1、.弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是 L-1MT-2。5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题
2、。7、已知一点处的应力分量 MPa， MPa， MPa，则主应力10x50y501xy150MPa， 0MPa， 。12638、已知一点处的应力分量， MPa， MPa， MPa，则主应力 512 2xy4xy1MPa， -312 MPa， -3757。219、已知一点处的应力分量， MPa， MPa， MPa，则主应力0x10y 0xy1052 MPa， -2052 MPa， -8232。12110、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关
3、系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应
4、当尽可能反映相邻单元的位移连续性。18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。19、在有限单元法中，单元的形函数 Ni 在 i 结点 Ni=1；在其他结点 Ni=0 及N i=1。20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好.地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。二、判断题（请在正确命题后的括号内打“” ，在错误命题后的括号内打“” ）1、连续性假定是指整个物体的体
5、积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。 （）5、如果某一问题中， ，只存在平面应力分量 ， ， ，且它们不沿 z 方向变0zyxzxyx化，仅为 x，y 的函数，此问题是平面应力问题。 （）6、如果某一问题中， ，只存在平面应变分量 ， ， ，且它们不沿 z 方向变zyxz xyx化，仅为 x，y 的函数，此问题是平面应变问题。 （）9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 （）10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。 （）14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。 （）15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。 （ ）三、分
6、析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。（1） ， ， ；ByAxDyCxFyEx（2） ， ， ；)(2x )(2yCxy其中，A，B ，C，D，E，F 为常数。解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程；（2）在区域内的相容方程 ；（3）在边界上的应力边界0xyyyx 02yx条件 ；（4）对于多连体的位移单值条件。sflmysxy（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须 A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。（2）为了满足相容方程，其系数必须满足 A+B=
7、0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量 ， ， ，体力不计，Q 为常数。312xCQyx23xyyyxCxy232试利用平衡微分方程求系数 C1，C 2，C 3。.解：将所给应力分量代入平衡微分方程 0xyyyx得 02332321xyCQ即 3221xy由 x，y 的任意性，得 02331CQ由此解得， ， ，61QC323、已知应力分量 ， ， ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。qxy0xy解：将已知应力分量 ， ， ，代入平衡微分方程xyxy0YxyXy可知，已知应力分量 ， ， 一般不满足平
8、衡微分方程，只有体力忽略不计时才qxy满足。按应力求解平面应力问题的相容方程： yxxyxyyx 222 )1()(将已知应力分量 ， ， 代入上式，可知满足相容方程。qx0y按应力求解平面应变问题的相容方程： yxxyxyyx 222 1)()1(.将已知应力分量 ， ， 代入上式，可知满足相容方程。qxy0xy4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。（1） ， ， ；Ax3By2DCxy（2） ， ， ；22（3） ， ， ；0xyxy其中，A，B ，C，D 为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即 yxyx22将以上应变分量代
9、入上面的形变协调方程，可知：（1）相容。（2） （1 分） ；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。yA（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C =0，则 ， ， （1 分） 。0xy0xy5、证明应力函数 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题2by（体力不计， ） 。0解：将应力函数 代入相容方程2by02444yx可知，所给应力函数 能满足相容方程。2by由于不计体力，对应的应力分量为， ，byx202xy02yxy对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：l/2 l/2h/2h/2yxO.上边，
10、 ， ， ， ， ；2hy0l1m0)(2hyxf0)(2hyyf下边， ， ， ， ， ；l)(2hyxf )(2hyyf左边， ， ， ， ， ；2lx10mbflxx)(20)(2lxyf右边， ， ， ， ， 。lflxx)(2)(2lxyf可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力 2b。因此，应力函数能解决矩形板在 x 方向受均布拉力（b0）和均布压力（b0）的问题。2by6、证明应力函数 能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题ay（体力不计， ） 。0解：将应力函数 代入相容方程axy02444yx可知，所给应力函数 能满足相容方程。
11、xy由于不计体力，对应的应力分量为， ，02x02xy ayxy2对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边， ， ， ， ， ；2hy0l1mafhyx2)(0)(2hyyf下边， ， ， ， ， ；lfhyx2)()(2hyyf左边， ， ， ， ， ；2lx10m0)(2lxxfaflxy2)(l/2 l/2h/2h/2yxO.O xybqg右边， ， ， ， ， 。2lx10m0)(2lxxfaflxy2)(可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力 a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力 a。因此，应力函数 能解决矩形板受
12、均布剪力的问题。ay7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为 ，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设。由此可知002yx将上式对 y 积分两次，可得如下应力函数表达式 )(,21xff将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得 0)()(4241dxffy这是 y 的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的 y 值都应该满足它） ，可见它的系数和自由项都应该等于零，即， 0)(41dxf 0)(42dxf这两个方程要求， ICBAxf231)( KJxEDf232)(代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后
13、，便得 2323)(xxy对应应力分量为02yxgyEDxBAy 6)(2Cyxy232以上常数可以根据边界条件确定。左边， ， ， ，沿 y 方向无面力，所以有0x1l0m0)(xy.右边， ， ， ，沿 y 方向的面力为 q，所以有bx1l0mBbAbx23)(上边， ， ， ，没有水平面力，这就要求 在这部分边界上合成的主矢量和主ylxy矩均为零，即 0)(0dybx将 的表达式代入，并考虑到 C=0，则有xy 0)23( 230230 BbAxBxAbb而 自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求 在这部分边界)(00dxybx y上合成的主矢量和主矩均为零，即， 0)(0
14、dxyb0)(0xdyb将 的表达式代入，则有y 2323)26(00 EbDxxEDbb 0d由此可得， ， ， ，2bqAB0C应力分量为, , 0xgyxy3123bxqx虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离 y=0 处这一结果应是适用的。8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为 ，xVf，其中 V 是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为， ，yf yx2， ，试导出相应的相容方程。xy2yxy2证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量 ， ， 应当满足xyx平衡微分方程.（1 分）0y
15、Vxyyx还应满足相容方程（对于平面应力问题）yfxyxyx12（对于平面应变问题）fyx2并在边界上满足应力边界条件（1 分） 。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。首先考察平衡微分方程。将其改写为 0xVyyxx这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为 yxx根据微分方程理论，一定存在某一函数 A（x，y ） ，使得，VxAy同样，将第二个方程改写为（1 分）yxy可见也一定存在某一函数 B（x，y ） ，使得，xBVyyx由此得 yxA因而又一定存在某一函数 ，使得yx,，yAxB代入以上各式，得应力分量.， ，Vyx2xy2yxy2为了使上述应力分量能同量满足相
16、容方程，应力函数 必须满足一定的方程，将上述应,力分量代入平面应力问题的相容方程，得 VyxVxyx 2222 1yy2222简写为 V24)1(将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得 yxxyx 2222 VVyy2222 1简写为 2419、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为 ，试用纯三次的应力函数求解。解：纯三次的应力函数为 323dycxba相应的应力分量表达式为, , dycxfyx622 gyfx62 cybxxy22这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。上边， ， ， ，没有水平面力，所以有0yl1
17、mO xy g.02)(bxyx对上端面的任意 x 值都应成立，可见同时，该边界上没有竖直面力，所以有 06)(axy对上端面的任意 x 值都应成立，可见因此，应力分量可以简化为， ，dycx62gycyx2斜面， ， ， ，没有面力，所以有tanxysinosl osm0tantxyyxl由第一个方程，得 0sinta6si4cot2sinta62 dxdxc对斜面的任意 x 值都应成立，这就要求 0tan6d由第二个方程，得 0sinit2costsinta2 gxxgxc对斜面的任意 x 值都应成立，这就要求（1 分）0ta由此解得（1 分） ，cot2g2cot3gd从而应力分量为,
18、, 2ttyxytx设三角形悬臂梁的长为 l，高为 h，则 。根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿 xlan方向的分量为 0，沿 y 方向的分量为 。因此，所求 在这部分边界上合成的主矢应为零，g21x应当合成为反力 。xygl210cottcott 2020 ghldyldyhlxh lgyly 112可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。.10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角 ，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为 ，液体的密度为 ，试求应力分量。12解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点，每一
19、个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与 成正比（g 是重力加速度） ；另一部分由液体压力引起，1应当与 成正比。此外，每一部分还与 ，x，y 有关。由2 于应力的量纲是 L-1MT-2， 和 的量纲是 L-2MT-2，g12是量纲一的量，而 x 和 y 的量纲是 L，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是， ， ， 四项的组合，而其中的 A，B，C，D 是量纲一的量，只与gA1B1gxC2yD2有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是 x 和 y 的纯一次式。其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x 和 y 纯三
20、次式，因此，假设 323dcba相应的应力分量表达式为, , dycxfyx622 gyxyf126 cybxx22这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。左面， ， ， ，作用有水平面力 ，所以有0x1l0mgy2dx06)(对左面的任意 y 值都应成立，可见 62g同时，该边界上没有竖直面力，所以有 0)(cyxy对左面的任意 y 值都应成立，可见因此，应力分量可以简化为， ，gyx2gybax126bxx22g 1gyxO.斜面， ， ， ，没有面力，所以有tanyxcosl sin2sm0tantyxyxl由第一个方程，得 sit2cos2bg对斜面的任意 y 值都应成立，这就要求 0inta2由第二个方程，得 0sini4sit6costnsi2tan6 11 ygbbygby 对斜面的任意 x 值都应成立，这就要求 04ta61g由此解得，321cotctga2cotb从而应力分量为, , gyx2ygx12321 ctctot 2cotgxx
