1、1考点规范练 28 数列的概念与表示基础巩固1.数列 1, ,的一个通项公式 an=( )23,35,47,59A. B. C. D.2+1 2-1 2-3 2+32.若 Sn为数列 an的前 n项和,且 Sn= ,则 等于 ( )+1 15A. B. C. D.3056 65 1303.若数列 an的前 n项积为 n2,则当 n2 时, an=( )A.2n-1 B.n2C. D.(+1)22 2(-1)24.若数列 an满足 =d(nN +,d为常数),则称数列 an为调和数列 .已知数列 为调和1+11 1数列,且 x1+x2+x20=200,则 x5+x16=( )A.10 B.20
2、C.30 D.405.(2017宁夏银川二模)已知数列 an满足 a1=2,且 + =an-2(n2),则 an的通12+23+34 -1项公式为 . 6.已知数列 an的前 4项分别是 ,1, ,则这个数列的一个通项公式是 an= . 32 710,91727.已知数列 an满足: a1+3a2+5a3+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3(nN +),则数列 an的通项公式 an= . 8.已知数列 an的通项公式为 an=(n+2) ,则当 an取得最大值时, n= . (78)9.若数列 an的通项为 an=(-1)n(2n+1)sin +1,前 n项和为 Sn,则 S100= .
3、 210.(2017广东江门一模)已知正项数列 an的前 n项和为 Sn,Sn= an(an+1),nN +.12(1)求数列 an的通项公式;(2)若 bn= ,求数列 bn的前 n项和 Tn.1能力提升11.设数列 an满足 a1=1,a2=3,且 2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,则 a20的值是( )A.4 B.4 C.4 D.415 25 35 4512.已知函数 f(x)是定义在(0, + )上的单调函数,且对任意的正数 x,y都有 f(xy)=f(x)+f(y).若数列 an的前 n项和为 Sn,且满足 f(Sn+2)-f(an)=f(3)(nN +),则 an等
4、于( )A.2n-1 B.n C.2n-1 D.(32)-113.(2017山西晋中二模)我们可以利用数列 an的递推公式 an= (nN +),求出这个数列,为奇数,2,为偶数 各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数,则 a64+a65= . 14.设数列 an的前 n项和为 Sn.已知 a1=a(a3), an+1=Sn+3n,nN +.(1)设 bn=Sn-3n,求数列 bn的通项公式;(2)若 an+1 an,求 a的取值范围 .3高考预测15.(2017河南洛阳一模)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,.该数列的特点是:前两
5、个数都是 1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列 an称为“斐波那契数列”,则( a1a3- )(a2a4- )(a3a5-22 23)(a2 015a2 017- )=( )24 22016A.1 B.-1 C.2 017 D.-2 017参考答案考点规范练 28 数列的概念与表示1.B2.D 解析当 n2 时, an=Sn-Sn-1= ,+1-1 = 1(+1) =5(5+1)=30.153.D 解析设数列 an的前 n项积为 Tn,则 Tn=n2,当 n2 时, an= .-1=2(-1)24.B 解析 数列 为调和数列,14 =xn+1-xn=
6、d.11+111 xn是等差数列 .又 x1+x2+x20=200= ,x 1+x20=20.20(1+20)2又 x1+x20=x5+x16,x 5+x16=20.5.an=n+1 解析 + =an-2(n2), 12+23+34 -1+ =an+1-2(n2), 12+23+34 +1- 得 =an+1-an,整理得 , =1,又 =1, 数列 是以 1+1 +1=+2+1+1+2+1 11+1 +1为首项,1 为公比的等比数列,即常数列 1,a n=n+1.6. 解析数列 an的前 4项可分别变形为 ,故2+12+1 21+112+1,22+122+1,23+132+1,24+142+1
7、an= .2+12+17.3n 解析 a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3,把 n换成 n-1,得a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1=(n-2)3n+3,两式相减得 an=3n.8.5或 6 解析由题意令 -1,+1, 解得(+2)(78)(+1)(78)-1,(+2)(78)(+3)(78)+1, 6,5.n= 5或 n=6.9.200 解析当 n为偶数时,则 sin =0,2即 an=(2n+1)sin +1=1(n为偶数) .2当 n为奇数时,若 n=4k+1,kZ,则 sin =sin =1,2 (2+2)5即 an=-2n;若
8、n=4k+3,kZ,则 sin =sin =-1,即 an=2n+2.2 (2+32)故 a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=-2(4k+1)+1+2+2(4k+3)+1=8,因此 S100= 8=200.100410.解(1) a1=S1= a1(a1+1),a10,解得 a1=1.12nN +,an+1=Sn+1-Sn= an+1(an+1+1)- an(an+1),12 12移项整理并因式分解得( an+1-an-1)(an+1+an)=0,因为 an是正项数列,所以 an+1+an0,所以 an+1-an-1=0,an+1-an=1.所以 an是首项 a1=1、公差为 1的
9、等差数列,所以 an=n.(2)由(1)得 Sn= an(an+1)= n(n+1),bn= ,Tn=b1+b2+bn=12 12 1= 2(+1)=2 2+1+ .(21-22)+(22-23) (2- 2+1)=(21- 2+1)=2+111.D 解析由 2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,得 nan-(n-1)an-1=(n+1)an+1-nan=2a2-a1=5.令 bn=nan,则数列 bn是公差为 5的等差数列,故 bn=1+(n-1)5=5n-4.所以 b20=20a20=520-4=96,所以 a20= =4 .96204512.D 解析由题意知 f(Sn+2)=
10、f(an)+f(3)=f(3an)(nN +),S n+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n2),两式相减,得 2an=3an-1(n2) .又 n=1时, S1+2=3a1=a1+2,a 1=1. 数列 an是首项为 1,公比为 的等比数列 .32a n= .(32)-113.66 解析由题得,这个数列各项的值分别为 1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,a 64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66.14.解(1)因为 an+1=Sn+3n,所以 Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,6即 Sn+1=2Sn+3n,由此得 Sn+1-3n
11、+1=2(Sn-3n),即 bn+1=2bn.又 b1=S1-3=a-3,故 bn的通项公式为 bn=(a-3)2n-1.(2)由题意可知, a2a1对任意的 a都成立 .由(1)知 Sn=3n+(a-3)2n-1.于是,当 n2 时, an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=23n-1+(a-3)2n-2,故 an+1-an=43n-1+(a-3)2n-2=2n-2 .12(32)-2+-3当 n2 时,由 an+1 an,可知 12 +a-30,即 a -9.(32)-2又 a3,故所求的 a的取值范围是 -9,3)(3, + ).15.B 解析 a 1a3- =12-12=1,a2a4- =13-22=-1,a3a5- =25-32=1,a2015a2017- =1.22 23 24 22016 (a1a3- )(a2a4- )(a3a5- )(a2015a2017- )=11008(-1)1007=-1.22 23 24 22016
