1、122.3 不等式选讲五年高考考点 不等式的解法与证明1.(2017 课标全国理,23,10 分)选修 45:不等式选讲已知 a0,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.证明 (1)(a+b)(a 5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+ (a+b)3(+)24=2+ ,3(+)34所以(a+b) 38,因此 a+b2.2.(2017 课标全国理,23,10 分)选修 45:不等式选讲已知函数 f
2、(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式 f(x)1 的解集;(2)若不等式 f(x)x 2-x+m 的解集非空,求 m 的取值范围.解析 (1)f(x)= -3,2. 当 x2 时,由 f(x)1 解得 x2.所以 f(x)1 的解集为x|x1.(2)由 f(x)x 2-x+m 得 m|x+1|-|x-2|-x 2+x.而|x+1|-|x-2|-x 2+x|x|+1+|x|-2-x 2+|x|=- + ,(|-32)254 54且当 x= 时,|x+1|-|x-2|-x 2+x= .32 54故 m 的取值范围为 .(-,543.(2017 课标全国理,23,10 分)选修 45:不等
3、式选讲已知函数 f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)g(x)的解集;(2)若不等式 f(x)g(x)的解集包含-1,1,求 a 的取值范围.解析 (1)当 a=1 时,不等式 f(x)g(x)等价于 x2-x+|x+1|+|x-1|-40.当 x1 时,式化为 x2+x-40,从而 10,|x-1|-1;(3 分)12当- 1 的解集.3解析 (1)f(x)= (4 分)-4,-1,3-2,-132, y=f(x)的图象如图所示.(6 分)(2)由 f(x)的表达式及图象知,当 f(x)=1 时,可得 x=1 或 x=3;当 f
4、(x)=-1 时,可得 x= 或 x=5,(8 分)13故 f(x)1 的解集为x|15所以|f(x)|1 的解集为 .(10 分)|58.(2016 课标全国理,24,10 分)选修 45:不等式选讲已知函数 f(x)=|2x-a|+a.(1)当 a=2 时,求不等式 f(x)6 的解集;(2)设函数 g(x)=|2x-1|.当 xR 时, f(x)+g(x)3,求 a 的取值范围.解析 (1)当 a=2 时, f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+26 得-1x3.因此 f(x)6 的解集为x|-1x3.(5 分)(2)当 xR 时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-
5、2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当 x= 时等号成立,所以当 xR 时, f(x)+g(x)3 等价于|1-a|+a3.(7 分)12当 a1 时,等价于 1-a+a3,无解.当 a1 时,等价于 a-1+a3,解得 a2.所以 a 的取值范围是2,+).(10 分)9.(2015 江苏,21D,10 分)解不等式 x+|2x+3|2.解析 原不等式可化为 或0.(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)1 的解集;(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.解析 (1)当 a=1 时,f(x)1 化为|x+1|-2|x-1|-10.当 x-1
6、 时,不等式化为 x-40,无解;当-10,解得 0,解得 1x1 的解集为 .(5 分)|23. 所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A ,B(2a+1,0),C(a,a+1),ABC 的面积为(2-13 ,0)(a+1)2.23由题设得 (a+1)26,故 a2.23所以 a 的取值范围为(2,+).(10 分)11.(2015 课标,24,10 分)(选修 45:不等式选讲)设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,证明:(1)若 abcd,则 + + ; (2) + + 是|a-b|cd 得( + )2( + )2. 因此 + + . (2)(i)若
7、|a-b|cd.由(1)得 + + . (ii)若 + + ,则( + )2( + )2, 即 a+b+2 c+d+2 . 因为 a+b=c+d,所以 abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab + 是|a-b|0,b0,且 a+b= + .证明:11(1)a+b2;(2)a2+a0,b0,得 ab=1.11+(1)由基本不等式及 ab=1,有 a+b2 =2,即 a+b2.(2)假设 a2+a0 得 00,y0,证明:(1+x+y 2)(1+x2+y)9xy.证明 因为 x0,y0,所以 1+x+y23 0,321+x2+y3 0,32故(1+x+y 2)(1+x2+y)3 3 =9x
8、y.32 3215.(2014 课标,24,10 分)若 a0,b0,且 + = .11 (1)求 a3+b3的最小值;(2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由.解析 (1)由 = + ,得 ab2,且当 a=b= 时等号成立.11 2 2故 a3+b32 4 ,且当 a=b= 时等号成立.33 2 2所以 a3+b3的最小值为 4 .2(2)由(1)知,2a+3b2 4 .6 3由于 4 6,从而不存在 a,b,使得 2a+3b=6.316.(2013 江苏,21D,10 分)已知 ab0,求证:2a 3-b32ab 2-a2b.证明 2a 3-b3-(2ab2-a2b)=2
9、a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).因为 ab0,所以 a-b0,a+b0,2a+b0,从而(a-b)(a+b)(2a+b)0,即 2a3-b32ab 2-a2b.17.(2013 辽宁理,24,10 分)已知函数 f(x)=|x-a|,其中 a1.(1)当 a=2 时,求不等式 f(x)4-|x-4|的解集;(2)已知关于 x 的不等式|f(2x+a)-2f(x)|2 的解集为x|1x2,求 a 的值.解析 (1)当 a=2 时, f(x)+|x-4|= -2+6,2,2,2-1,且当 x 时, f(x)g(x),求 a 的取值范
10、围.-2,12)解析 (1)当 a=-2 时,不等式 f(x)1. 从函数图象可知,当且仅当 x(0,2)时,yy,求证:2x+ 2y+3.12-2+2证明 由题意得 x0,y0,x-y0,因为 2x+ -2y=2(x-y)+12-2+21(-)2=(x-y)+(x-y)+ 3 =3,当且仅当 x-y= ,即 x-y=1 时取等号,1(-)2 3(-)21(-)2 1-所以 2x+ 2y+3.12-2+2B 组 20162018 年模拟提升题组(满分:40 分 时间:20 分钟)解答题(共 40 分)1.(2018 江苏淮安、宿迁高三期中)已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=4,求 + +
11、z2的最小值.24 29解析 由柯西不等式可知:(x+y+z) 2 (4+9+1),故 + +z2 = ,(24+29+2) 24 29 161487当且仅当 = =z,即 x= ,y= ,z= 时, + +z2取得最小值 .2233 87 187 27 24 29 872.(2017 江苏南京、盐城一模)若实数 x,y,z 满足 x+2y+z=1,求 x2+y2+z2的最小值.解析 由柯西不等式,得(x+2y+z) 2(1 2+22+12)(x2+y2+z2),又因为 x+2y+z=1,所以 x2+y2+z2 ,16当且仅当 = = ,即 x=z= ,y= 时取等号.121 16 13综上,
12、(x 2+y2+z2)min= .163.(2017 江苏徐州期末调研)已知 a,b,c 均为正实数, + + +27abc 的最小值为 m,解关于 x 的不等式|x+1|-1313132x0,所以 + + +27abc3 +27abc= +27abc2 =18,131313 3131313 3 3279当且仅当 a=b=c= 时,取“=”,所以 m=18.313所以不等式|x+1|-2x- ,193所以原不等式的解集为 .(-193,+)4.(2017 江苏苏州期中)已知 a,b,c,d 都是正实数,且 a+b+c+d=1,求证: + + + .21+ 21+ 21+ 21+ 15证明 (1
13、+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d) + + + 2=(a+b+c+d)2=1,(21+ 21+ 21+ 21+)1+1+1+1+1+1+1+1+又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)=5, + + + ,当且仅当 = = = 时取等号.21+ 21+ 21+ 21+ 15 1+ 1+ 1+ 1+C 组 20162018 年模拟方法题组方法 1 不等式的证明1.(2017 镇江高三第一学期期末)已知 a0,b0,证明:(a 2+b2+ab)(ab2+a2b+1)9a 2b2.证明 因为 a0,b0,所以 a2+b2+ab3 =3ab0,322ab2+a2b+13 =3ab0,3
14、221所以(a 2+b2+ab)(ab2+a2b+1)9a 2b2,当且仅当 a=b=1 时等号成立.方法 2 不等式的应用2.(2017 常州高三期末)已知 x0,y0,且 2x+y=6,求 4x2+y2的最小值.解析 解法一:根据柯西不等式得(2x) 2+y2(12+12)(2x+y) 2,即 4x2+y218.当且仅当 2x=y=3,即 x= ,y=3 时取等号.32因此,当 x= ,y=3 时,4x 2+y2取得最小值 18.32解法二:由 2x+y=6 得 y=6-2x.由 x0,y0 得 0x3,因此,4x 2+y2=4x2+(6-2x)2=8x2-24x+36=8 +1818,(-32)2所以当 x= ,y=3 时,4x 2+y2取得最小值 18. 32
