1、三角形常见辅助线的做法,利用三角形的角平分线构造全等三角形,一、倍长中线法,遇到中线可以利用倍长中线，构造X全等，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。,如图，若AD为ABC的中线，,结论：,A,B,C,D,E,1,2,延长AD到E，使DE=AD，连结BE（也可连结CE）。,ABDECD，,1=E，,B=2，,EC=AB，CEAB。,可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,二、角平分线对称全等,如图，在ABC中，AD平分BAC。,方法一：,A,B,C,D,E,必有结论：,在AB上截取AE=AC，连结DE。,ADEADC。,ED=CD，,3,*,2,1,AED=C，,ADE
2、=ADC。,方法二：,A,B,C,D,F,延长AC到F，使AF=AB，连结DF。,必有结论：,ABDAFD。,BD=FD，,3,*,2,1,如图，在ABC中，AD平分BAC。,可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,B=F，,ADB=ADF。,A,B,C,D,M,N,方法三：,作DMAB于M，DNAC于N。,必有结论：,AMDAND。,DM=DN，,3,*,2,1,如图，在ABC中，AD平分BAC。,可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,AM=AN，,ADM=AND。,（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN）,证明：,例1
3、,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,E,在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。, BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在ABD和EBD中 AB=EB（已知） 1=2（已证） BD=BD（公共边）ABDEBD（S.A.S）,1,2,4,3, 3+ 4180（平角定义），A3（已证）A+ C180 （等量代换）,3,2,1,*, A3（全等三角形的对应角相等）, AD=CD（已知），AD=DE（已证）DE=DC（等量代换）,4=C（等边对等角）,AD=DE（全等三角形的对应边相等）,证明:,例1,已知：如图
4、，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,F,延长BA到F，使BF=BC，连结DF。, BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在BFD和BCD中 BF=BC（已知） 1=2（已证） BD=BD（公共边）BFDBCD（S.A.S）,1,2,4,3, FC（已证）4=C（等量代换）,3,2,1,*, FC（全等三角形的对应角相等）, AD=CD（已知），DF=DC（已证）DF=AD（等量代换）,4=F（等边对等角）, 3+ 4180 （平角定义）A+ C180 （等量代换）,DF=DC（全等三角形的对应边相等）,证明:,例1,已知
5、：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,M,作DMBC于M，DNBA交BA的延长线于N。, BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义） DNBA，DMBC（已知）N=DMB=90（垂直的定义）在NBD和MBD中 N=DMB （已证） 1=2（已证） BD=BD（公共边）NBDMBD（A.A.S）,1,2, 4=C（全等三角形的对应角相等）,N,4,3,3,2,1,*, ND=MD（全等三角形的对应边相等）, DNBA，DMBC（已知）NAD和MCD是Rt在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已证） AD=CD（已知）R
6、tNADRtMCD（H.L）, 3+ 4180（平角定义）， A3（已证）A+ C180（等量代换）,证明:,例1,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,M,作DMBC于M，DNBA交BA的延长线于N。,1,2,N,4,3,3,2,1,*, BD是ABC的角平分线（已知） DNBA，DMBC（已知） ND=MD（角平分线上的点到这 个角的两边距离相等）, 4=C （全等三角形的对应角相等）, DNBA，DMBC（已知）NAD和MCD是Rt在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已证） AD=CD（已知）RtNADRtMCD（
7、H.L）, 3+ 4180（平角定义） A3（已证）A+ C180（等量代换）,练习1,如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：C=2B,A,B,C,D,E,1,2,2,1,证明:,在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。, AD是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在AED和ACD中 AE=AC（已知） 1=2（已证） AD=AD（公共边）AEDACD（S.A.S）,3,B=4（等边对等角）,4,*, C3（全等三角形的对应角相等),又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）EB=DC=ED（等量代换）, 3= B+4= 2B（三角形的一个外角等于和它不
8、相邻的两个内角和）C=2B（等量代换）,ED=CD（全等三角形的对应边相等）,练习1,如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：C=2B,A,B,C,D,F,1,2,证明:,延长AC到F，使CF=CD，连结DF。, AD是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义） AB=AC+CD，CF=CD（已知） AB=AC+CF=AF（等量代换）, ACB= 2F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）ACB=2B（等量代换）,3,2,1,*,在ABD和AFD中 AB=AF（已证） 1=2（已证） AD=AD（公共边）ABDAFD（S.A.S）, FB（全等三角形的对
9、应角相等）, CF=CD（已知）B=3（等边对等角）,练习2,如图，已知直线MNPQ，且AE平分BAN、BE平分QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。,证明:,延长AE，交直线PQ于点F。,*,3,0,*,22,21,A,B,C,D,E,M,N,P,Q,1,2,3,4,F,5,练习2,如图，已知直线MNPQ，且AE平分BAN、BE平分QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。,证明:,延长BA到点G，使得AG=AD，连结EG。,*,3,0,*,22,21,A,B,C,D,E,M,N,P,Q,1,2,3,4,G,
10、练习2,如图，已知直线MNPQ，且AE平分BAN、BE平分QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。,证明:,延长BA到点G，使得AG=AD，连结EG。,*,3,0,*,22,21,A,B,C,D,E,M,N,P,Q,1,2,3,4,G,练习3,已知：如图在RtABC中，BAC=90，AEBC， BD是ABC的角平分线， GFBC ，求证：AD=FC。,A,B,C,D,E,H,1,2,证明:,过D作DHBC，垂足为H。,G,F,*,3,0,*,如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？,小结：,（3）作DMAB于M，DNAC于N。,（1）在AB上截取AE=AC，连结DE。,（2）延长AC到F，使AF=AB，连结DF。,A,B,C,D,E,F,M,N,必有结论：ADEADC。,必有结论：ABDAFD。,必有结论：AMDAND。,可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,如图，在ABC中，AD为BAC的角平分线。,*,3,0,*,如何利用三角形的高来构造全等三角形？,如图，在ABC中，ADBC，ABC=2C。求证：AB+BD=CD,提示：,（1）延长DB到点E，使BE=AB，连结AE。,（2）在DC上截取点E，使DE=BD，连结AE。,A,B,C,D,*,0,*,
