1、第三讲 矩阵的初等变换,一 初等变换的概念,三 初等行变换法求逆矩阵,矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨中都起重要的作用,二 初等矩阵及其性质,本讲主要讨论三个问题,1 方程组的同解变换与增广矩阵的关系,在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换,一 初等变换的概念,同解变换有,(1) 交换两个方程的位置,(2) 把某个方程乘以一个非零数,(3) 某个方程的非零倍加到另一个方程上,交换(A b) 的第1行与第2行,增广矩阵的比较,例1,(A b)=,2 -1 -1 1 2,1 1 -2 1 4,4 -
2、6 2 -2 4,3 6 -9 7 9,2 -1 -1 1 2,1 1 -2 1 4,4 -6 2 -2 4,3 6 -9 7 9,(A b)第3行乘以1/2,例1,增广矩阵的比较,(A b)=,2 -1 -1 1 2,1 1 -2 1 4,4 -6 2 -2 4,3 6 -9 7 9,2 -1 -1 1 2,1 1 -2 1 4,2 -3 1 -1 2,3 6 -9 7 9,(A b) 第2行乘以(2)加到第1行,例如,增广矩阵的比较,(A b)=,2 -1 -1 1 2,1 1 -2 1 4,4 -6 2 -2 4,3 6 -9 7 9,0 -3 3 -1 -6,1 1 -2 1 4,2
3、-3 1 -1 2,3 6 -9 7 9,2 初等变换定义,初等行变换,(1)交换矩阵的两行,rirj,row,(2) 以数k0乘矩阵的某一行,rik,(3)把矩阵的某一行的k倍加到另一行上,ri+krj,初等列变换,(1)交换矩阵的两列,cicj,column,(2) 以数k0乘矩阵的某一列,cik,(3)把矩阵的某一列的k倍加到另一列上,ci+kcj,初等变换,初等行变换与初等列变换统称为初等变换,r2r4,例1,r12,-9 3 78 -1 1 1 -2 1 3,2 10 -2 -2,r1-r32,-9 3 78 -1 1 1 -2 1 3,0 14 -4 -8,初等阵有三种：,二、初等
4、矩阵,对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵,第j行乘k加到第i行 =第i列乘k加到第j列,I(i, j),I(i(k),I(i, j(k),第i行与第j行交换 =第i列与第j列交换,第i行乘k =第i列乘k,=I(2, 4),例如，下面是几个4阶初等矩阵：,r2r4,=I(2, 4),c2c4,=I(3(4),r34,=I(3(4),c34,=I(2,4(k),r2+kr4,=I(2,4(k),c4+kc2,第4行乘k加到第2行 =第2列乘k加到第4列,定理 设A是一个mn矩阵,三 初等矩阵的性质,(1) 对A施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵,即,定理1 设A是一个
5、mn矩阵,三 初等矩阵的性质,相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵,(2) 对A施行一次初等列变换,即,第j列乘k加到第i列 =第i行乘k加到第j行,例如，设,3,0,1,1,-1,2,0,1,1,A= ，有,I(1, 2)A=,AI(1, 2)=,第一行与第二行交换,第一列与第二列交换,I(1,3(2)A=,AI(1,3(2)=,例如，设,3,0,1,1,-1,2,0,1,1,A= ，有,第三行乘2加到第一行,第一列乘2加到第三列,定理2 初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵,(3) I( i , j(k) )-1 = I(i , j(-k),(2) I( i(k) )-1=
6、I( i(k-1) ),(1) I(i, j)-1= I(i, j),证明,(1) I(i, j) I(i, j) = I,(2) I(i(k-1) I(i(k) = I,(3) I(i , j(-k) I( i ,j(k) = I,举例如下,举例如下,举例如下,四 求逆矩阵的初等行变换法,首元: 每行第一个不为0的元素,首元严格单调右移动 (即: 不能停留亦不能回头),1 阶梯形,行简化阶梯形，标准形,阶梯形:,（1）如果有0行,则0 行在最下方,(2）首元 列标随行标增加而严格增加,行简化阶梯形：满足下列条件的阶梯形,标准形：,（2） 首元所在列其余的元素全为0,(1) 首元为1,左上角为
7、单位阵其余位置全为0,例1 阶梯形,行简化阶梯形，标准形,5 1 3 8 4 7 2 0 0 2 5 6 8 7 5 0 0 3 4 5 2 6 9 0 0 0 0 0 4 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0,E=,例1 阶梯形,行简化阶梯形，标准形,例2 阶梯形,行简化阶梯形，标准形,例 3 阶梯形,标准阶梯形，标准形,第一步,(1) 在第一列中选一个非0元作为首元（一般选较小接近1的数）并将此元素交换到a11位置,(2) 将首元变为1，此列其余元素全变为0,第二步,选定下一个首元， 将首元变为1，此列其余元素全变为0,将矩阵用初等行变换化为行简化阶梯形的步骤:,第三步,重复第二步,0
8、0 0 0 0,第一行乘-2加到第二行,第二行与第三行 交换位置,第二行除以2 第二行乘-5加到第一行,例 1 用初等行变换化为行简化阶梯形,第一行与第二行交换位置,0 0 5 -3,0 0 3 -1,第一行乘-2加到第三行 第一行加到第四行,例 2 用初等行变换化为行简化阶梯形,第一行除以2 第二行除以3,0 0 5 -3,0 0 3 -1,0 0 1 1/3,1 1/2 -1/2 1,1 1/2 0 7/6,0 0 0 -14/3,0 0 0 -2,第二行乘 1/2 加到第一行 第二行乘 -5 加到第三行 第二行乘 -3 加到第四行,1 1/2 0 7/6,0 0 0 -14/3,0 0
9、0 -2,第三行乘 -3/14 第三行乘 -1/3 加到第二行 第三行乘 -7/6 加到第一行 第三行乘 2 加到第四行,0 3 3,0 2 1,第二行乘 4 加到第一行 第二行乘 -2 加到第三行,0 1 1,第二行除以3,0 1,0 0 - 1,第一行乘 -2 加到第二行 第一行 加到第三行,例 3 用初等行变换化为行简化阶梯形,-1 3 -1 1 -1 -1 4 2 3 -2 2 3 4,A=,例 4 用初等行变换化为行简化阶梯形,第一行乘 -2 加到第二行, 第一行乘-3 加到第三行,1 -1 3 -1 1,0 1 -7 6 0,0 1 -7 6 1,第二行乘 加到第一行 第二行乘-1
10、 加到第三行,0 1 -7 6 0,1 0 -4 5 1,0 0 0 0 1,0 1 -7 6 0,0 0 0 0 1,1 0 -4 5 0,1 1 1 1 1 2 1 0 -3 6 0 1 2 3 6 -3 5 4 3 2 6 1,A=,例 5 用初等行变换化为行简化阶梯形,1 1 1 1 1,0 -1 -2 -3 -6 3,0 1 2 3 6 -3,0 -1 -2 -3 1 -4,0 -1 -2 -5 4,0 1 2 3 6 - 3,0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 7 -7,0 -1 -2 0 1,0 1 2 3 0 3,0 0 0 0 1 -1,0 0 0 0 0 0,2 求逆矩
11、阵的初等行变换法,定理1 任意一个矩阵Amn经过若干次初等变换可以化为,推论 如果A为n阶可逆矩阵，则A的标准型为D=I n,证明：,A经过若干次初等变换,可化为标准型矩阵D,所以存在可逆矩阵P与Q，使PAQ=D,|P| |A| |Q|=|D|,因为A、P、Q都可逆,行列式都不等于零,所以 |D|0，从而 D=I n,标准形,即A可以表示为一些初等矩阵的乘积,=Ps-1P1-1Qt-1 Q1-1,A=Ps-1P1-1IQt-1 Q1-1,P1Ps AQ1 Qt=I,定理2 n 阶矩阵A可逆,A可以表示为一些初等矩阵的乘积,证明,充分性是显然的，只需证必要性,若A可逆，则经若干次初等变换可化为I
12、,即存在初等阵P1， ，Ps，Q1， ，Qt，使,求逆矩阵的初等行变换法,如果A可逆，则A-1也可逆,A-1=G1G2 Gk,A-1A=G1G2 Gk A,G1G2 Gk A = I,G1G2 Gk I = A-1,分析如下,G1 G2 Gk为初等阵,对A施以若干初等 行变换化为单位阵I,对单位阵I 施以相同初等行变换化为A-1,初等行变换,特别提示:不能进行列变换,A= 的逆矩阵,例1 求矩阵,解,r2-2r1,r3+3r1,r3-2r2,r2+r3,r1-0.5r3,(A I )=,r30.5,练习：1求下列矩阵的逆,解,(A I ) =,第一行乘 -2 加到第二行 第一行乘 -1 加到第
13、三行,0 -3 -4 -2 1 0,0 1 1 -1 0 1,0 -3 -4 -2 1 0,0 1 1 -1 0 1,第二行与第三行交换位置,0 -3 -4 -2 1 0,0 1 1 -1 0 1,1 0 1 3 0 -2,0 0 -1 -5 1 3,第二行乘 -2 加到第一行 第二行乘 3 加到第三行,1 0 0 -2 1 1,0 1 0 -6 1 4,第三行 加到第一行 第三行加到第二行,练习：2 求 矩阵的逆,1 2 3,A=,2 2 1,3 4 3 0 0 1,解,(A I)=,1 2 3 1 0 0,2 2 1 0 1 0,3 4 3,0 -2 -6 -3 0 1,1 2 3 1 0
14、 0,0 -2 -5 -2 1 0,0 0 -1 -1 -1 1,1 0 -2 -1 1 0,0 -2 -5 -2 1 0,0 0 -1 -1 -1 1,1 0 0 1 3 -2,0 -2 0 3 6 -5,0 0 1 1 1 -1,1 0 0 1 3 -2,0 1 0 -3/2 -3 5/2,练习：3 求 矩阵的逆,-6 -1 1 0 0 1,解,(A I)=,-2 -1 6 1 0 0,4 0 5 0 1 0,0 2 -17 -3 0 1,-2 -1 6 1 0 0,0 -2 17 2 1 0,0 0 0 -1 1 1,-2 -1 6 1 0 0,0 -2 17 2 1 0,可知: A-1
15、不存在,用初等变换解矩阵方程,(1) AX=B,初等行变换,(2) XB=C,初等列变换,(3) AXB=C,C,AXB,例1 解方程 AX=B 其中,1 2 3,A=,2 5,B=,解,AX= B,2 2 1,3 4 3,3 1,4 3,1 2 3 2 5,2 2 1 3 1,3 4 3 4 3,1 2 3 2 5,0 -2 -5 -1 -9,0 -2 -6 -2 -12,1 0 -2 1 -4,0 -2 -5 -1 -9,0 0 -1 -1 -3,1 0 0 3 2,0 -2 0 4 6,0 0 -1 -1 -3,1 0 0 3 2,0 1 0 -2 -3,0 0 1 1 3,例2 解方程
16、 AX=B 其中,1 0 1,A=,3 1,B=,解,AX= B,1 -1 0,0 1 2,1 0,0 4,1 0 1 3 1,1 -1 0 1 0,0 1 2 0 4,1 0 1 3 1,0 -1 -1 -2 -1,0 1 2 0 4,1 0 1 3 1,0 1 1 2 1,0 0 1 -2 3,1 0 0 5 -2,0 1 0 4 -2,0 0 1 -2 3,例3 解方程 XA=A+2X其中,4 2 3,A=,解,XA=A+2X,1 1 0,-1 2 3,3 0 1 3 0 3,2 -1 2 2 1 2,2 1 -1 4 1 -1,1 1 -1 1 -1 1,2 -1 2 2 1 2,2
17、1 -1 4 1 -1,只能进行列变换,1 1 -1 1 -1 1,2 -1 2 2 1 2,2 1 -1 4 1 -1,1 1 -1 1 -1 1,0 -3 4 0 3 0,0 -1 1 2 3 -3,1 1 -1 1 -1 1,0 -3 4 0 3 0,0 -1 1 2 3 -3,1 0 0 3 2 -2,0 0 1 -6 -6 9,0 -1 1 2 3 -3,1 0 0 3 2 -2,0 0 1 -6 -6 9,0 -1 0 8 9 -12,1 0 0 3 2 -2,0 0 1 -6 -6 9,0 1 0 -8 -9 12,例4 设A= ，B= ， C=,求矩阵X 使AXBC,解,XA-
18、1CB-1,注意矩阵次序,例5 解方程 AX=B 其中,-1 2 -3 5 3 -4 4,A=,-1 -2 3 5 -4,B=,解,AX= B,所以,=,例 6 解矩阵方程 X-XA=B 其中,0 1 1 0 -3 2 -3,A=,-2 1 -3 4 1,B=,解,X-XA = B,XE-XA= B,X(E-A)= B,所以,=,(E-A)-1=,练习 1 解矩阵方程 AX=B 其中,1 -1 2 1 0 1 -1 1,A=,-1 3 4 3 2,B=,练习 2 解矩阵方程 AXB=C 其中,0 1 00 0 0 0 1,A=,-1 0 1,B=,-1 1 0 1 2 0,C=,五 矩阵的秩,
19、1 矩阵的秩定义,设A是mn矩阵，从A中任取k行k列, 交叉位置的元素构成的k阶行列式,称为A的一个k阶子式,k 阶子式：,例1,选定第1、3两行及第2、4两列,例2,选定第1、2、3行及第1、3、4列，,得一个3阶子式,矩阵的秩：,设A为mn矩阵,A中值不为零的子式最高阶数r,即 存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零,则称r为矩阵A的秩,记为 r(A)=r,rank,(1) 当A=O时，规定r(A)=0,(3) 满秩矩阵:,(2) 显然,(II) 0rmin(m, n),如果 r(A)=min(m, n),(I) r(A)=r(AT),说明,定理2,(1) r(AB) min(r(A
20、), r(B),(2) B, C为可逆阵,则,矩阵秩的性质,定理1 n阶方阵A可逆的充要条件是r(A)=n,满秩方阵,r(A)=r(BA),r(A)=r(AC),矩阵可逆阵,秩不变,(3) 如果A为矩阵,b为列向量,则 r(A)r(A b)r(A)1,矩阵 增加一列,秩最多增加1,定理3,(1) max r(A),r(B) r(A,B) r(A)+ r(B),(2) r(A+B) r(A)+ r(B),(3) r(AB) min r(A), r(B),矩阵和的秩,矩阵积的秩,所以 r(A)=3,例1 已知A=,r(B)=2,r(C)=3,A,B,C均为满秩阵,同理,因为,所以,r(A)=3,3
21、 矩阵秩的计算,(1) 阶梯形矩阵的秩,例2,3 4 4 2 2 4 3 0 0 9 1 5 6 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,A=,因为,所以,r(A)=2,定理1 阶梯形矩阵的秩等于 非0行数 （首元个数）,定理2 矩阵经初等变换后，其秩不变,矩阵A秩的求法,A,阶梯形矩阵,初等变换,此处是唯一既能 行变换 又能列变换的地方,r(A)=非0行数 （首元个数）,解：,所以r(A)=3,例1 求矩阵 的秩,例2 求矩阵 的秩,解,所以r(A)=2,例3 已知 的秩为2,求,解,1,0,0,0,1,0,0,0,例4,解,0,0,1,0,其中 为参数,求r(A)的最大
22、值和最小值,0,0,0,1,例5,解,其中 为参数,r(A)为偶数,求,因为r(A)为偶数,例5,解,其中 为参数,r(A)为偶数,求,因为r(A)为偶数,1 0 0 1,A=,练习1 求矩阵 的秩,1 2 0 -1,3 -1 0 4,1 4 5 1,解,1 0 0 1,0 2 0 -2,0 -1 0 1,0 4 5 0,1 0 0 1,0 1 0 -1,0 0 0 0,0 0 5 4,1 0 0 1,0 1 0 -1,0 0 5 4,0 0 0 0,所以r(A)=3,3 2 0 5 0,A=,练习2 求矩阵 的秩,3 -2 3 6 -1,2 0 1 5 -3,1 6 -4 -1 4,解,1 6 -4 -1 4,3 -2 3 6 -1,2 0 1 5 -3,3 2 0 5 0,1 6 -4 -1 4,0 -4 3 1 -1,0 -12 9 7 -11,0 -16 12 8 -12,1 6 -4 -1 4,0 -4 3 1 -1,0 0 0 4 -8,0 0 0 4 -8,1 6 -4 -1 4,0 -4 3 1 -1,0 0 0 4 -8,0 0 0 0 0,所以r(A)=3,
