1、1考点规范练 47 抛物线基础巩固1.(2017广西桂林一模)若抛物线 y2=2px(p0)上的点 A(x0, )到其焦点的距离是点 A到 y轴距离2的 3倍,则 p等于( )A. B.112C. D.2322.若抛物线 y=-4x2上的一点 M到焦点的距离为 1,则点 M的纵坐标是( )A.-1716B.-1516C.1716D.15163.已知过抛物线 y2=4x的焦点作直线 l交抛物线于 A,B两点,若线段 AB中点的横坐标为 3,则 |AB|等于( )A.2 B.4C.6 D.84.已知抛物线 y2=8x与双曲线 -y2=1的一个交点为 M,F为抛物线的焦点,若 |MF|=5,则该双曲
2、线的22渐近线方程为( )2A.5x3y=0B.3x5y=0C.4x5y=0D.5x4y=05.(2017河北张家口 4月模拟)已知抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,过点 F的直线与抛物线交于 A,B两点,若 |AB|=6,则线段 AB的中点 M的横坐标为( )A.2 B.4C.5 D.66.(2017河南洛阳一模)已知直线 y=k(x+2)(k0)与抛物线 C:y2=8x相交于 A,B两点, F为抛物线 C的焦点,若 |FA|=2|FB|,则点 A到抛物线的准线的距离为( )A.6 B.5C.4 D.37.若抛物线 y2=4x上的点 M到焦点的距离为 10,则点 M到 y轴的距离是 . 8
3、.已知抛物线 y2=4x,过焦点 F的直线与抛物线交于 A,B两点,过 A,B分别作 y轴的垂线,垂足分别为 C,D,则 |AC|+|BD|的最小值为 . 9.已知过抛物线 y2=2px(p0)的焦点,斜率为 2 的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的焦点为 F,以抛物线 C上的点 M(x0,2为圆心的圆与 y轴相切,与线段 MF相交于点 A,且被直线 x= 截得的弦长为 |MA|,若2)(02) 2 3=2,则 |AF|= . |14.已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,直线 y=4与 y轴的交点为 P,与 C的交点为 Q,且|QF|= |PQ|.54
4、4(1)求抛物线 C的方程;(2)过点 F的直线 l与抛物线 C相交于 A,B两点,若 AB的垂直平分线 l与抛物线 C相交于 M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求 l的方程 .高考预测15.已知抛物线 x2=2py(p0)的顶点到焦点的距离为 1,过点 P(0,p)作直线与抛物线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中 x1x2.(1)若直线 AB的斜率为 ,过 A,B两点的圆 C与抛物线在点 A处有共同的切线,求圆 C的方程 .125(2)若 = ,是否存在异于点 P的点 Q,使得对任意 ,都有 ( - )?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由 .6参考答案考
5、点规范练 47 抛物线1.D 解析由题意,3 x0=x0+ ,x 0= , =2.2 4 22p 0,p= 2,故选 D.2.B 解析抛物线方程可化为 x2=- ,其准线方程为 y= .4 116设 M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知 -y0=1,y0=- .116 15163.D 解析由题设知线段 AB的中点到准线的距离为 4.设 A,B两点到准线的距离分别为 d1,d2.由抛物线的定义知 |AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=24=8.4.A 解析由题意可知抛物线 y2=8x的焦点 F(2,0),准线方程为 x=-2.设 M(m,n),则由抛物线的定义可得 |MF|=m+2=5,
6、解得 m=3.由 n2=24,可得 n=2 .6将 M(3,2 )代入双曲线 -y2=1,622可得 -24=1,解得 a= ,92 35即有双曲线的渐近线方程为 y= x,即 5x3y=0.535.A 解析 抛物线 y2=4x,p= 2.设 A,B两点的横坐标分别为 x1,x2,利用抛物线定义, AB中点横坐标为 x0= (x1+x2)= (|AB|-p)=2,故选 A.12 1276.A 解析抛物线 C:y2=8x的准线为 l:x=-2,直线 y=k(x+2)恒过定点 P(-2,0),如图,过点 A,B分别作 AM l于点 M,BN l于点 N,由 |FA|=2|FB|,则 |AM|=2|
7、BN|,点 B为 AP的中点 .连接 OB,则|OB|= |AF|,|OB|=|BF| ,点 B的横坐标为 1,|BN|= 3,|AM|= 6,故选 A.127.9 解析设点 M坐标为( xM,yM).抛物线 y2=4x的准线为 x=-1,由抛物线的定义知 xM+1=10,即 xM=9.8.2 解析由题意知 F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即 |AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值 .依抛物线定义知当 |AB|为通径,即 |AB|=2p=4时,为最小值,所以 |AC|+|BD|的最小值为 2.9.解(1)由题意得直线 AB的方程为 y=
8、2 ,与 y2=2px联立,消去 y有 4x2-5px+p2=0,所以2(-2)x1+x2= .54由抛物线定义得 |AB|=x1+x2+p= +p=9,所以 p=4,从而该抛物线的方程为 y2=8x.54(2)由(1)得 4x2-5px+p2=0,即 x2-5x+4=0,则 x1=1,x2=4,于是 y1=-2 ,y2=4 ,2 2从而 A(1,-2 ),B(4,4 ).2 2设 C(x3,y3),则 =(x3,y3)=(1,-2 )+ (4,4 )=(4+ 1,4 - 2 ). 2 2 2 2又 =8x3,所以2 (2- 1)2=8(4+ 1),23 2整理得(2 - 1)2=4+ 1,解
9、得 = 0或 = 2.10.解(1)设 P(x,y)是曲线 C上任意一点,则点 P(x,y)满足 -x=1(x0),化简得(-1)2+2y2=4x(x0).(2)设过点 M(m,0)(m0)的直线 l与曲线 C的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2).设 l的方程为 x=ty+m.由 得 y2-4ty-4m=0,= 16(t2+m)0,=+,2=4, 于是 1+2=4,12=-4. 因为 =(x1-1,y1), =(x2-1,y2), 所以 =(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.又 0,所以 x1x2-(x1+x2)+y1y2+10, 8因为 x=
10、,所以不等式 可变形为24+y1y2- +10,214224 (214+224)即 +y1y2- (y1+y2)2-2y1y2+10. (12)216 14将 代入 整理得 m2-6m+14t2. 因为对任意实数 t,4t2的最小值为 0,所以不等式 对于一切 t成立等价于 m2-6m+10,即 3-2 m3+2 .2 2由此可知,存在正数 m,对于过点 M(m,0),且与曲线 C有两个交点 A,B的任一直线,都有 0,且m的取值范围是(3 -2 ,3+2 ).2 211.C 解析由题意得抛物线的焦点为 F ,准线方程为 x=- .(32,0) 32设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(
11、x3,y3). =0, 点 F是 ABC的重心,+x 1+x2+x3= .92由抛物线的定义可得 |FA|=x1- =x1+ ,(-32) 32|FB|=x2- =x2+ ,|FC|=x3- =x3+ ,(-32) 32 (-32) 32| |+| |+| |=x1+ +x2+ +x3+ =9.32 32 3212.C 解析由题意可知抛物线的焦点 F(1,0),准线 l的方程为 x=-1,可得直线 MF:y= (x-1),与抛3物线 y2=4x联立,消去 y得 3x2-10x+3=0,解得 x1= ,x2=3.13因为点 M在 x轴的上方,所以 M(3,2 ).3因为 MN l,且 N在 l上
12、,所以 N(-1,2 ).3因为 F(1,0),所以直线 NF:y=- (x-1).3所以点 M到直线 NF的距离为 =2 .| 3(3-1)+23|(- 3)2+12 313.1 解析由抛物线的定义得 |MF|=x0+ .29 圆与 y轴相切, |MA|=x 0. 圆被直线 x= 截得的弦长为 |MA|,圆心到直线 x= 的距离为 |MA|,2 3 2 |2-(32|)2=12|MA|= 2 ,(0-2) 2 =x0,解得 x0=p.(0-2)M (p,2 ), 2p2=8,p= 2.2 =2,|AF|= |MA|= p=1.| 12 1214.解(1)设 Q(x0,4),代入 y2=2px
13、得 x0= .8所以 |PQ|= ,|QF|= +x0= .8 2 2+8由题设得 ,2+8=548解得 p=-2(舍去)或 p=2.所以抛物线 C的方程为 y2=4x.(2)依题意知 l与坐标轴不垂直,故可设 l的方程为 x=my+1(m0) .代入 y2=4x得 y2-4my-4=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4.故 AB的中点为 D(2m2+1,2m),|AB|= |y1-y2|=4(m2+1).2+1又 l的斜率为 -m,所以 l的方程为 x=- y+2m2+3.1将上式代入 y2=4x,并整理得 y2+ y-4(2m2+3)=0.4设
14、M(x3,y3),N(x4,y4),则 y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3).4故 MN的中点为 E ,(22+22+3,-2)|MN|= |y3-y4|= .1+12 4(2+1)22+1210由于 MN垂直平分 AB,故 A,M,B,N四点在同一圆上等价于 |AE|=|BE|= |MN|,从而 |AB|2+|DE|2=12 14|MN|2,即 4(m2+1)2+ ,14 (2+2)2+(22+2)2=4(2+1)2(22+1)4化简得 m2-1=0,解得 m=1或 m=-1.所求直线 l的方程为 x-y-1=0或 x+y-1=0.15.解(1)由已知得 p=2,直线和 y轴交于点
15、(0,2),则直线 AB的方程为 y-2= x,即 x-2y+4=0.12由 得 A,B的坐标分别为(4,4),( -2,1).-2+4=0,2=4, 又 x2=4y,可得 y= x2,故 y= x,14 12故抛物线在点 A处切线的斜率为 2.设圆 C的方程为( x-a)2+(y-b)2=r2,则-4-4=-12,(+2)2+(-1)2=(-4)2+(-4)2,解得 a=-1,b= ,r2= ,132 1254故圆的方程为( x+1)2+ ,(-132)2=1254即为 x2+y2+2x-13x+12=0.(2)依题意可设直线 AB的方程为 y=kx+2,代入抛物线方程 x2=4y得 x2-4kx-8=0,故 x1x2=-8.由已知 = 得 -x1=x 2.若 k=0,这时 = 1,要使 ( - ),点 Q必在 y轴上 .设点 Q的坐标是(0, m),从而 =(0,2-m),- =(x1,y1-m)- (x2,y2-m)=(x1- x2,y1-m- (y2-m),故 ( - )=(2-m)y1- y2-m(1- )=0,即 y1- y2-m(1- )=0,即 -m =0,214+12224 (1+12)
