坐标为(1,2). 故所求切线方程为y-2=4(x-1), 即4x-y-2=0.,1 2 3 4 5 6,
