1、.二次函数背景下的相似三角形1.会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度；2.掌握用待定系数法求解二次函数的解析式；3.能根据题目中的条件，画出与题目相关的图形，继而帮助解题；4.体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法；5.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。 知 识 结 构知 识 结 构【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第 1 个图先提问引导学生回顾学过的二次函数的对称轴，可以再黑板上举例让学生画图；2 再根据第 2 个图引导学生总结出题目中经常出现的一些特殊的二次函数，部分地方让学生独立完成，如果学生有困难，可以举实际例子让学生画图总结得出；3.和学生一起
2、分析二次函数背景下相似三角形的基本考点，为后面的例题讲解做好铺垫。建议时间 5 分钟左右。一.二次函数知识点梳理：下图中 0a二.特殊的二次函数：下图中 0a.三二次函数背景下的相似三角形考点分析：1.先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点；2.简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式；3.复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，继而用待定系数法求函数解析式；4.还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解；5.当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数量关系转化到
3、三角形的相似问题；6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。【备注】：1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等） ，使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；3.可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比
4、式引导等等；6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题 7 分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。.例 1.已知：如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点 和点 抛物线15yxyAB经过 、 两点。 （）213yxbcAB（1）求这个抛物线的解析式；（2）若这抛物线的顶点为点 ，与 轴的另一个交点为点 对称轴与 轴交于点 ，DxCxH若点 是线段 的中点。 与 交于点 ，点 在 轴的正半轴上， 是否ECEHGPyPO能够与 相似？如果能，请求出点 的坐标；如果不能，请说明理由。CGH【参考教法】：一我们来一起分析一下题目吧！有没
5、有注意到一些特殊的条件，我们来分一下！1.点 有什么特点？提示： 为 中点、 为 中点，则 为 重心；GHACEDGACD2. 的坐标可以求解吗？ABCDE、 、 、 、 、3.点 在运动时，位置有什么要求？提示： 在 轴的正半轴上PPy二求解二次函数的解析式，有点简单，你算下。提示：二次函数经过三点，可以根据待定系数法求解函数解析式；（让学生自己计算） ；3.当 与 相似时：OHG1.两个三角形中是否有恒相等的角？提示： ；=90GHCPO2.是否需要分类讨论？提示：分 2 类讨论；3.怎么讨论？提示：因为 ，则分两个情况讨论：=90P.当 时： ，可直接求得点 的坐标；POHGC:O.当
6、时： ，可直接求得点 的坐标。P4.怎么计算？提示：因为 与 的边长都可以直接计算求解得出，所以相似时H可以直接计算。5.在分析的过程中，注意及时画图哦！体会数形结合的思想。四本题求解完了吧！你有什么感想没？【满分解答】： .解：（1）直线 与 轴、 轴的交点 和点 15yxy15,0A,15B由已知，得 ，可以解得 . 23bcc615bc抛物线的解析式为 . 1562xy解：（2）抛物线的解析式可变形为 ， 293所以顶点坐标为（9，12）. 设 ，则 ，0y21903x .26x ，12,5所以点 的坐标为（ 3，0）. C因为点 是线段 的中点，点 是线段 的中点，EADHAC点 是
7、的重心.如图，G ， 14H ， . 9O6当 时， ，PC:POG即 : . 10,当 时， ，H:H即 ，:694O . . 27P270,P 能够与 相似，相似时点 P 的坐标为 或 .CG10,627,P我 来 试 一 试 ！练习 1.已知二次函数 .（）230yaxa（1）求此二次函数图像与 轴交点 、 （ 在 的左边）的坐标；AB（2）若此二次函数图像与 轴交于点 ，且 （字母依次对应）.COCB求 的值；a求此时函数图像上关于原点中心对称的两个点的坐标。【解法点拨】：.1.二次函数图像与 轴交点，令 可求解得出；（让学生自己计算）x0y2.当 时，则 ，可得 的值；AOCBOAC
8、Ba3.求解出二次函数的解析式后，将两个对称点设为 和23(,3)tt，则由对称性列方程求解；23(,)()3ttt4.注意及时画图，体会数形结合的思想。【满分解答】：（1）令 230ax解得 ，12所以 A（ ，0） ， B（3,0）. （2）易知 ，由 AOC COB，,3Ca则 ，即 ，OB1解得 （舍负）. 3a此时函数解析式为 ，233yx设函数图像上两点 ， ，2(,)tt2(,)()3ttt由两点关于原点中心对称，得：=233tt23()()tt解得 ，t这两个点的坐标为 与 .3,2,选 讲 选 练 题选 讲 选 练 题例 2.已知：如图六，抛物线的顶点为点 D，与 y 轴相交
9、于点 A，直线 yax3 与 y 轴也交.于点 A，矩形 ABCO 的顶点 B 在此抛物线上，矩形面积为 12。（1）求该抛物线的对称轴；（2）若线段 DO 与 AB 交于点 E，以点 D、A、E 为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A 为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点 D 坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由。 （）BOCOOyAOxD（图六）【参考教法】：一和之前一样，我们还是来寻找一下题目中的已知两吧！提示：二次函数与一次函数相较于 轴上的同一点 ，并且 ，则 ；yA（ 0， 3） OA矩形 ABCO 的面积为 12，可得到 ；B（ 4， 3）2求解二次函数的对称轴，你会
10、怎么求解？提示：对称轴可以根据 、（ ， ）的对称性得到；B（ 4， 3）3当三角形DAE 和DAO 相似时：1.两个三角形中是否有恒相等的角？提示： 为公共角；ADO3.是否需要分类讨论？提示：分 2 类讨论；3.怎么讨论？提示：因为 为公共角，则分两个情况讨论：A.当 时：与已知条件矛盾，此情况不成立；DEO.当 时：D 作 DMy 轴，垂足为点 M，DNx 轴，垂足为点 N；则可得DAMDON ，所以 ，从而可以求出 点坐标。NM4.每一个情况你会求解吗？试一试！提示：让学生自己计算；5.注意：.二次函数中求解点的坐标时，通常情况下需过点作坐标轴的垂线；.注意及时画图，体会数形结合的思想
11、。【满分解答】：（1）直线 yax3 与 y 轴交于点 A，点 A 坐标为（0，3）AO3，矩形 ABCO 的面积为 12，AB4点 B 的坐标为（4，3）抛物线的对称轴为直线 x2 （2）设DAEDAO ，则DAEDAO，与已知条件矛盾，此情况不成立过点 D 作 DMy 轴，垂足为点 M，DNx 轴，垂足为点 N设点 D 坐标为（2，y） ，则 ONDM 2，DNOMy，AMy3设DAEDOA ，则DAEDOA，DAMDON DMADNO 90，DAMDON ， ， （舍） ，NAMO3y240124y点 D 坐标为（2，4）.设抛物线解析式为 2()yaxmk顶点坐标为（2，4） ，m 2
12、，k4，则解析式为 2()4yax将（0，3）代入，得 a ，抛物线解析式为 114（引导学生对前面例题中的一些解题方法总结，大概 5 分钟左右）（该部分需要学生在 15 分钟内独立完成，之后再评分并讲评）1.在平面直角坐标系 中，将抛物线 沿 轴向上平移 1 个单位，再沿 轴向右xOy2yxx平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作 A，直线 与平移后的抛物线相交于 B，3与直线 OA 相交于 C。 （ 1） 求平移后抛物线的函数解析式；（4 分）（2）点 P 在平移后抛物线的对称轴上，如果ABP 与ABC 相似，求所有满足条件的 P点坐标。 （） （10 分）【解法点拨】：1.注意题目中的
13、不变量以及所得到的相关结论：点 的坐标不变；ABC、 、点 P 在平移后抛物线的对称轴上；PABC，得到 PAB=ABC 。1 2 3 4 5-1-2-3-4-5 -1-2-3-4-512345xy0二次函数背景下相似三角形的解题方法和策略：1.根据题意，先求解相关点的坐标和相关线段的长度；2.待定系数法求解相关函数的解析式；3.相似三角形中，注意寻找不变的量和相等的量（角和线段） ；4.当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时，注意利用相似三角形的转化求解；5.根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想；6.注意利用好二次函数的对称性；7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都
14、是常用方法。.2.根据题目可求得平移后的抛物线解析式为 ；2()1yx3.根据题目求 的坐标（可让学生自己求解） ；ABC、 、4.当ABP 与ABC 相似时注意分类讨论， PABC ， PAB=ABC ，则分两个情况讨论：当PBA =BAC 时：PBAC ，四边形 PACB 是平行四边形；当APB =BAC 时： ，则 ，直接计算。PABC25.二次函数中当点的坐标已知时，注意计算各线段的长度；6.注意及时画图，体会数形结合的思想。【满分解答】：（1）平移后抛物线的解析式为 .4 分2()1yx（2）A 点坐标为（2，1） ，1 分设直线 OA 解析式为 ，将 A（2，1）代入得 ，直线 O
15、A 解析式为 .1 分ykxk12yx将 代入 得 ，C 点坐标为（3， ） 1 分3x232将 代入 得 ，B 点坐标为（3，3） 1 分2()yxyPABC， PAB=ABC1 分1当PBA = BAC 时，PBAC ，四边形 PACB 是平行四边形，1 分 1 分32PABC15(,)2P2当APB = BAC 时， 1 分A又 ，22(3)(1)5B 1 分10AP2,综上所述满足条件的 点有 ， 1 分()32,)批注：学生完成测试后，教师批改给出得分，并进行点评总结.建议时间 2-3 分钟。xy0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5 -1-2-3-4-512345ABCP.【说明】：本部分为“专题小结” ，由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。先让学生说说本节课的收获，之后是教师寄语。教师寄语可以是：需要完成的作业、需要总结的知识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。教师：本专题你有哪些收获和感悟？
