1、5.3 解直角三角形,中考数学 (北京专用),2014-2018年北京中考题组,五年中考,1.(2012北京,19,5分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,BAC=90,CED=45, DCE=30,DE= ,BE=2 .求CD的长和四边形ABCD的面积.,解析 过点D作DFAC于点F. 在RtDEF中,DFE=90,DEF=45,DE= , DF=EF=1.在RtCFD中,CFD=90,DCF=30, CD=2DF=2. FC= . 在RtABE中,BAE=90,AEB=CED=45,BE=2 , AB=AE=2. AC=AE+EF+FC=3+ .,S四边形ABCD=SAC
2、D+SABC = ACDF+ ACAB = (3+ )1+ (3+ )2 = + . 四边形ABCD的面积是 + .,2.(2011北京,20,5分)如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E,点 F在AC的延长线上,且CBF= CAB. (1)求证:直线BF是O的切线; (2)若AB=5,sinCBF= ,求BC和BF的长.,解析 (1)证明:连接AE. AB是O的直径,AEB=90. 1+2=90. AB=AC,1= CAB. CBF= CAB, 1=CBF,CBF+2=90,即ABF=90. AB是O的直径,直线BF是O的切线.(2)过点C作CGAB于点G.
3、,sinCBF= ,1=CBF,sin1= . AEB=90,AB=5,BE=ABsin1= . AB=AC,AEB=90,BC=2BE=2 . 在RtABE中,由勾股定理得AE= =2 , sin2= ,cos2= . 在RtCBG中,可求得GC=4,GB=2,AG=3. GCBF,AGCABF, = ,BF= = .,评析 将解直角三角形与圆、相似等知识结合在一起考查是北京市中考命题常采用的形式.,教师专用题组,考点一 锐角三角函数,1.(2018云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为 ( ) A.3 B. C. D.,答案 A AC=1,BC=3,
4、C=90,tan A= =3.,2.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长都为1,则 tanBAC的值为 ( )A. B.1 C. D.,答案 B 如图,连接BC. 在ABD和BCE中, ABDBCE(SAS), AB=BC,ABD=BCE. BCE+CBE=90, ABD+CBE=90,即ABC=90, tanBAC= =1,故选B.,3.(2017黑龙江哈尔滨,8,3分)在RtABC中,C=90,AB=4,AC=1,则cos B的值为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 由勾股定理可得BC= ,所以cos B= = .故选A.,4.(20
5、17甘肃兰州,3,4分)如图,一个斜坡长130 m,坡顶离水平地面的距离为50 m,那么这个斜坡 与水平地面夹角的正切值等于 ( )A. B. C. D.,答案 C 在直角三角形中,根据勾股定理可知水平的直角边长为120 m,故这个斜坡与水平地 面夹角的正切值等于 = ,故选C.,思路分析 先利用勾股定理求得第三边的长,再利用正切的定义求正切值.,5.(2016福建福州,9,3分)如图,以O为圆心,1为半径的弧交坐标轴于A,B两点,P是 上一点(不与 A,B重合),连接OP,设POB=,则点P的坐标是 ( )A.(sin ,sin ) B.(cos ,cos ) C.(cos ,sin ) D
6、.(sin ,cos ),答案 C 过P作PQOB,交OB于点Q,在RtOPQ中,OP=1,POQ=, sin = ,cos = ,即PQ=sin ,OQ=cos , 点P的坐标为(cos ,sin ).故选C.,6.(2016广东,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cos 的值是 ( )A. B. C. D.,答案 D 过点A作AB垂直x轴于B, 则AB=3,OB=4. 由勾股定理得OA=5. cos = = .故选D.,7.(2015甘肃兰州,4,4分)如图,ABC中,B=90,BC=2AB,则cos A= ( )A. B. C. D.,答案 D 设AB=k(
7、k0),则BC=2k, B=90, AC= = k,cos A= = = , 故选D.,8.(2015河北,9,3分)已知:岛P位于岛Q的正西方,由岛P,Q分别测得船R位于南偏东30和南偏西 45方向上.符合条件的示意图是 ( ),答案 D 本题考查方向角的简单识别,选D.,9.(2014浙江杭州,3,3分)在直角三角形ABC中,已知C=90,A=40,BC=3,则AC= ( ) A.3sin 40 B.3sin 50 C.3tan 40 D.3tan 50,答案 D C=90,A=40,B=50,又tan B= ,AC=BCtan B=3tan 50,故选D.,10.(2017山西,15,3
8、分)一副三角板按如图方式摆放,得到ABD和BCD,其中ADB=BCD= 90,A=60,CBD=45.E为AB的中点,过点E作EFCD于点F.若AD=4 cm,则EF的长为 cm.,答案 ( + ),解析 如图,连接DE,过点E作EMBD于点M,设EF交BD于点N,AD=4 cm,A=60,AB=8 cm,DB=4 cm,点E为AB的中点,EMBD,DE= AB=4 cm,EM= AD=2 cm,由等腰直角三 角形的性质可知ENM=FND=45,在RtENM中,EN= EM=2 cm,MN=EM=2 cm, DN=DM-MN= DB-MN=(2 -2)cm,在RtDFN中,FN= DN=( -
9、 )cm,EF=EN+FN= 2 + - =( + )cm.,一题多解 过点A作AGCD的延长线于点G,CDB=CBD=45,ADB=90,ADG= 45,AG= =2 cm,ABD=30,BD= AD=4 cm,CBD=45,BC= =2 cm,AGCG,EFCG,CBCG,AGEFBC,E是AB的中点,点F为CG的中点,EF= (AG+BC)= (2 +2 )=( + )cm.,11.(2017四川绵阳,18,3分)如图,过锐角ABC的顶点A作DEBC,AB恰好平分DAC,AF平分 EAC交BC的延长线于点F,在AF上取点M,使得AM= AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若 AC=2,
10、AMH的面积是 ,则 的值是 .,答案 8-,解析 过H作HGAC于点G,如图.AF平分EAC,EAF=CAF. DEBF,EAF=AFC, CAF=AFC,CF=CA=2. AM= AF,AMMF=12. DEBF, = = = , AH=1,SAHC=3SAHM= , 2GH= ,GH= ,在RtAHG中,AG= = , GC=AC-AG=2- = , = =8- .,解题思路 过H作HGAC于点G,构造直角三角形,再分别求出相应的边即可.,12.(2018四川成都,18,8分)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功 完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,
11、到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70 方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37方向.如 果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处,求还需航行的距离BD的长.(参考数据:sin 700.94,cos 700.34,tan 702.75,sin 370.60,cos 370.80,tan 370.75),解析 由题可知ACD=70,BCD=37,AC=80. 在RtACD中,cosACD= ,0.34 ,CD27.2, 在RtBCD中,tanBCD= ,0.75 ,BD20.4. 答:还需要航行的距离BD的长为20.4海里.,13.(2018吉林,21,
12、7分)数学活动小组的同学为测量旗杆高度,制定了如下测量方案,使用的工具 是测角仪和皮尺,请帮助组长林平完成方案内容,用含a,b,的代数式表示旗杆AB的高度. 数学活动方案 活动时间:2018年4月2日 活动地点:学校操场 填表人:林平,解析 测量步骤:(1)测角仪. (1分) (2)皮尺. (2分) 计算过程:由题意可知ADE=,DE=BC=a,BE=CD=b. 在RtADE中,AED=90. tanADE= , AE=DEtanADE. (4分) AE=atan . AB=AE+BE=(b+atan )米. (7分) 评分说明:计算结果没写单位或不加括号不扣分.,14.(2017黑龙江哈尔滨
13、,22,7分)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点 均在小正方形的顶点上. (1)在图中画出以AB为底、面积为12的等腰ABC,且点C在小正方形的顶点上; (2)在图中画出平行四边形ABDE,且点D和点E均在小正方形的顶点上,tanEAB= .连接CD, 请直接写出线段CD的长.,解析 (1)正确画图. (2)正确画图. CD= .,15.(2017福建,22,10分)小明在某次作业中得到如下结果: sin27+sin2830.122+0.992=0.994 5, sin222+sin2680.372+0.932=1.001 8, sin229+sin2610.482+0
14、.872=0.987 3, sin237+sin2530.602+0.802=1.000 0, sin245+sin245= + =1. 据此,小明猜想:对于任意锐角,均有sin2+sin2(90-)=1. (1)当=30时,验证sin2+sin2(90-)=1是否成立; (2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.,解析 (1)当=30时,sin2+sin2(90-)=sin230+sin260= + = + =1. 所以,当=30时,sin2+sin2(90-)=1成立. (2)小明的猜想成立.证明如下: 如图,ABC中,C=90, 设A=,则B=90-. si
15、n2+sin2(90-)= + = = =1.,16.(2014重庆,20,7分)如图,ABC中,ADBC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tanBAD= ,求sin C 的值.,解析 ADBC,tanBAD= , (1分) tanBAD= ,AD=12, = , (2分) BD=9. (3分) CD=BC-BD=14-9=5, (4分) 在RtADC中,AC= = =13, (6分) sin C= = . (7分),考点二 解直角三角形,1.(2016重庆,11,4分)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动.如图,在点A 处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36.然后沿在同
16、一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B 处,然后再沿水平方向行走6米至大树底端D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=12.4,那么大树CD 的高度约为(参考数据:sin 360.59,cos 360.81,tan 360.73) ( )A.8.1米 B.17.2米 C.19.7米 D.25.5米,答案 A 作BFAE于F,如图所示,易知四边形BDEF为矩形,则FE=BD=6米,DE=BF, 斜面AB的坡度i=12.4,AF=2.4BF, 设BF=x米,则AF=2.4x米, 在RtABF中,x2+(2.4x)2=132,解得x=5, DE=BF=5米,AF=12米, AE=AF+FE=18米, 在RtA
17、CE中,CE=AEtan 36180.73=13.14米, CD=CE-DE=13.14-58.1米,故选A.,2.(2015江苏苏州,10,3分)如图,在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站,AB=2 km,从A测得船C 在北偏东45的方向,从B测得船C在北偏东22.5的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为 ( )A.4 km B.(2+ )km C.2 km D.(4- )km,答案 B 如图,在RtABE中,AEB=45, AB=EB=2 km,AE=2 km, EBC=22.5,ECB=AEB-EBC=22.5, EBC=ECB,EB=EC=2 km, AC=AE+EC=(2
18、+2)km. 在RtADC中,CAD=45,AD=DC=(2+ )km. 即点C到l的距离为(2+ )km,故选B.,3.(2015四川绵阳,10,3分)如图,要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯,路灯的灯臂CD长2 米,且与灯柱BC成120角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直.当灯罩的轴线 DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳.此时,路灯的灯柱BC高度应该设计为 ( )A.(11-2 )米 B.(11 -2 )米 C.(11-2 )米 D.(11 -4)米,答案 D 延长BC、OD交于点E, CDOD,DCB=120,E=30, B=90,OB=22 =11米, EB=
19、11 米, 在RtDCE中,CE=2DC=4米. BC=EB-CE=(11 -4)米,故选D.,4.(2015江西南昌,12,3分)图1是小志同学书桌上的一个电子相框,将其侧面抽象为如图2所示的 几何图形,已知AB=AC=15 cm,BAC=40,则点A到BC的距离为 cm(参考数据:sin 20 0.342,cos 200.940,sin 400.643,cos 400.766.结果精确到0.1 cm,可用科学计算器).,答案 14.1,解析 过点A作ADBC于点D,因为AB=AC,BAC=40,所以DAC= BAC=20. 在RtADC中,AD=ACcos 20150.940=14.1 c
20、m.,5.(2014浙江宁波,17,4分)为解决停车难的问题,在如图一段长56米的路段开辟停车位,每个车 位是长5米、宽2.2米的矩形,矩形的边与路的边缘成45角,那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位.( 1.4),解析 如图,易知BC=2.2cos 45=2.2 1.54米,CE=5sin 45=5 3.5米, 则BE=BC+CE=5.04米, EF=2.2sin 45=2.2 3.14米, (56-5.04)3.14+1=50.963.14+116+1=17(个). 故这个路段最多可以划出17个这样的停车位.,答案 17,6.(2018天津,22,10分)如图,甲、乙两座建筑物的水平距
21、离BC为78 m,从甲的顶部A处测得乙的 顶部D处的俯角为48,测得底部C处的俯角为58,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整 数). 参考数据:tan 481.11,tan 581.60.,解析 如图,过点D作DEAB,垂足为E.则AED=BED=90. 由题意可知,BC=78,ADE=48,ACB=58,ABC=90,DCB=90. 可得四边形BCDE为矩形. ED=BC=78,DC=EB. 在RtABC中,tanACB= , AB=BCtan 58781.60125. 在RtAED中,tanADE= , AE=EDtan 48. DC=EB=AB-AE=BCtan 58-EDtan
22、48781.60-781.1138.,答:甲建筑物的高度AB约为125 m,乙建筑物的高度DC约为38 m.,思路分析 过点D作DEAB,构造直角ADE和矩形BCDE,通过解直角ABC和直角ADE 可求出答案.,7.(2018贵州贵阳,20,10分)如图,在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,点F是DE的中点,AB 与AG关于AE对称,AE与AF关于AG对称. (1)求证:AEF是等边三角形; (2)若AB=2,求AFD的面积.,解析 (1)证明:AE是BC边上的高, AEB=90. 四边形ABCD是平行四边形, ADBC, EAD=AEB=90, AED是直角三角形. F是ED的中点,
23、 AF=EF=FD. AE与AF关于AG对称, AE=AF, AE=AF=EF, AEF是等边三角形. (2)由(1)知AEF是等边三角形, EFA=EAF=AEF=60.,又AB与AG关于AE对称,AE与AF关于AG对称, BAE=GAE=GAF=30,AGEF,设垂足为点N, B=90-BAE=60. 在RtABE中,AE=ABsin B= ,FD=AE= . 在RtAEN中,AN=AEsinAEN= , SAFD= FDAN= = .,8.(2018贵州贵阳,18,8分)如图,在RtABC中,以下是小亮探索 与 之间关系的方法: sin A= ,sin B= , c= ,c= , = .
24、 根据你掌握的三角函数知识,在图的锐角ABC中,探索 , , 之间的关系,并写出 探索过程.,解析 如图1,过点A作BC边上的高AD,图1 在RtABD中,sin B= ,在RtACD中,sin C= , AD=csin B,AD=bsin C, csin B=bsin C, = . 同理,如图2,过点B作AC边上的高BE,图2,在RtABE中,sin A= ,在RtBCE中,sin C= , BE=csin A,BE=asin C, csin A=asin C, = . 综上, = = .,9.(2018安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆 C
25、D,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的 F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时AEB=FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3, 平面镜E的俯角为45,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数) (参考数据:tan 39.30.82,tan 84.310.02),解析 解法一:由题意知,AEB=FED=45, AEF=90. 在RtAEF中, =tanAFE=tan 84.3, 在ABE和FDE中,ABE=FDE=90,AEB=FED, ABEFDE, = =tan 84.3, AB=FDtan 84.31.810.0
26、2=18.03618(米). 答:旗杆AB的高度约为18米. (10分) 解法二:作FGAB于点G,由题意知,ABE和FDE均为等腰直角三角形, AB=BE,DE=FD=1.8, FG=DB=DE+BE=AB+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8. 在RtAFG中, =tanAFG=tan 39.3, 即 =tan 39.3, 解得AB=18.218(米). 答:旗杆AB的高度约为18米. (10分),思路分析 思路一:由题意可确定AEF=90,从而可推出ABEFDE,最后由相似三角形 中对应边的比相等求解;思路二:作FGAB于点G,由题意可推出ABE和FDE均为等腰直 角三角形
27、,在直角三角形AFG中由锐角三角函数求出AB.,10.(2018湖北武汉,23,10分)在ABC中,ABC=90. (1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:ABMBCN; (2)如图2,P是边BC上一点,BAP=C,tanPAC= ,求tan C的值; (3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,DEB=90,sinBAC= , = ,直接写出tanCEB 的值.,解析 (1)证明:M=N=ABC=90, MAB+MBA=NBC+MBA=90, MAB=NBC, ABMBCN. (2)过点P作PMAP交AC于点M,过点M作MNPC交BC于点N, 则P
28、MNAPB. = =tanPAC= ,设PN=2t,则AB= t. BAP+APB=MPC+APB=90,BAP=C, MPC=C,CN=PN=2t. 易得ABPCBA, AB2=BPBC,( t)2=BP(BP+4t), BP=t,BC=5t, tan C= .,(3)在RtABC中,sinBAC= = ,tanBAC= = . 过点A作AGBE于点G,过点C作CHBE交EB的延长线于点H, DEB=90,CHAGDE, = = , 同(1)的方法得,ABGBCH, = = = , 设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,GH=BG+BH=4m+3n, AB=AE,AGBE,EG=
29、BG=4m, = = ,n=2m,EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m, 在RtCEH中,tanCEB= = .,思路分析 (1)利用同角的余角相等判断出MAB=NBC,即可得出结论; (2)作PMAP,MNPC,先判断出PMNAPB,得出 = = ,设PN=2t,则AB= t,再 判断出ABPCBA,设PN=2t,根据相似三角形的性质可求得BP=t,则BC=5t,即可得出结论; (3)作AGBE,CHBE,先判断出 = = ,同(1)的方法得,ABGBCH,所以 = = ,设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,进一步得出关于m,n的等式,解得n=2m
30、,最后得出结论.,方法指导 几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法,本题涉及的相似三角形,要寻 找的比例关系或添加的辅助线均类似.同时要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻方 法.,11.(2018重庆,10,4分)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂 直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角AED=58,升旗台底部到教学楼底部的距离DE =7米,升旗台坡面CD的坡度i=10.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米, 则旗杆AB的高度约为 ( ) (参考数据:sin 580.85,cos 580.53,tan 581.6)A.12.
31、6米 B.13.1米 C.14.7米 D.16.3米,答案 B 如图,延长AB交ED的延长线于M,作CJDM于J.则四边形BMJC是矩形.在RtCJD中, = = ,设CJ=4k,DJ=3k,k0,已知CD=2, 则有9k2+16k2=4,解得k= , BM=CJ= ,DJ= ,又BC=MJ=1, EM=MJ+DJ+DE= , 在RtAEM中,tanAEM= ,tan 58= 1.6, 解得AB13.1(米),故选B.,思路分析 延长AB交ED的延长线于M,作CJDM于J,则四边形BMJC是矩形.在RtCJD中求 出CJ、DJ的长,再根据tanAEM= 即可解决问题.,方法总结 解直角三角形的
32、实际应用问题的关键是根据实际情况建立数学模型,正确画出图 形,找到直角三角形.根据题目中的已知条件,将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题,画 出平面几何图形,弄清已知条件中各量之间的关系,若图中有直角三角形,根据边角关系进行计 算即可;若图中没有直角三角形,可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.,12.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根 平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的 距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答. 如图所示,底座上A,B两点间的距离为90 cm
33、.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm,高 杠上点D到直线AB的距离DF的长为234 cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4, 高杠的支架BD与直线AB的夹角DBF为80.3.求高、低杠间的水平距离CH的长. (结果精确到1 cm.参考数据:sin 82.40.991,cos 82.40.132,tan 82.47.500,sin 80.30.983, cos 80.30.168,tan 80.35.850),解析 在RtCAE中,AE= = 20.7. (3分) 在RtDBF中,BF= = =40. (6分) EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150
34、.7151. 四边形CEFH为矩形,CH=EF=151. 即高、低杠间的水平距离CH的长约是151 cm. (9分),思路分析 根据RtCAE和RtDBF中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE,BF的长度, 得EF=AE+AB+BF,由矩形的性质可知CH=EF,可以求出问题的答案.,方法总结 解直角三角形的应用问题,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借 助边角关系、三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三 角形,再解直角三角形,求出实际问题的答案.,13.(2018湖北黄冈,21,7分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角DCE=30,楼高AB
35、=60米, 在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45,其中点A,C, E在同一直线上. (1)求坡底C点到大楼距离AC的值; (2)求斜坡CD的长度.,解析 (1)在RtABC中,AB=60米,ACB=60, AC= =20 米. (2)过点D作DFAB于点F,则四边形AEDF为矩形,AF=DE,DF=AE.设CD=x米,在RtCDE中,DE= x米,CE= x米, 在RtBDF中,BDF=45,BF=DF=AB-AF= 米, DF=AE=AC+CE,20 + x=60- x, 解得x=80 -120,即CD=(80 -120)米.,14.(2018山西,1
36、9,8分),祥云桥位于省城太原南部,该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成,全桥共设13对直线型斜拉索, 造型新颖,是“三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶 端到桥面的距离”作为一项课题活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间借助该桥斜拉索 完成了实地测量.测量结果如下表:,(1)请帮助该小组根据上表中的测量数据,求斜拉索端点C到AB的距离(参考数据:sin 380.6, cos 380.8,tan 380.8,sin 280.5,cos 280.9,tan 280.5); (2)该小组要写出一份完整的课题活动报告,除上表的项目外,你认为还需要补充哪些项目(写 出一个
37、即可).,解析 (1)如图,过点C作CDAB于点D. (1分)设CD=x米,在RtADC中,ADC=90,A=38. tan 38= ,AD= = x. (2分) 在RtBDC中,BDC=90,B=28. tan 28= ,BD= =2x. (3分) AD+BD=AB=234, x+2x=234. (5分) 解得x=72. (6分) 答:斜拉索端点C到AB的距离为72米. (7分) (2)答案不唯一,还需要补充的项目可为测量工具,计算过程,人员分工,指导教师,活动感受等. (8分),15.(2018江西,19,8分)图1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页 门的右轴固定
38、在门框上,通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图,已知轨道AB=120 cm,两扇活页门的宽OC=OB=60 cm,点B固定,当点C在AB上左右运动时,OC与OB的长度不变 (所有结果保留小数点后一位). (1)若OBC=50,求AC的长; (2)当点C从点A向右运动60 cm时,求O在此过程中运动的路径长. 参考数据:sin 500.77,cos 500.64,tan 501.19,取3.14.,解析 (1)如图,过点O作ODAB于点D,在RtOBD中, BD=OBcosOBD=60cos 50600.64=38.4(cm). OC=OB,BC=2BD. AC=AB-BC=120-2
39、38.4=43.2(cm). (2)如图,AB=120 cm,AC=60 cm, BC=AB-AC=60 cm.,OC=OB=60 cm,BC=OC=OB, OBC为等边三角形,OBC=60. 点O的运动路径为 , 点O运动的路径长为 =20=62.8(cm).,思路分析 (1)过点O作ODAB于点D,先根据OBC的余弦求出BD,然后根据等腰三角形的 性质求得BC,进而求得AC的长;(2)点O运动路径是以点B为圆心,OB长为半径的圆弧,先确定当 点C从点A向右运动60 cm后OBC的大小,进而利用弧长公式求出结果.,解题关键 解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,
40、正确 理解点O的运动路径.,16.(2018云南昆明,19,7分)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国南亚博览 会”的竖直标语牌CD,她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42,测得隧道底端B处的俯角为 30(B,C,D在同一条直线上),AB=10 m,隧道高6.5 m(即BC=6.5 m),求标语牌CD的长(结果保留小 数点后一位). (参考数据:sin 420.67,cos 420.74,tan 420.90, 1.73),解析 如图,过点A作AEBD于点E, (1分)由题意得DAE=42,EAB=30, 在RtABE中,AEB=90,AB=10,EAB=30, BE= AB= 10=
41、5. (2分) cosEAB= , AE=ABcos 30=10 =5 . (4分) 在RtDEA中,DEA=90,DAE=42, tanDAE= , DE=AEtan 425 0.90= , (5分),CD=BE+ED-BC=5+ -6.56.3(m). (6分) 答:标语牌CD的长约为6.3 m. (7分),思路分析 作AEBD于点E,构造直角DEA和直角ABE,解直角DEA和直角ABE,求得 BE,DE的长,进而可求出CD的长度.,方法总结 解直角三角形的应用问题时,一般根据题意抽象地画出几何图形,结合所给的线段 或角,借助边角关系、锐角三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需
42、要根据条件 构造直角三角形,再解直角三角形,求出实际问题的答案.,17.(2017天津,22,10分)(本小题10分)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东64方向,距离灯塔120 海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45方向上的B处,求BP和 BA的长(结果取整数). 参考数据:sin 640.90,cos 640.44,tan 642.05, 取1.414.,解析 如图,过点P作PCAB,垂足为C,由题意可知,A=64,B=45,PA=120, 在RtAPC中,sin A= ,cos A= , PC=PAsin A=120sin 64, AC=PAcos A=120co
43、s 64.,在RtBPC中,sin B= ,tan B= , BP= = 153(海里), BC= = =PC=120sin 64, BA=BC+AC=120sin 64+120cos 641200.90+1200.44161(海里). 答:BP的长约为153海里,BA的长约为161海里.,思路分析 在RtAPC中,利用A的三角函数求出PC和AC;在RtPCB中利用B的三角函 数求出BC和PB即可解决问题.,解题关键 解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确画 出图形,找准三角形.,18.(2017贵州贵阳,20,8分)贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习,
44、如图所示,消防官 兵利用云梯成功救出在C处的求救者后,发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者,消防官 兵立刻升高云梯将其救出.已知点A与居民楼的水平距离是15米,且在A点测得第一次施救时云 梯与水平线的夹角CAD=60.求第二次施救时云梯与水平线的夹角BAD的度数.(结果精确 到1),解析 如图,延长AD,交BC所在的直线于点E,由题意,得BC=17米,AE=15米,CAE=60,AEB=90, 在RtACE中,tanCAE= , CE=AEtan 60=15 (米), 在RtABE中,tanBAE= = = , BAE71. 答:第二次施救时云梯与水平线的夹角BAD的度数约为71.,19
45、.(2017安徽,17,8分)如图,游客在点A处坐缆车出发,沿ABD的路线可至山顶D处.假设AB 和BD都是直线段,且AB=BD=600 m,=75,=45,求DE的长. (参考数据:sin 750.97,cos 750.26, 1.41),解析 在RtBDF中,由sin = 可得, DF=BDsin =600sin 45=600 =300 423(m).(3分) 在RtABC中,由cos = 可得, BC=ABcos =600cos 756000.26=156(m). (6分) 所以DE=DF+EF=DF+BC=423+156=579(m). (8分),20.(2017河南,19,9分)如图
46、所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到 指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C.此时,B船在A船的正南方向5海里处,A船测得渔船C在其 南偏东45方向,B船测得渔船C在其南偏东53方向.已知A船的航速为30海里/小时,B船的航速 为25海里/小时,问C船至少要等待多长时间才能得到救援? 参考数据:sin 53 ,cos 53 , tan 53 , 1.41,解析 过点C作CDAB交AB延长线于点D,则CDA=90.(1分) 已知CAD=45,设CD=x海里,则AD=CD=x海里. BD=AD-AB=(x-5)海里. (3分) 在RtBDC中,CD=BDtan 53,即x=(x-5)tan 53, x= =20. (6分) BC= = 20 =25海里. B船到达C船处约需时间:2525=1(小时). (7分) 在RtADC中,AC= x1.4120=28.2海里, A船到达C船处约需时间:28.230=0.94(小时). (8分) 而0.941,所以C船至少要等待0.94小时才能得到救援. (9分),
