1、用空间向量证(解)立体几何题之 (五) -证明线面平行,用空间向量证(解)立体几何题是现阶段的热门话题 。它可以把一些复杂的证明或计算题用“程序化”的计算来给出解答。,前段时间我们研究了用空间向量求角(包括线线角、线面角和面面角)、求距离(包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离)和证明垂直(包括线线垂直、线面垂直和面面垂直)。,用空间向量证明“平行”, 包括线面平行和面面平行。,M,N,例1.如图:ABCD与ABEF是正方形,CB平面ABEF,H、G分别是AC、BF上的点,且AH=GF. 求证: HG平面CBE.,P,o,z,y,证明:由已知得:AB、BC、BE两两垂直,故可建立如图所示的
2、空间直角坐标系o-xyz.,x,设正方形边长为1, AH=FG=a, 则H(0,1- a , a)、 G(1- a , 1- a,0),故 ,而平面CBE的法向量为 (0,1,0), 故 ,而 平面CBE 故 HG平面CBE,R,例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P、Q分别是A1B1和BC上的动点,且A1P=BQ,M是AB1的中点,N是PQ的中点. 求证: MN平面AC.,作PP1AB于P1,作MM1 AB于M1,连结QP1, 作NN1 QP1于N1,连结M1N1,N1,M1,P1,NN1PP1 MM1AA1,z,y,x,o,证明:建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz,设正方形边长
3、为2,又设A1P=BQ=2x,则P(2,2x,2)、Q(2-2x,2,0) 故N(2-x, 1+x, 1),而M(2, 1, 1),例3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证: 平面A1BD平面CB1D1,于是平面A1BD平面CB1D1,o,z,y,x,证明:建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz,同理可得平面CB1D1的法向量为,则显然有,通过本例的练习,同学们要进一步掌握平面法向量的求法:即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于0,利用解方程组的方法求出平面法向量(在解的过程中可令其中一个未知数为某个数)。,例1、2与例3在利用法向量时有何不同?,例4.在正方体ABCD-A
4、1B1C1D1中,E、F、G、H分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点. 求证: 平面AEH平面BDGF,故得平面AEH平面BDGF,o,z,y,x,略证:建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz,则求得平面AEF的法向量为,求得平面BDGH的法向量为,显然有,故 平面AEH平面BDGF,小结:,利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题,是近年来很“时髦”的话题,其原因是它把有关的“证明”转化为“程序化的计算” 。本课时讲的内容是立体几何中的证明“线面平行”的一些例子,结合我们以前讲述立体几何的其他问题(如:证明垂直、求角、求距离等),大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路”。,利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标。,作业: 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是A1D1 、 BB1的中点,问:在边CC1上是否存在一点P,使AC平面EFP?若存在,求出P的位置;若不存在,请说明理由。,2.在四棱锥P-ABCD中,底ABCD是正方形, 且PA=PB=PC= PD=AB=BC= CD =DA, M、N分别 是PA、BD上的 动点, 且PM:MA=BN:ND。问:直线MN与平面PBC有什么关系?请证明你的结论.,再见,