1、1考点规范练 30 等比数列及其前 n 项和基础巩固1.已知等比数列 an满足 a1= ,a3a5=4(a4-1),则 a2= ( )14A.2 B.1 C. D.12 182.在正项等比数列 an中, a2,a48是方程 2x2-7x+6=0 的两个根,则 a1a2a25a48a49的值为( )A. B.9 C.9 D.35212 3 33.等差数列 an的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6成等比数列,则 an前 6 项的和为( )A.-24 B.-3 C.3 D.84.已知 an为等比数列, a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10= ( )A.7 B.5 C.-5 D
2、.-75.等差数列 an的公差为 2,若 a2,a4,a8成等比数列,则 an的前 n 项和 Sn=( )A.n(n+1) B.n(n-1)C. D.(+1)2 (-1)26.设数列 an是首项为 a1,公差为 -1 的等差数列, Sn为其前 n 项和 .若 S1,S2,S4成等比数列,则 a1的值为 . 7.若等差数列 an和等比数列 bn满足 a1=b1=-1,a4=b4=8,则 = . 2228.已知等比数列 an的各项均为实数,其前 n 项和为 Sn.若 S3= ,S6= ,则 a8= . 74 6349.已知 an是公差为 3 的等差数列,数列 bn满足 b1=1,b2= ,anbn
3、+1+bn+1=nbn.13(1)求 an的通项公式;(2)求 bn的前 n 项和 .10.已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn,且 S4=4(a3+1),3a3=5a4,数列 bn是等比数列,且b1b2=b3,2b1=a5.(1)求数列 an,bn的通项公式;(2)求数列 |an|的前 n 项和 Tn.311.在数列 an中, Sn为数列 an的前 n 项和,且 Sn=1+kan(k0,且 k1) .(1)求通项公式 an;(2)当 k=-1 时,求 + 的值 .21+22 2能力提升12.若 a,b 是函数 f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且 a,b,-2 这三
4、个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于 ( )A.6 B.7 C.8 D.913.设等比数列 an满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2an的最大值为 . 14.设数列 an的前 n 项和为 Sn.已知 S2=4,an+1=2Sn+1,nN +.(1)求通项公式 an;(2)求数列 |an-n-2|的前 n 项和 .45高考预测15.(2017 四川广元二诊)已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且对任意正整数 n 都有 an= Sn+2 成立 .若34bn=log2an,则 b1 008=( )A.2 017 B.2 016 C.2 015
5、D.2 01416.已知数列 an满足 a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n2) .(1)求证: an+1+2an是等比数列;(2)求数列 an的通项公式 .6参考答案考点规范练 30 等比数列及其前 n 项和1.C 解析 a 3a5=4(a4-1), =4(a4-1),解得 a4=2.24又 a4=a1q3,且 a1= ,q= 2.14a 2=a1q= .122.B 解析 a 2,a48是方程 2x2-7x+6=0 的两个根, a 2a48=3.又 a1a49=a2a48= =3,a250,225a 1a2a25a48a49= =9 .选 B.52533.A 解析设等差数列的公
6、差为 d,则 d0, =a2a6,即(1 +2d)2=(1+d)(1+5d),解得 d=-2,所以23S6=61+ (-2)=-24,故选 A.6524.D 解析 an为等比数列, a 5a6=a4a7=-8.联立 可解得4+7=2,47=-8, 4=4,7=-2或 4=-2,7=4,当 时, q3=- ,4=4,7=-2 127故 a1+a10= +a7q3=-7;43当 时, q3=-2,故 a1+a10= +a7q3=-7.4=-2,7=4 43综上可知, a1+a10=-7.5.A 解析 a 2,a4,a8成等比数列, =a2a8,即( a1+6)2=(a1+2)(a1+14),24解
7、得 a1=2.S n=na1+ d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选 A.(-1)26.- 解析由已知得 S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+ (-1)=4a1-6,而 S1,S2,S4成等比数列,12 432 (2a1-1)2=a1(4a1-6),整理得 2a1+1=0,解得 a1=- .127.1 解析设等差数列 an的公差为 d,等比数列 bn的公比为 q,由题意知 -1+3d=-q3=8,即 解得-1+3=8,-3=8, =3,=-2.故 =1.22= -1+3-1(-2)8.32 解析设该等比数列的公比为 q,则 S6-S3= =14,即 a4+a5+
8、a6=14. 63474S 3= ,a 1+a2+a3= .74 74由 得( a1+a2+a3)q3=14,q 3= =8,即 q=2.1474a 1+2a1+4a1= ,a1= ,74 14a 8=a1q7= 27=32.149.解(1)由已知, a1b2+b2=b1,b1=1,b2= ,得 a1=2.13所以数列 an是首项为 2,公差为 3 的等差数列,通项公式为 an=3n-1.8(2)由(1)和 anbn+1+bn+1=nbn得 bn+1= ,3因此 bn是首项为 1,公比为 的等比数列 .13记 bn的前 n 项和为 Sn,则 Sn= .1-(13)1-13=32 123-110
9、.解(1)设等差数列 an的公差为 d.S 4=4(a3+1),3a3=5a4, 解得41+6=4(1+2+1),31+6=51+15, 1=9,=-2.a n=11-2n.设数列 bn的公比为 q.b 1b2=b3,2b1=a5, 解得 b n= .21=12,21=1, 1=12,=12. (12)(2)由(1)知, Sn=10n-n2.由 an=11-2n0 可知 n5 .5,即 a10,a20,a50,a60,q0)的两个不同的零点, a+b=p ,ab=q.p 0,q0,a 0,b0.又 a,b,-2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列, 或 .2=-2,=4
10、2=-2,=4 解 得 解 得=4,=1; =1,=4.p=a+b= 5,q=14=4.p+q= 9.故选 D.13.64 解析由已知 a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,两式相除得 ,解得 q= ,a1=8,1+3(1+3)=105 12所以 a1a2an=8n ,抛物线 f(n)=- n2+ n 的对称轴为 n=-(12)1+2+(-1)=2-122+72 12 72=3.5,722(-12)又 nN +,所以当 n=3 或 n=4 时, a1a2an取最大值为 =26=64.2-1232+73214.解(1)由题意得 1+2=4,2=21+1,则 1=1,2=3.又当 n2
11、 时,由 an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得 an+1=3an.所以,数列 an的通项公式为 an=3n-1,nN +.(2)设 bn=|3n-1-n-2|,nN +,b1=2,b2=1.当 n3 时,由于 3n-1n+2,故 bn=3n-1-n-2,n3 .设数列 bn的前 n 项和为 Tn,则 T1=2,T2=3.当 n3 时, Tn=3+ ,9(1-3-2)1-3 (+7)(-2)2 =3-2-5+11210所以 Tn=2,=1,3-2-5+112 ,2, +.15.A 解析在 an= Sn+2 中,令 n=1 得 a1=8,34a n= Sn+2 成立 ,a
12、 n+1= Sn+1+2 成立,34 34两式相减得 an+1-an= an+1,34a n+1=4an,又 a10, 数列 an为等比数列, a n=84n-1=22n+1,b n=log2an=2n+1,b 1008=2017,故选 A.16.(1)证明 a n+1=an+6an-1(n2),a n+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n2) .又 a1=5,a2=5,a 2+2a1=15,a n+2an-10( n2), =3(n2),+1+2+2-1 数列 an+1+2an是以 15 为首项,3 为公比的等比数列 .(2)解由(1)得 an+1+2an=153n-1=53n,则 an+1=-2an+53n,a n+1-3n+1=-2(an-3n).又 a1-3=2,a n-3n0, an-3n是以 2 为首项, -2 为公比的等比数列 .a n-3n=2(-2)n-1,即 an=2(-2)n-1+3n=3n-(-2)n.
