1、1考点规范练 45 椭圆基础巩固1.已知椭圆的焦点坐标为( -5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是 26,则椭圆的方程为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=12.已知椭圆 =1 的离心率为,则 k 的值为( )A.- B.21C.-或 21 D.或 213.若曲线 ax2+by2=1 是焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a,b 满足( )A.a2b2 B.C.0b0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为( )A. B. C. D.6.直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为
2、其短轴长的,则该椭圆的离心率为( )A. B.C. D.7.(2017 全国 ,文 12)设 A,B 是椭圆 C:=1 长轴的两个端点 .若 C 上存在点 M 满足 AMB=120,则m 的取值范围是( )A.(0,19, + ) B.(0,9, + )C.(0,14, + ) D.(0,4, + )8.如图,在平面直角坐标系 xOy 中, F 是椭圆 =1(ab0)的右焦点,直线 y=与椭圆交于 B,C 两点,且 BFC=90,则该椭圆的离心率是 . 9.已知 F1,F2分别为椭圆 +y2=1 的左、右焦点,过 F1的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B,连接 AF2和 BF2.(1)求
3、ABF2的周长;(2)若 AF2 BF2,求 ABF2的面积 .210.已知椭圆 C:=1 过 A(2,0),B(0,1)两点 .(1)求椭圆 C 的方程及离心率;(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证:四边形 ABNM 的面积为定值 .3能力提升11.(2017 广东、江西、福建十校联考)已知 F1,F2是椭圆 =1(ab0)的左、右两个焦点,若椭圆上存在点 P 使得 PF1 PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.12.已知椭圆 =1(ab0)与双曲线 =1(m0,n0)有相同的焦点(
4、-c,0)和( c,0),若 c 是 a,m 的等比中项,n2是 2m2与 c2的等差中项,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.13.已知椭圆 =1(ab0)的右焦点 F(c,0)关于直线 y=x 的对称点 Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是 . 14.(2017 全国 ,文 20)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C:+y2=1 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足 .(1)求点 P 的轨迹方程;(2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且 =1.证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.4高考预测15.椭圆 C:=1(ab0)的上顶点为 A,P
5、 是 C 上的一点,以 AP 为直径的圆经过椭圆 C 的右焦点 F.(1)求椭圆 C 的方程;(2)动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,问:在 x 轴上是否存在两个定点,它们到直线 l 的距离之积等于 1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由 .答案：1.A 解析:由题意知 a=13,c=5,则 b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在 x 轴上, 椭圆方程为 =1.2.C 解析:若 a2=9,b2=4+k,则 c=,由,即,得 k=-;若 a2=4+k,b2=9,则 c=,由,即,解得 k=21.3.C 解析:由 ax2+by2=1,得 =1,因为焦点在 x 轴上,所
6、以 0,所以 03 时,椭圆 C 的焦点在 y 轴上,要使椭圆 C 上存在点 M 满足 AMB=120,则tan 60=,即,解得 m9,综上 m 的取值范围为(0,19, + ),故选 A.8. 解析:由题意得 B,C,F(c,0),所以 .因为 BFC=90,所以 =0.所以 c2-=0.又 a2-b2=c2,所以3c2=2a2,即,所以 e=.9.解:(1) F 1,F2分别为椭圆 +y2=1 的左、右焦点,过 F1的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B,连接AF2和 BF2. ABF2的周长为 |AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4.(2)设直线 l 的方程为 x=
7、my-1,由得( m2+2)y2-2my-1=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=,y1y2=-.AF 2 BF2,= 0,= (x1-1)(x2-1)+y1y2=(my1-2)(my2-2)+y1y2=(m2+1)y1y2-2m(y1+y2)+4=-2m+4=0.m 2=7. ABF2的面积 S=|F1F2|.10.(1)解:由题意,得 a=2,b=1,所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.又 c=,所以离心率 e=.(2)证明:设 P(x0,y0)(x0b0)的左右两个焦点, 离心率 0b0)与双曲线 =1(m0,n0)有相同的焦点( -c,0)和( c,0),所以
8、c2=a2-b2=m2+n2.因为 c 是 a,m 的等比中项, n2是 2m2与 c2的等差中项,所以 c2=am,2n2=2m2+c2,所以 m2=,n2=,所以 =c2,化为,所以 e=.13. 解析:设 Q(x0,y0),则解得因为点 Q 在椭圆上,所以 =1,化简得 a4c2+4c6-a6=0,即 4e6+e2-1=0.即 4e6-2e4+2e4+e2-1=0,即(2 e2-1)(2e4+e2+1)=0.所以 e=.14.解:(1)设 P(x,y),M(x0,y0),则 N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由得 x0=x,y0=y.因为 M(x0,y0)在 C 上,所
9、以 =1.因此点 P 的轨迹方程为 x2+y2=2.(2)由题意知 F(-1,0).设 Q(-3,t),P(m,n),则 =(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由 =1 得 -3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知 m2+n2=2,故 3+3m-tn=0.所以 =0,即 .又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.15.解:(1) F(c,0),A(0,b),由题设可知 =0,得 c2-c+=0,又点 P 在椭圆 C 上,可知 =1,即 a2=2.又 b2+c2=a2=2, 联立,解得 c=1,b2=1.故所求椭圆的方程为 +y2=1.(2)当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y=kx+m,代入椭圆方程,消去 y,整理得(2 k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.(*)因为方程( *)有且只有一个实根,又 2k2+10,所以 = 0,得 m2=2k2+1.假设存在 M1( 1,0),M2( 2,0)满足题设,则由d1d2=7=1 对任意的实数 k 恒成立,所以解得当直线 l 的斜率不存在时,经检验符合题意 .综上,存在两个定点 M1(1,0),M2(-1,0),使它们到直线 l 的距离之积等于 1.
