1、1,第六章 兰切斯特战斗理论,2,兰切斯特方程模型，实质上是一个微分方程模型。由于考虑大量成员参战，每一个作战单位被毁伤与否的随机性，不会引起作战双方战斗力总量的剧烈变化。作战阶段的兵力的统计平均值，接近当时的实际总兵力值。所以，把参战兵力的损耗看成是连续变化的，从而用反映连续变量特点的一组微分（差分）方程形式描述正常系统的演化(即战斗单元数随时间的变化) 兰切斯特方程可用来对作战过程进行各种预测。例如，预测交战双方哪一方获胜；预测作战过程的大致持续时间；预测战斗结束时胜方战斗损失大小；预测初始总兵力和战斗力的变化会对作战结局带来哪些影响等等,兰切斯特战斗理论,3,兰切斯特第一线性律 兰切斯特
2、第二线性律 兰切斯特平方律 梯曲曼游击战模型 兰切斯特方程的进一步推广 关于损耗系数（损耗率）的讨论 兰切斯特方程的综合分析,主要内容,4,兰切斯特第一线性律以古代战斗模型为基础，战斗结局取决于双方的格斗水平。其假定条件是作战兵力相互暴露，可解释成人对人或武器对武器的交战，每一方损耗率都平均为常值。,设 ， 为红、蓝双方在t=0时刻的初始兵力， ， 为红、蓝双方在t时刻的瞬时兵力（或剩余兵力），即,6.1 兰切斯特第一线性律,5,设 （ ）为红（蓝）方单位时间内损失的作战单位数，即蓝（红）方对红（蓝）方的毁伤率，称为损耗系数,6.1 兰切斯特第一线性律,6,利用初始条件可求得第一线性律常微分方
3、程组的解,状态方程,或,、 分别称为蓝方和红方的初始战斗力， 、 分别称为蓝方和红方的瞬时战斗力,6.1 兰切斯特第一线性律,7,损耗系数,平均战斗力，可定义为已方对另一方的损毁率，是一方某类武器中一件对对方某类武器在单位时间内的平均击毁的数量。蓝方的随耗系数可写为,红方武器命中蓝方目标（或武器）的概率,红方武器在命中蓝方目标条件下的击毁蓝方目标的概率,红方武器的射击速率，即单位时间内的发射弹数,6.1 兰切斯特第一线性律,8,当 ，蓝方胜,其剩余兵力为：,其剩余兵力为：,当 ，红方胜,战斗持续时间为：,战斗持续时间为：,当时 ，双方势均力敌，同归于尽,战斗持续时间为：,6.1 兰切斯特第一线
4、性律,9,图中蓝方取得胜利： ，在时刻T的前后 差值改变符号，T称为兵力转机时刻。求交叉点即可确定T。对第一线性律，若令,令 ，若，则有,存在兵力转机时刻的必要条件是 ，即分子分母同号,6.1 兰切斯特第一线性律,10,当 且时，红方相对于蓝方的兵力将由少到多，其兵力转机时刻为T=,当 且时，蓝方相对于红方的兵力将由少到多，其兵力转机时刻为T=,如果T (战斗持续时间），则兵力少但战斗力强的一方坚持不到兵力转机时刻即被消灭,6.1 兰切斯特第一线性律,11,例1 红方有50辆坦克向蓝方15辆坦克组成的防御阵地发动进攻，每分钟内红方能消灭蓝方1辆坦克，蓝方能消灭红方3辆坦克，战斗采取一对一方式进
5、行。问：哪方取胜？胜方剩余兵力为多少？什么时间胜方兵力为负方的4倍？确定兵力转机时刻。,解：由给定条件知,x0 =50 y015 =3 =1,由于 =45-500，所以，战斗结果为红方胜,红方的剩余兵力为,6.1 兰切斯特第一线性律,12,战斗持续时间为,双方兵力比,得到在10分钟时红方兵力是蓝方的4倍,由 与-0同号，存在兵力转机时刻，其值为,由于兵力转机时刻t1=17.5（分）大于战斗持续时间t。=15（分），所以，虽然蓝方的战斗力较强但坚持不到兵力转机时刻就被消灭。红方获胜，剩余兵力为5辆坦克；在战斗开始后10分钟红方是蓝方兵力的4倍；不存在兵力转机时刻。,6.1 兰切斯特第一线性律,1
6、3,例2 假定红、蓝双方各有12名步兵交战，地形条件迫使他们以一对一方式进行战斗，蓝方的武器对红方步兵的杀伤率是平均每10分钟一个，而红方的武器较低劣，射击技术也不如蓝方，他们对蓝方步兵的杀伤率为每15分钟一个。问题是谁取胜；当一方被消灭时，另一方还幸存多少人；战斗要打多久；在什么时候双方的兵力比值是2：1？,6.1 兰切斯特第一线性律,14,第一线性律适用于同兵种、损耗系数为常数、能进行直接瞄准的一对一格斗的作战过程（如步兵对步兵、坦克对坦克的格斗）,第一线性律的基本特征是：在作战过程中，双方不断减员，兵力对比关系不断变化，但双方在单位时间内的对敌杀伤数却始终恒定,第一线性律所描述的战场态势
7、具有这样的性质：在战斗进行过程中，双方各自的对敌杀伤率不因战斗减员而变化，不因兵力对比关系的变化而变化,6.1 兰切斯特第一线性律,15,第二线性律假定,战斗双方进行远距离的间瞄射击,火力集中在已知敌战斗单位的集结地区，不对个别目标实施瞄准,集结地域大小几乎与部队的集结数量无关,射击带有一定的盲目性，火力集中在已知的敌战斗单位的集结地区，并不针对具体的目标实施射击，而这个集结地区的大小几乎与敌部队的数量无关（面射击模型）。因为射击为随机瞄准且不转移火力，在此情况下，双方的损耗率与自己部队数量成正比,6.2 兰切斯特第二线性律,16,兰切斯特第二线性律方程,单位时间内蓝方每一战斗单位毁伤红方战斗
8、单位的相对数量,单位时间内红方每一战斗单位毁伤蓝方战斗单位的相对数量,6.2 兰切斯特第二线性律,17,第二线性律战斗过程的状态方程,第二线性律的解,为红方对蓝方的初始总战斗力之比,蓝方对红方的瞬时兵力比为,6.2 兰切斯特第二线性律,18,当 ，蓝方胜,其剩余兵力为：,其剩余兵力为：,当 ，红方胜,当时 ，双方势均力敌，同归于尽,6.2 兰切斯特第二线性律,19,如 ，且 ，则可确定红方相对于蓝方兵力数量的一个由少变多的转机时刻T=,k1，否则不存在兵力转机时刻，若令 ，则,令 得：,存在兵力转机时刻的必要条件是 与 同号,如 ，且 ，则可确定蓝方相对于红方兵力数量的一个由少变多的转机时刻T
9、=,6.2 兰切斯特第二线性律,20,例3 蓝军和红军进行炮战，双方各有18门炮，都只知对方火炮的配置区域而不知其准确位置。1分钟内蓝军每门火炮毁伤红军火炮的相对数量为0.008，红军每门火炮毁伤蓝军火炮的相对数量为0.01。问这场炮战谁能取胜？30分钟后双方各剩多少门火炮能继续战斗？,解：由给定条件 ，且 ， ，得初始总战斗力之比为,战斗结果为红方胜。,6.2 兰切斯特第二线性律,21,用t=30计算双方剩余兵力,战斗结束时，红方的剩余兵力为（时间足够长的收敛解）,6.2 兰切斯特第二线性律,22,每一方的损伤率既取决于对方战斗单位对己方战斗单位的毁伤率，又取决于对方战斗单位的数量，从而有微
10、分方程组,蓝方每一战斗单位在单位时间内平均毁伤红方战斗单位的数目,红方每一战斗单位在单位时间内平均毁伤蓝方战斗单位的数目,6.3 兰切斯特平方律,23,、 称为红蓝双方的初始战斗力， 、 为红蓝双方的瞬时战斗力,状态方程,兰切斯特方程的解,6.3 兰切斯特平方律,24,利用平方律的状态方程来讨论战斗结局,双方战斗力之差在作战过程中保持恒定,当 时，蓝方胜,剩余兵力为：,取胜时间为：,6.3 兰切斯特平方律,25,当 时，红方胜,剩余兵力为：,取胜时间为：,当 时，双方势均力敌,在战斗过程中始终有 ，开方可得 ，因而在战斗过程中，双方兵力变化始终是呈线性关系，且表示其变化趋势的直线过原点,6.3
11、 兰切斯特平方律,26,状态方程可表示为双曲线方程,当 时，蓝方胜，战斗过程将沿左上双曲线进行，且与Y轴交点为(0， ),当 时，红方胜，战斗过程将沿右下双曲线进行，且与X轴交点为( ，0),6.3 兰切斯特平方律,27,6.3 兰切斯特平方律,例 如果令红军的最初兵力R0=1000。用这1000 人的兵力接连对蓝军进行了两次战斗，每一次蓝军的兵力均为500人。那么，当双方损耗系数相同时，分别计算每次战斗红军剩余的兵力，以及蓝军的伤亡人数。,28,6.3 兰切斯特平方律,解 由于=，故根据剩余兵力公式，有,第一次战斗，蓝方全部损失500人，红方剩余,第二次战斗，蓝方全部损失500人，红方剩余,
12、29,6.3 兰切斯特平方律,这样，根据集中兵力的原则，红军消灭了1000名蓝军（每次500名，一共两次），而自己只伤亡了293名。因此，根据兰彻斯特平方定律的假定，“分割歼灭”的原则是非常有效的。,30,(1)损耗情况讨论,红方胜且损耗小于蓝方,只要保证 成立，那么本次战斗将以红方取胜结束且红方胜且损耗小于蓝方,红方胜且损耗大于蓝方,6.3 兰切斯特平方律,31,(2)最佳分割,设红方的初始兵力有 人，蓝方被分割的两部分兵力之和 人，其中一部分为 人，则另一部分为 。红方有足够兵力逐一全歼两部之敌，即,完成两次歼灭敌后，红方的剩余兵力 满足关系式,若要红方的取胜代价最小 ，实质上求 值，使下
13、式成立,6.3 兰切斯特平方律,32,如果要把敌人分割为两个部分逐一歼灭，则把敌方分割为相等的两个部分时为最佳分割。在实际战斗中实施分割围歼任务时，应争取使两部分敌人数量尽量相近。,如果要把敌人分割为多个部分逐一歼灭，又会怎样呢,6.3 兰切斯特平方律,(3)最佳分割,33,（1）有兵力补充和非战斗减员的情况,L为红方兵力补充速度； K为蓝方兵力补充速度； 为红方兵力的非战斗损失率； 为蓝方兵力的非战斗损失率： L、K、为常数，、意义同平方律,6.3 兰切斯特平方律,34,当=且=,当E0时，蓝方胜；当E0时，红方胜；当E=0时双方势均力敌,6.3 兰切斯特平方律,35,当=L=0时,当 时，
14、蓝方取胜；当时 ，红方取胜；当时 ，势均力敌,6.3 兰切斯特平方律,36,（2）多兵种交战时平方律的形式,红方有m种不同类型武器，蓝方有n种不同类型武器；各不同武器对同一类目标的损耗效果是可加的；每一类目标的损耗率与对其射击的武器数成正比,6.3 兰切斯特平方律,37,红方第i类武器的瞬时数； 蓝方第j类武器的瞬时数； 蓝方第j类单件武器对捕捉住的红方第i类目标的损耗系数 红方第i类单件武器对捕捉住的蓝方第j类目标的损耗系数 蓝方第j类武器对红方第i类目标的火力分配系数,红方第i类武器对蓝方第j类目标的火力分配系数,6.3 兰切斯特平方律,多兵种交战时平方律,38,(1)集中优势兵力的有利效
15、果在作战过程中，当一方的兵力在数量上占有优势时，则该方总的战斗力将以平方的形式获得一个更大的增量； (2)无论是在战役还是战术行动中，武器效能处于劣势的一方，可以通过集中兵力的途径以抵消另一方在武器性能上的优势； (3)各个击破军事原则的效果：若战斗的一方，能将对方分割成彼此不能相互增援的几部分，然后实施各个击破，那么该方就能以较小的代价去换取较大的作战效果。甚至能以在总体上占劣势的兵力去战胜在总体上占优势的兵力；,6.3 兰切斯特平方律,39,(4)平方律还说明了在开阔地域不宜使用小股部队与大部队相对抗的原则； (5)在适合平方律描述的作战过程中，逐次使用兵力的战术是不可取的。除了应付意外情
16、况而适当留有预备队外，应尽可能集中使用兵力，否则有可能被逐个消灭（各个击破）。,兰切斯特平方律还从定量的角度进一步表明了提高部队总战斗力的两种途径：一是提高作战单位的战斗力（包括人员素质和人力强度）；二是增加作战单位数量，而后一种途径的效果明显且速度快。,6.3 兰切斯特平方律,40,梯曲曼(S.J.Deitch-man)改进了兰切斯特方程，目的在于探索正规军和游击队的战斗过程。正规军采用边搜索边前进的战术，而游击队则在隐蔽条件下，通过伏击来反击正规军的攻击。他在这个模型中指出，游击队可以借助于特定的战术去弥补兵力的不足，打败在人员和武器数量上占优势的正规军；另一方面，正规军适当选择武器，采用
17、反击战术，集中兵力对付游击队也能取胜,6.4 梯曲曼游击战模型,41,红方是游击队，蓝方为正规军；蓝方向有游击队埋伏的预定地点发动进攻，红方则阻止正规军接近。于是，正规军兵力的损失率与向其射击的游击队作战成员数成正比；而正规军的回击只能对游击队的设伏区域进行盲目射击。,单位时间内红方单位成员对蓝方的毁伤数目； 单位时间内蓝方单位成员对红方毁伤的相对数量。,初始条件满足：t=0时， ， ，其中,6.4 梯曲曼游击战模型,42,梯曲曼方程的状态方程,当 ，红方胜，红方的剩余兵力为,当 ，蓝方胜，蓝方的剩余兵力为,当 ，双方势均力敌,6.4 梯曲曼游击战模型,43,当战斗持续时间较长时，可能会出现非
18、战斗减员削弱战斗力，也因此对人员实行医疗和对兵器装备维修而增强了战斗力，则兰切斯特方程变为,式中、 分别为红、蓝非战斗减员率；、 分别为红、蓝恢复(治愈、修复)率。,6.5 兰切斯特方程的进一步推广,44,特拉法加（Trafalgar） 海战,1805 年 10月21日，Trafalgar 海战中，纳尔逊（ Nelson ）以少胜多的战术分析： 英国舰队数量：40艘 法国、西班牙联合舰队数量：46艘 纳尔逊采用从中截断战术,45,46,Trafalgar 海战的定量分析,一般分析： 法西联合舰队实力462=2116 英国舰队实力402=1600 法西联合舰队优势2116-1600=516,47
19、,Trafalgar 海战的定量分析,按照 Nelson 的战术: 第一阶段，左边部分 英国舰队剩余实力： 322-232=1024-529=495 第二阶段实力对比： 英国舰队：495 法西联合舰队:232=529 结论:英国有可能获胜 实战结果：费伦纽夫连同12艘战舰被俘，7艘负伤沉没，其余逃走；英国未损失1艘战舰。,48,硫黄岛战役,美国首都华盛顿广场上，有一座巨型雕像，美国海军陆战队的士兵正奋力插起一面美国国旗。,这座雕像是根据美联社记者乔罗森塔尔拍摄的一张二战著名照片塑成的，这张照片表现的正是硫磺岛上的血战。,49,硫磺岛，位于小笠原群岛南部，是该群岛的第二大岛，北距东京1200余公
20、里（650海里），岛长约8000米，宽约4000米，形状酷似火腿，面积约20平方公里。 岛的南部有一座尚未完全冷却的死火山，叫折钵山，海拔160米，终年喷发雾气，硫磺味弥漫全岛；折钵山以北有一片比较宽阔平整的高地，称为中部高地；再往北，地形逐渐起伏，并有数座山峰，被称为元山地区。 岛上大部分地区都覆盖着厚厚的火山灰。 由于硫磺岛正处在东京与塞班岛之间，是连接美马里亚纳基地和东京的唯一战略中继站，战略地位非常重要。,硫黄岛战役背景,50,51,52,硫黄岛战役背景,岛上日军不仅可以向东京提供早期预警，而且可以起飞战斗机进行拦截，还不断出动飞机攻击美军在塞班岛等地的机场，大大降低美军对日本本土战略
21、轰炸的作用。 硫磺岛对美军而言，简直是如鲠在喉。如果美军占领硫磺岛，从硫磺岛起飞B-29航程减少一半，载弹量则可增加一倍；战斗机如从硫磺岛起飞，可以为B-29提供全程伴随护航；甚至连B-24这样的中型轰炸机也能从硫磺岛起飞空袭日本本土；硫磺岛还可作为B-29的备降机场，供受伤的B-29紧急降落或加油。 因此，硫磺岛成为日、美必争之地。,53,硫黄岛战役美军,在1944年7月14日，美陆军航空兵司令阿诺德上校就建议：“为给B-29超级空中堡垒提供紧急着陆以及给为B-29轰炸东京护航的P-51提供基地，必须夺取硫磺岛”;同年10月3日，美参谋长联席会议正式下达了进攻硫磺岛的命令。 1944年10月
22、初，太平洋舰队司令部的参谋人员就将进攻硫磺岛的计划制定出来，参加作战的地面部队为第5两栖军，下辖海军陆战队第3、4、5师，共约6万人，由霍兰史密斯中将指挥；登陆编队和支援编队，由凯利特纳中将指挥；米切尔中将指挥的第58特混编队负责海空掩护；所有参战登陆舰艇约500艘，军舰约400艘，飞机约2000架，由第五舰队司令斯普鲁恩斯上将统一指挥。,54,硫黄岛战役日军,在1944年前，日军仅仅把硫磺岛作为航空中继基地，只部署了海军守备部队1500余人和飞机20架。 1944年马里亚纳群岛失守后，硫磺岛的重要性日趋明显，日军开始大力加强防御力量，3月下旬将4000余陆军部队送上岛； 5月将硫磺岛的陆军部
23、队整编为第109师团，由栗林忠道中将任师团长，并在岛上配备了120、155毫米岸炮、100毫米高射炮和双联装25毫米高射炮； 7月海军第27航空战队也调至岛上。截止1945年2月，日军在岛上陆军约1.5万余，海军约7000余，共约2.3万人，飞机30余架，由栗林统一指挥。,55,硫黄岛战役日军,日军的海空军主力在菲律宾战役中遭到了毁灭性的打击，已无力为硫磺岛提供海空支援，硫磺岛的抗登陆作战是要在几乎没有海空支援的情况下进行。 栗林曾担任过天皇警卫部队的指挥官，他意识到面对美军绝对海空优势，滩头作战难以奏效。 主张凭借折钵山和元山山地的有利地形，依托坚固的工事，实施纵深防御，但海军守备部队仍坚持
24、歼敌于滩头。 最后粟林做出了折衷的方案，以纵深防御为主，滩头防御为辅，海军守备部队沿海滩构筑永备发射点和坚固支撑点，进行防御；陆军主力则集中在折钵山和元山地区，实施纵深防御。,56,硫黄岛战役日军,日军的防御工事多以地下坑道阵地为主，混凝土工事与天然岩洞有机结合，并有交通壕相互连接。炮兵阵地也大都建成半地下式，尽管牺牲了射界，却大大提高了在猛烈轰击下生存能力。火炮和通讯网络都受到良好保护，折钵山几乎被掏空，筑有的坑道就九层之多！ 针对美军的作战特点，粟林在海滩纵深埋设了大量地雷，机枪、迫击炮、反坦克炮构成绵密火力网，所有武器的配置与射击目标都进行过精确计算，既能隐蔽自己，又能最大限度杀伤敌军。
25、,57,硫黄岛战役日军,唯一不足的是，原计划元山地区将修筑的坑道工事有28公里长，由于时间不够，当美军发动进攻时只完成了70%，约18公里，而且折钵山与元山之间也没有坑道连接。 栗林一改日军在战争初期的硬打死拼战术，规定了近距射击、分兵机动防御、诱伏等战术，还严禁自杀冲锋，号召每一个士兵至少要杀死十个美军。栗林的苦心经营，确实给美军造成了巨大的困难，使硫磺岛之战成为太平洋上最残酷、艰巨的登陆战役。,58,硫黄岛战役作战,在一场大规模的轰炸准备之后，美国人于1945年2月19日开始袭击。,日军要求不惜一切代价守住这个岛，双方伤亡惨重。3月16日，美军宣布这个岛为“安全区”，3月26日战斗结束，5
26、月中旬对躲藏在地洞里的日本战斗人员的清扫工作基本结束。,59,硫黄岛战役结果,硫磺岛战役，日军守备部队阵亡约20000人，被俘1083人，共计21000人。日军其他损失为飞机90余架，潜艇三艘。美军从2月19日至3月26日，阵亡6821人（其中陆战队阵亡5324人），伤21865人，伤亡共计28686人。美日双方伤亡比为1.23：1。 美军登陆部队伤亡人数占总人数的30%，陆战三师的战斗部队伤亡60%，而陆战四师、五师战斗部队的伤亡更是高达75%，第五两栖军几乎失去了战斗力。美军还有一艘护航航母被击沉，航母、登陆兵运输舰、快速运输舰、中型登陆舰、扫雷舰、运输船各一艘、坦克登陆舰两艘被击伤。,6
27、0,硫黄岛战役结果,美军付出的巨大代价很快就得到回报，当美军登陆后，工兵部队就上岛抢修扩建机场，至4月20日，上岛的工兵部队已有7600人，将一号机场跑道扩建为3000米，二号机场的跑道扩建为2100米，不仅进驻了战斗机部队，还成为美军B-29轰炸机的应急备降机场。 美军战斗机部队进驻硫磺岛后，其作战半径就覆盖了日本本土，能有效掩护轰炸机对日本本土的战略轰炸，并将轰炸效果提高了一倍以上。硫磺岛上应急备降场至战争结束，累计共有2.4万架次受伤或耗尽燃料的B-29在此紧急降落，从而挽救了这些飞机上2.7万名空勤人员。,61,硫黄岛战役结果,美军在硫磺岛的惨重伤亡，也使美军的高层意识到如果进攻日本本
28、土，一定会遇到比在硫磺岛更顽强的抵抗，美军的伤亡将会更惨重。因此，日后美国对日本使用原子弹，很大程度上是出于担心在日本本土登陆将会遭到硫磺岛那样的巨大伤亡。,62,硫黄岛战役结果,日军在硫磺岛那样被几乎完全孤立的岛屿上进行的抗登陆战，以两万之众，依托工事抗击了十万美军整整一个月之久，栗林也因为以其谋略、坚韧，领导并组织了硫磺岛的抗登陆战，甚至赢得了美军对他的尊敬。日军面对这样的精兵强将，如此密集猛烈的火力，孤军奋战，硫磺岛战役也因此成为登陆与抗登陆的经典战例，备受瞩目与研究。,63,硫黄岛战役分析,日方守军21500人全部阵亡或被俘，美军投入兵力73000人，伤亡20265人，战争进行到28天
29、时美军宣布占领该岛，实际战斗到36天才停止。美军有按天统计的战斗减员和增援情况的战地记录，日军没有后援，战地记录全部遗失。,64,硫黄岛战役分析,在将理论模型与实际数据进行比较时，遇到了麻烦：没有日军方面的记载！ 显然，日军指挥官栗林将军所掌握的伤亡数表在战斗中被毁掉，保存在东京的任何记载在最后五个月的战争中也被燃烧弹烧毁。 不管怎样，日军最初的人数是惊人的。在整个战斗中没有一个日本人从岛上逃去，没有一艘日本船只和飞机在岛上登陆或离去；每个日军士兵或被打死或被俘虏。这样尸体数和囚犯数就为我们提供了有关日军的数据。,65,硫黄岛战役分析,66,硫黄岛战役分析,美国的增援率f(t)为,67,硫黄岛战役分析,由增援率和每天的伤亡人数可算出x(t),t=1,2,36 取t=36，因为y(36)=0，且由x(t)的实际数据可得,68,硫黄岛战役分析,为了求出上式右边的各个量，我们将利用下面的数字：,69,硫黄岛战役分析,从而有,70,硫黄岛战役分析,
