1、115.2 双曲线考纲解读五年高考统计考点 内容解读 要求2013 2014 2015 2016 2017 常考题型 预测热度1.双曲线的定义和标准方程 求双曲线的标准方程 A 填空题 2.双曲线的性质 双曲线的几何性质及简单运用 A 12 题5 分 3 题5 分 8 题5 分 填空题 分析解读 双曲线作为一种重要的圆锥曲线,考查的频度比较高,试题难度一般中等偏下,复习时不要过度挖掘.五年高考考点一 双曲线的定义和标准方程1.(2017 课标全国理改编,5,5 分)已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y= x,且与椭圆 +2222 52 212=1 有公共焦点,则 C
2、的方程为 . 23答案 - =124 252.(2017 天津文改编,5,5 分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点为 F,点 A 在双曲线的渐近线上,OAF 是边2222长为 2 的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为 . 答案 x 2- =1233.(2017 天津理改编,5,5 分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的左焦点为 F,离心率为 .若经过 F 和 P(0,4)两点2222 2的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为 . 答案 - =128 284.(2015 天津改编,6,5 分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线过点(2, ),且双曲线的一
3、个焦点在抛物2222 3线 y2=4 x 的准线上,则双曲线的方程为 . 7答案 - =124 235.(2015 广东改编,7,5 分)已知双曲线 C: - =1 的离心率 e= ,且其右焦点为 F2(5,0),则双曲线 C 的方程为 .2222 54答案 - =12162926.(2014 天津改编,5,5 分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦2222点在直线 l 上,则双曲线的方程为 . 答案 - =125 220教师用书专用(78)7.(2013 广东理改编,7,5 分)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离
4、心率等于 ,则 C 的方程是 .32答案 - =124 258.(2014 福建,19,13 分)已知双曲线 E: - =1(a0,b0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=-2x.2222(1)求双曲线 E 的离心率;(2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2于 A,B 两点(A,B 分别在第一、四象限),且OAB 的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由.解析 (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y=2x,y=-2x,所以 =2,所以 =2,2-2故 c= a,5从而双曲线
5、 E 的离心率 e= = . 5(2)解法一:由(1)知,双曲线 E 的方程为 - =1.22242设直线 l 与 x 轴相交于点 C.当 lx 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a,又因为OAB 的面积为 8,3所以 |OC|AB|=8,12因此 a4a=8,解得 a=2,12此时双曲线 E 的方程为 - =1.24 216若存在满足条件的双曲线 E,则 E 的方程只能为 - =1.24 216以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E: - =1 也满足条件 .24 216设直线 l 的方程为 y=kx+m,依题意,得 k2 或 k2
6、 或 k0,所以 x1x2= ,-24-2又因为OAB 的面积为 8,所以 |OA|OB|sinAOB=8,又易知 sinA OB= ,12 45所以 =8,化简得 x1x2=4.2521+21 22+22所以 =4,即 m2=4(k2-4).-24-2由(1)得双曲线 E 的方程为 - =1,22242由 得(4-k 2)x2-2kmx-m2-4a2=0,=+,22-242=1因为 4-k21,则双曲线 -y2=1 的离心率的取值范围是 . 22答案 (1, )23.(2017 课标全国理改编,9,5 分)若双曲线 C: - =1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2) 2+y2=4 所截得
7、的弦长2222为 2,则 C 的离心率为 . 5答案 24.(2016 江苏,3,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 - =1 的焦距是 . 27 23答案 2 105.(2016 北京,12,5 分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线为 2x+y=0,一个焦点为( ,0),则 a= 2222 5;b= . 答案 1;26.(2016 浙江,13,4 分)设双曲线 x2- =1 的左、右焦点分别为 F1,F2.若点 P 在双曲线上,且F 1PF2为锐角三角23形,则|PF 1|+|PF2|的取值范围是 . 答案 (2 ,8)77.(2016 山东,14,5 分)已知双曲线
8、 E: - =1(a0,b0).矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB,CD 的中点为 E 的两2222个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是 . 答案 28.(2015 江苏,12,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x2-y2=1 右支上的一个动点.若点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为 . 答案 229.(2015 课标改编,5,5 分)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y2=1 上的一点,F 1,F2是 C 的两个焦点.若 0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 . 答案 311.(20
9、14 浙江,16,5 分)设直线 x-3y+m=0(m0)与双曲线 - =1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点 A,B.若点2222P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 . 答案 5212.(2013 课标全国理改编,4,5 分)已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 .2222 52答案 y= x1213.(2014 江西,20,13 分)如图,已知双曲线 C: -y2=1(a0)的右焦点为 F,点 A,B 分别在 C 的两条渐近线上,22AFx 轴,ABOB,BFOA(O 为坐标原点).(1)求双曲线 C 的方程;6(2)过 C
10、上一点 P(x0,y0)(y00)的直线 l: -y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x= 相交于点 N.02 32证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值.|解析 (1)设 F(c,0),因为 b=1,所以 c= ,2+1直线 OB 的方程为 y=- x,直线 BF 的方程为 y= (x-c),解得 B .1 1 (2,-2)又直线 OA 的方程为 y= x,则 A ,kAB= = .又因为 ABOB,所以 =-1,解得 a2=3,1 (,)-(- 2)-2 3 3 (-1)故双曲线 C 的方程为 -y2=1.23(2)由(1)知 a= ,则直线 l 的方程为 -
11、y0y=1(y00),303即 y= .0-330因为直线 AF 的方程为 x=2,所以直线 l 与 AF 的交点为 M ;(2,20-330)直线 l 与直线 x= 的交点为 N ,32 (32,320-330)则 = =|2|2(20-3)2(30)214+(320-3)2(30)2(20-3)29204+94(0-2)2= .43 (20-3)2320+3(0-2)2因为 P(x0,y0)是 C 上一点,则 - =1,代入上式得203 20= = = ,|2|243(20-3)220-3+3(0-2)243(20-3)2420-120+9437所求定值为 = = .| 23233教师用书
12、专用(1423)14.(2016 天津理改编,6,5 分)已知双曲线 - =1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲24 22线的两条渐近线相交于 A,B,C,D 四点,四边形 ABCD 的面积为 2b,则双曲线的方程为 . 答案 - =124 21215.(2016 课标全国理改编,11,5 分)已知 F1,F2是双曲线 E: - =1 的左,右焦点,点 M 在 E 上,MF 1与 x 轴垂直,2222sinMF 2F1= ,则 E 的离心率为 . 13答案 216.(2016 浙江理改编,7,5 分)已知椭圆 C1: +y2=1(m1)与双曲线 C2: -y2=1(n0
13、)的焦点重合,e 1,e2分别为2222C1,C2的离心率,则 e1e2与 1 的大小关系为 . 答案 e 1e2117.(2015 课标改编,11,5 分)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,ABM 为等腰三角形,且顶角为120,则 E 的离心率为 . 答案 218.(2015 重庆改编,10,5 分)设双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点为 F,右顶点为 A,过 F 作 AF 的垂线与双曲线2222交于 B,C 两点,过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线,两垂线交于点 D.若 D 到直线 BC 的距离小于 a+ ,则该双曲线2+2的渐近线斜率的取值范围是 .
14、答案 (-1,0)(0,1)19.(2015 浙江,9,6 分)双曲线 -y2=1 的焦距是 ,渐近线方程是 . 22答案 2 ;y= x32220.(2015 山东,15,5 分)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1: - =1(a0,b0)的渐近线与抛物线 C2:x2=2py(p0)交2222于点 O,A,B.若OAB 的垂心为 C2的焦点,则 C1的离心率为 . 答案 3221.(2015 湖南,13,5 分)设 F 是双曲线 C: - =1 的一个焦点.若 C 上存在点 P,使线段 PF 的中点恰为其虚轴的2222一个端点,则 C 的离心率为 . 答案 522.(2014 大纲全国
15、改编,9,5 分)已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1、F 2,点 A 在 C 上.若|F 1A|=2|F2A|,则cosAF 2F1= . 8答案 1423.(2013 山东理改编,11,5 分)抛物线 C1:y= x2(p0)的焦点与双曲线 C2: -y2=1 的右焦点的连线交 C1于第一12 23象限的点 M.若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线,则 p= . 答案 433三年模拟A 组 20162018 年模拟基础题组考点一 双曲线的定义和标准方程1.(苏教选 21,二,3,8,变式)设椭圆 C1的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,若曲线 C2上的点到
16、椭圆513C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2的标准方程为 . 答案 - =1216292.(2017 江苏前黄中学月考)若双曲线 - =1 上的一点 P 到它的右焦点的距离为 8,则点 P 到它的左焦点的距24 212离是 . 答案 4 或 123.(2016 江苏南通一模,7)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 - =1(a0,b0)过点 P(1,1),其一条渐近线2222方程为 y= x,则该双曲线的方程为 . 2答案 2x 2-y2=1考点二 双曲线的性质4.(2018 江苏姜堰中学高三期中)双曲线 x2-y2=1 的离心率为 . 答案 25.(2018 江苏前
17、黄中学等五校检测)直线 x-y=0 为双曲线 x2- =1(b0)的一条渐近线,则 b 的值为 . 322答案 36.(2018 江苏南通中学高三阶段检测)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A、B 两点,AB=4 ,则双曲线 C 的实轴长为 . 3答案 47.(2017 江苏泰州中学模拟,5)若双曲线 x2- =1 的焦点到渐近线的距离为 2 ,则实数 k 的值是 . 2 2答案 88.(2017 江苏南京学情调研,8)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C: - =1(a0)的一条渐近线与直线 y=2x+122 24平行,则实数 a 的
18、值是 . 答案 199.(2017 江苏南京,盐城一模,7)设双曲线 -y2=1(a0)的一条渐近线的倾斜角为 30,则该双曲线的离心率为 .22答案 23310.(2017 江苏南京师范大学附中期中,8)若双曲线 - =1 的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为 .2222答案 53B 组 20162018 年模拟提升题组(满分:20 分 时间:10 分钟)填空题(每小题 5 分,共 20 分)1.(2017 江苏连云港四校期中)设 F1,F2为双曲线 - =1 的左、右焦点,以 F1F2为直径的圆与双曲线左支交于 A,B2222两点,且AF 1B=120.则双曲线的离心率为
19、. 答案 +132.(2017 江苏苏中部分名校联考)过双曲线 - =1(a0,b0)的右顶点 A 作斜率为-1 的直线,该直线与双曲线的2222两条渐近线的交点分别为 B,C.若 = ,则双曲线的离心率是 . 12答案 53.(2016 江苏苏北四市调研,7)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 - =1 渐近线的距离为 . 21629答案 354.(苏教选 21,二,3,8,变式)已知双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2,点 P 在双曲线的右支2222上,且 PF1=4PF2,则此双曲线的离心率 e 的最大值为 . 答案 53C 组 20162018 年模拟方法题组
20、方法 1 求双曲线标准方程的方法1.已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近 线方程是 y= x,它的一个焦点与抛物线 y2=16x 的焦点相同,则双曲2222 3线的方程为 . 答案 - =124 2122.(2016 山西太原质检)如图,已知双曲线以长方形 ABCD 的顶点 A、B 为左、右焦点,且双曲线过 C、D 两顶点.若 AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为 . 10答案 x 2- =123方法 2 求双曲线的离心率或离心率的取值范围3.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C
21、 的离心率为 . 答案 3方法 3 求双曲线中的最值4.已知双曲线 C 的两个焦点分别为 F1(-2,0),F2(2,0),双曲线 C 上一点 P 到 F1,F2的距离差的绝对值等于 2.(1)求双曲线 C 的标准方程;(2)经过点 M(2,1)作直线 l 交双曲线 C 的右支于 A,B 两点,且 M 为 AB 的中点,求直线 l 的方程;(3)已知定点 G(1,2),点 D 是双曲线 C 右支上的动点,求 DF1+DG 的最小值.解析 (1)设双曲线的方程为 - =1(a0,b0),依题意,得 a=1,c=2,所以 b= = .2222 2-2 3所以双曲线 C 的标准方程为 x2- =1.
22、23(2)设 A,B 的坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2),则 321-21=3,322-22=3.两式相减,得 3(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.因为 M(2,1)为 AB 的中点,所以 1+2=4,1+2=2,所以 12(x1-x2)-2(y1-y2)=0,即 kAB= =6,1-21-2故直线 l 的方程为 y-1=6(x-2),即 6x-y-11=0.(3)由已知,得 DF1-DF2=2,即 DF1=DF2+2,所以 DF1+DG=DF2+DG+2GF 2+2,当且仅当 G,D,F2三点共线时取等号.因为 GF2= = ,所以 DF2+DG+2GF 2+2= +2,故 DF1+DG 的最小值为 +2.(1-2)2+22 5 5 5
