1、考纲要求:1.理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性2.理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求函数的最大(小)值.3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点基础知识回顾:1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x 2定义当 x1x 2时，都有 f(x1)f(x 2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数当 x1x 2时，都有 f(x1)f(x 2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函
2、数图象描述自左向右图象是上升的 自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 f(x)的单调区间2奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数3、奇、偶函数的性质（1）普通性质奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于 y轴对称；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，
3、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.若 f(x)是奇函数，且在 x0 处有定义，则 ；若 f(x)为偶函数，则 f(x)f(|x|)（2）在公共定义域内两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数，一个偶函 数的积是奇函数【注】函数的问题，一定要注意“定义域优先”的原则。考察函数的奇偶性同样要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称。4函数的周期性（1）周期函数的定义：若 为非零实数，对于定义域内的任意 ，总有恒成立，则 叫做周期函数， 叫做这个函数的一个周期。（2）周期函数的性质：若 是函数 的一个周期，则 ( 也是它的一个周期；若 的周期中，存
4、在一个最小的正数，则称它为 的最小正周期；如果对于函数 定义域中的任意 ，满足 ，则得函数 的最小正周期是 。【注】如果对于函数 定义域中的任意 ，满足 ，则得函数的周期是 ；如果对于函数 定义域中的任意 ，满足，则得函数 的对称轴是 。应用举例:类型一、利用函数性质解决函数零点问题【例 1】 【河北省武邑中学 2018 届高三下学期期中考试】若定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ，则函数 的零点个数是（ ）A 6 个 B 4 个 C 3 个 D 2 个【答案】B显然函数 y=f（x）的图象与函数 y=log3|x|的图象有 4 个交点，故选 B点睛：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以
5、及函数与方程的思想，根据函数零点和方程的关系进行转化是解决本题的关键判断零点个数一般有三种方法：（1）方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法.本题利用的就是方法（3）.【例 2】 【福建省厦门市 2018 届高三年级第一学期期末质检】已知函数若函数 存在零点，则实数 的取值范围为_【答案】 或类型二、利用函数性质解决三角函数图象问题【例 3】 【宁夏石嘴山市第三中学 2018 届高三下学期第四次模拟考试】把函数的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则A 在 上单调递增 B 在 上单调递减C 图象关于点 对称 D 图象关于直线 对称【答案】A【解析】【分析】先根据配角公式化简 ，再根据图象
6、变换得 ，最后根据正弦函数性质确定选项.【详解】因为 ，所以 ,因此 在 上单调递增，图象不关于点 对称，也不关于直线 对称，选 A.【点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言. 【例 4】 【宁夏平罗中学 2018 届高三第四次（5 月）模拟 】已知函数，若将函数 的图象向右平移 个单位后关于 轴对称，则下列结论中不正确的是A B 是 图象的一个对称中心C D 是 图象的一条对称轴【答案】C类型三、利用函数性质解决参数范围（或值）问题【例 5】 【宁夏石嘴山市第三中学 2018
7、 届高三下学期第四次模拟】已知函数，若 ，则实数 的取值范围是A B C D 【答案】D【例 6】 【广东省汕头市潮南区 2018 届高考(5 月)冲刺】定义 为 中的最大值，函数 的最小值为，如果函数在 上单调递减，则实数 的范围为_【答案】【解析】【分析】根据题意，将函数 写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得的值，进而可得 ，由减函数的定义可得 ，解可得 的范围，即可得答案【详解】根据题意， ，则 ，分析可得，当 时， 取得最小值 2，则有 ，则 ，若 为减函数，必有 ，解可得： ，即 m 的取值范围为 ；故答案为： 【点睛】本题考查函数单调性、函数最值的计算，关键是求出 c 的值
8、类型四、利用函数性质解不等式【例 7】 【江苏省苏州市第五中学校 2018 届高三上学期期初考试】已知，则不等式 的解集为_【答案】，不等式 等价为 ，则 ，即 ，得 ，则 ，即 .故答案为： .【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式判断函数的单调性的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解是解决本题的关键.【例 8】 【2018 年天津市南开中学高三模拟考试 】设函数 是定义在 上的以 5 为周期的奇函数，若 ，则 的取值范围是_ 【答案】 .因此 ，解之得 或 ，故答案为 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性，以及不等式的解法等知识，熟练运用函数的性质是关键，属于基础题
9、类型五、利用函数性质解决函数解析式问题【例 9】 【上海市崇明区 2018 届高三 4 月模拟考试】设 是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，当 时， ，则函数 在 上的解析式是_【答案】【例 10】 【湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟 ”2018 届高三 2 月联考】若函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，则 （ ）A B C D 【答案】C【解析】函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，函数 与函数 互为反函数，又函数 的反函数为： 即 ，函数的图象向左平移两个单位可得 ， 故选 C类型六、利用函数性质解决函数值问题【例 11】 【江西省上饶市 2018
10、届高三下学期第三次高考模拟考试】已知函数 为偶函数，且函数 与 的图象关于直线 对称，若 ，则 （ ）A B C D 【答案】B【例 12】 【江苏省南通市 2018 年高考数学模拟试题】已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对于任意的 xR 都有 f(x+4)= f(x)+ f(2)，f(1)= 4，则 f(3)+ f(10)的值为_ 【答案】4【解析】分析：令 ，可求得 ，从而可得 是以 为周期的周期函数，结合，即可求解 的值详解：由题意可知 ，令 ，可求得 ，又函数 是定义在 上的偶函数，所以 ，即 ，所以 是以 为周期的周期函数，又 ，所以 点睛：本题考查了抽象函数及其基本性质
11、应用，重点考查赋值法，求得 是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力类型七、利用函数性质解决比较大小问题【例 11】 【2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题】已知函数 在区间内单调递增，且 ，若 ， ， ，则 的大小关系为（ ）A B C D 【答案】B【例 12】 【海南省琼海市 2018 届高考模拟】定义在 上的函数 在 上为减函数，且函数 为偶函数，则A B C D 【答案】B【解析】【分析】先利用函数的奇偶性求出 ， ，在利用单调性判断函数值的大小【详解】为偶函数， 令 ，得同理， ，在 上为减函数，故选【点睛】本题主要考查的是函数的奇偶性与单调性的综合，考查了函数
12、的图象与图象变化，属于基础题。类型八、函数单调性、奇偶性的判断【例 13】 【广东省阳春市第一中学 2018 届高三第九次月考】已知定义在 上的偶函数 在 上单调递减则函数 的解析式不可能为( )A B C D 【答案】B起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、
13、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 【例 14】 【河北省衡水金卷调研卷 2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟考试（五） 】下列函数在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）A B C D 【答案】C方法、规律归纳:1、判断证明函数单调性的一般方法：导数、定义、复合、图像。（1）定义法：用定义法证明函数的单调性的一般步骤是设 ，且 ；作差 ；变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）判断的正负符号；根据定义下结论。（2）复合函数分析法：设 ， ， 都是单调函数，则在 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外
14、”函数增减性相同，复合函数为增函数， “里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：增 增 增增 减 减减 增 减减 减 增（3）导数证明法设 在某个区间 内有导数 ，若 在区间 内，总有，则 在区间 上为增函数（减函数） ；反之，若 在区间 内为增函数（减函数） ，则 。（4）图像法：一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。2、求函数的单调区间：函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等【注】1）函数的单调性是局部性质：函数的单调性，从定义上看，
15、是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调2）单调区间的表示：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结实战演练:1 【河北辛集中学 2018 届高三 8 月月考】已知 f（x）是定义在实数集 R 上的偶函数，且在（0，+）上递增，则（ ）A f（ 20.7）f（ log25）f （3） B f（3 ）f（2 0.7）f （log 25）C f（ 3）f（log 25）f（ 20.7） D f（2 0.7）f （3）f（ log25）【答案】A2 【 河北辛集中学 20
16、18 届高三 8 月月考】已知函数 f（ x）=lnx+ln （2x） ，则（ ）A f（ x）在（0，2）单调递增 B f（x）在（0，2）单调递减C y=f（x）的图象关于直线 x=1 对称 D y=f（x）的图象关于点（1，0）对称【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数 后解不等式 可得 的单调区间.再利用 可判断的图像关于直线 对称. 【详解】， ，当 时， ；当 时， ，故 在 不单调. 又 ，故 的图像关于直线 对称，故选 C.【点睛】（1）一般地，若 在区间 上可导，且 ，则 在 上为单调增（减）函数；反之，若 在区间 上可导且为单调增（减）函数，则（2）若 ，则 的图像关于直
17、线 对称；若 ，则的图像关于点 对称3 【 四川省双流中学 2018 届高三第一次模拟考试 】已知函数 为定义域 上的奇函数，且在 上是单调递增函数，函数 ，数列 为等差数列，且公差不为0，若 ，则 （ ）A 45 B 15 C 10 D 0【答案】A4 【 广东省深圳市 2018 届高考模拟测试二 】下列函数中周期为 且为偶函数的是A B C D 【答案】A【解析】【分析】对于每一个选项化简再判断得解.【详解】对于选项 A, 周期为 且是偶函数，所以选项 A 正确；对于选项 B, ，周期为 且是奇函数，所以选项 B 错误；对于选项 C,y=cosx,周期为 2，所以选项 C 错误；对于选项
18、D,y=-sinx,周期为 2，所以选项 D 错误.故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 使用周期公式，必须先将解析式化为 或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是 .5 【 黑龙江省 2018 年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（十） 】设函数， ，若实数 ， 满足 ，则（ ）A B C D 【答案】B本题选择 B 选项.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数零点存在定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6 【 黑龙江省 2018 年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（十） 】已知函数，
19、若关于 的方程 有 8 个不等的实数根，则 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D【点睛】本题主要考查复合函数的应用，二次函数的性质，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7 【 广东省广州市仲元中学 2018 届高三七校联合体考前冲刺交流考试 】已知 都是定义域为 的连续函数已知： 满足：当 时， 恒成立； 都有 满足： 都有 ；当 时，若关于 的不等式 对 恒成立，则 的取值范围是A B C D 【答案】D【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用条件求出函数的奇偶性和单调性，以及周期性是解决本题的关键，考查导数的综合应用，综合性较强，难度较大8 【 广东省东莞市
20、 2018 年全国卷考前冲刺演练 】已知函数 满足，且 时， ，则（ ）A 0 B 1 C D 【答案】D【解析】9 【 广东省（宝安中学、 潮阳一中、桂城中学、南海中学、普宁市第二中学、中山中学、仲元中学）2018 届高三 5 月七校高考冲刺交流】设函数 的最大值为 M,最小值为 ，则 的值为A B C D 【答案】A【解析】【分析】化简 ，设 ，根据奇函数的性质，即可求出 ，代值计算即可【详解】由已知 ，令 ，易知 为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值和为 ， = ，故选【点睛】本题考查了函数解析式的变形及单调性与最值的关系，属于中档题10 【 河南省名校 2018 届高三压轴
21、第二次考试】定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，函数 .若对任意 ，存在 ，不等式 成立，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 【答案】A因为定义在 上的函数 满足 ，所以函数 在 的值域为 .所以函数 在 的值域为 .所以函数 f(x)在 的最小值为 -12.函数 g（x）=x 3+3x2+m， =3x2+6x，令 3x2+6x0，所以 x0 或 x2，令 3x2+6x0，所以 2x0，函数 g（x）=x 3+3x2+m，在（，2） ， （0，+）单调递增在（2，0）单调递减，t4， 2） ，g（t） 最小 =g（4）=m 16，不等式 f（s）g（t）0，12m 16，故实数满足 m4，故答案为：A点睛：（1）本题主要考查了函数的图像和性质，考查了不等式的存在性和任意性问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力、分析推理能力和计算能力. (2)解答本题有三个关键，其一是要能利用复合函数判断函数 的单调性，其二是要能够求出 f(x)在的值域为 ，其三是要能够根据 推理出在的值域为 .11 【 浙江省诸暨市 2018 届高三 5 月适应性考试】已知 ，关于 的方程恰有三个不等实根，且函数 的最小值是 ，则_【答案】5
