1、 考纲要求:1.理解不等式恒成立的基本概念，会根据不等式恒成立处理求参数范围的简单问题.2.通过自主学习与合作探究的教学过程，进一步提升学生自主学习的数学能力.3.通过本内容的教学，使学生掌握不等式恒成立与最值的关系，进一步了解数学各内容之间一种完美结合与渗透之美.基础知识回顾:恒成立：关于 x 的不等式 f(x)0 对于 x 在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立。若函数 在区间 上存在最小值 和最大值 ，则:()fDmin()fmax()f不等式 在区间 上恒成立 ；xaix不等式 在区间 上恒成立 ；()fmin()f不等式 在区间 上恒成立 ；xbDaxb不等式
2、 在区间 上恒成立 ；()fm()f若函数 在区间 上不存在最大（小）值，且值域为 ，则：x (,)n不等式 （或 ）在区间 上恒成立 ；()fa()fxaDa不等式 （或 ）在区间 上恒成立 ；xbbb应用举例【例 1】 【河南省 2018 年高考一模】已知定义在 R 上的函数 和 分别满足， ，则下列不等式恒成立的是 A B (2016)(2)(2018) (2)(2016)(2018)【答案】C【详解】令 ，则(0)=(1)22，令 ，则 ，解得(1)=(1)+22 (0)，(1)=22则 ，令 ，()+2()20162(2018)(2016)4(2018)故选【点睛】本题考查了利用导数
3、研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题。【例 2】 【河北省唐山一中 2018 届高三下学期强化提升考试（一） 】设 ，当 时，不等式0恒成立，则 的取值范围是（ ）122+(1)2322A B C D (1,+)【答案】A，22+22322令 ()=20， (0)则()=11令 ，可得当 时， 递减；当 时， 递增；(0， 1) () ()则当 时， ，故 的解集为： 且则 的取值范围是故选 【点睛】本题运用导数解答了恒成立问题，先通过导数求出不等式左边的最小值，然后代入不等式，构造新函数，再次运用导数求出最值，从而计算出结果，本题导数的运
4、用性较强、综合性强，需要掌握其解答方法。【例 3】 【河南省中原名校 2018 届高三高考预测金卷】定义在 上的函数 的导函数为 ，且，若存在实数 使不等式 对于 恒成立，则实数 的取值()=(1) +(0)22范围为（ ）A B C D 【答案】D【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可） ； 数形结合( 图()象在 上方即可)； 讨论最值 或 恒成立； 讨论参数. 【例 4】 【河南省信阳高级中学 2019 届高三第一次大考】已知函数 ， ， .（1）讨论 的单调区间；（2）若 恒成立，求
5、 的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2）（2）由题意， ， 恒成立， ， 1),= 12(1,12),()0,()递 增， ()(1)=0舍去综上， 点睛：（1）本题主要考查导数求函数的单调性、最值，考查导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力转化能力. (2)解答本题的难点在于第 2 问中要构造新函数然后求函数的最大值，体现的主要是转化的思想方法、规律归纳:上述例子剖析了数学高考中恒成立问题的常见题型及解法，解决这类题目要看清式子的特征，选择合适的方法，以便事半功倍.(1)对于含二次项恒成立的问题，注意讨论二次项系数是否为 0，这是容易漏掉的地方.（2）恒成立问题一
6、般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性.(3)一元二次不等式在 上恒R成立，看开口方向和判别式.(4)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.（5）值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的形式不尽相同，但其实质却往往与求函数的最值息息相关，从而在解数学函数与不等式恒成立的过程中，欣赏一下数学中的“统一美”，在努力攀登知识的高峰中，不要忘了多看身边的美景，度过有意义的时光.实战演练:1 【北京东城北京二中 2018 届高三上学期期中考试】已知函数 ，
7、（ ）求函数 的单调区间及最值（ ）若对 ， 恒成立，求 的取值范围（ ）求证： ， 13+15+17+ 12+10 10即对 ， 恒成立，0 (+2)1(1+)令 ，则 ，()=(+2)1(1)()=1(1+)+2+1=(1) 1+1当 时，显然 ，0 在 上是减函数，(0,+)当 时， ，0 ，即 的取值范围是 2 【江苏省南通市 2018 届高三最后一卷】已知函数 ，其中 .（1）当 时，求函数 在 处的切线方程；()（2）若函数 存在两个极值点 ，求 的取值范围；（3）若不等式 对任意的实数 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) .(2) .(3) .0,1（2）由 ， 可得0因
8、为函数 存在两个极值点 ，所以 是方程 的两个正根，1,2 ()=0即 的两个正根为所以 ，即=2401+2=112=10 所以=12(1+2)2212)(1+2)+12+52=21令 ，故 ， 在 上单调递增，(4,+)所以 ()(4)=74故 得取值范围是（ii）若 ，即 ，令 ，得 （舍去） ，4240 1，当 时， ， 在 上单调减；2=1+2 1 ()0所以存在 ，使得 ，与题意矛盾，所以 不符题意.若 ，令 ，得当 时， ， 在 上单调增；当 时， ，()0 () ()12因为 ，所以 ，故0 ()当 时，由 得 ， 或 （舍去）11即证 ， .1构造函数 .则 .当 时， . 在
9、 上单调递增.()1,+) 在 上成立，即 ，证得 .()(1)=0 (1,+)当 时， 成立.(1,+)(1) 1 1同时证明不等式恒成立时，要适当的为不等式变形。6 【四川省南充高级中学 2018 届高三考前模拟考试】已知函数 ，.（1）当 时， 恒成立，试求实数 的取值范围；0 ()() （2）若数列 满足： ， ，证明： .【答案】 （1） ；（2）见解析则 ，()=2+()=()()令 ，则 ，()=(0) ()=10在 上单调递增，在 上也单调递增，() 0,+)当 时， ， 0 ()=(0)=0在 上单调递增，0,+)恒成立，()(0)=0当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
10、，() (0,)而 ，所以 在 不恒成立，(0)=+(1) (1,+) 【答案】 （1） ；（2）()+=0 +1（2）由 ，原不等式即为()= +(1)0记 ()=+(1),(1)=0依题意有 岁任意 恒成立，()0 1,+)求导得 ，当 时， ，则 在 上单调递增，有1 ()0 (1,+) ()(1)若 ，适合题意+1若 ，则 ，又 ，故存在 使+1()=10 1(1,)当 时， ，得 在 上单调递减，在 ，舍去，10所以 ，即()=321 0 (0,2)所以此时方程在区间 上无解(0,1)(1,2)当 时， ，同上方程无解()0当 时，函数 在 上递增，在 上递减，且(0,3) (3,2
11、) 31要使方程 在区间 上有解，则 ，即(0,1)(1,2)32234所以此时(34,3)当 时，函数 在 上递增，在 上递减，且 ，(0,3) (3,2) 30 (2,+) ()32321综上所述：实数 的取值范围是 321,+)点睛：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值和最值等知识，意在考查学生的逻辑思维能力、转化能力和数学运算能力10 【河北省石家庄二中 2018 届高三三模】已知函数 ，其中 为实常数.()=+1（1）若 是 的极大值点，求 的极小值；=12（2）若不等式 对任意 ， 恒成立，求 的最小值.1 520 122【答案】 （1）(2)=32522（2）
12、.=32此时 .()=52+1则所以 在 上为减函数，在 上为增函数.() 12,2所以 为极小值点，极小值 .(2)=32522（）不等式 即为 ，1 ()所以 .()(i）若 ，则 ， .()=+11212=32当 ， 时取等号；11 【吉林省吉大附中 2018 届高三第四次模拟考试】已知函数 ， .(I)若 恒成立，求实数 的取值范围；()当 取(I)中的最小值时，求证: .()()163【答案】 （1） （2）见解析1,+)【解析】分析：（1）根据 ，构造函数 ，求出导函数 .根()() ()=(0) ()=据导函数的情况分类讨论 在不同范围时满足不等式的解，求出 的取值范围。 （2）
13、先求出(I)中的最小值时 的值为 1；所以 . ()()=再构造函数 ，利用导数及其单调性求出 ，从()=163(0) ()= 163(0)=0而得证。详解：(I)令 ，则 .()=(0) ()=若 ， ，1 ()=0单调递减， ，()=(0) ()(0)=0则 成立.(0)若 ，存在 ，00 ()(0)=0不合题意.若 ，结合 与 的图象可知显然不合题意 .0 ()()综上可知， 的取值范围是 1,+)点睛：本题综合考查了函数与导函数的应用，根据题意构造合适的函数，分析所构造函数的单调性、最值进而求出其取值范围或证明不等式，高考中常考压轴题，属于难题。12 【湖南省长沙市长郡中学 2018
14、届高考模拟卷（二） 】已知函数 ， （ ，且1()=()2 0） .1（1）当 时，若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围；=1 (1,+)1()2() （2）若 ，设 ， 是 的导函数，判断 的零点个数，并证明.(0,1)()=1()2()()() ()【答案】 （1） （2）见解析(,0（2）证明：由题意： ，由此可得 为一个零点，()=()(2+1)2令 （ ） ，则 ，()=2+1 0 ()=22的减区间为 ，单调增区间为 ，()(0,2) (2,+)其中 ，则 ， ， ，02 ()=1+10由零点存在定理及单调性可知在 上存在唯一的零点 ，(2,+) 2取 ，则 ，令 ，知 在 上
15、是减函数，=22(22(1)=250(22)0由零点存在定理及单调性可知在 上存在唯一 ， ，(22,2) 3(22,2) (3)=0由 的单调递减区间是 ，则在 上 仅存在唯一的零点 ，()(0,2) (0,2) () 3综上可知 共有三个零点.()点睛：（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理。13 【安徽省淮南市 2018 届高三第二次模拟考试】已知函
16、数 ， .()=1n(+1)(1)讨论函数 的单调性；()(2)当 时，设 ， ，满足 恒成立，求 的取值范围.1 ()=(1)()=1n+1 ()() 【答案】 （1）见解析；（2）12,+)当 ， ，所以 在 上单调递减，(11,+)()0 ()1,+) ()(1)=120在 递增， 从而 ，不符合题意.()1,+) ()(1)=0 ()()0(2)若 ，当 ， ， 在 递增，00 ()(1,12)从而 ，以下论证同(1)一样，所以不符合题意 .()(1)=12(3)若 ， 在 恒成立，12 ()0 1,+)在 递减， ，()1,+) ()(1)=120从而 在 递减 , , ()1,+)
17、 ()(1)=0()()0综上所述, 的取值范围是 .12,+)14 【河北省衡水中学 2018 届高三数学（理科）三轮复习系列七】设函数 ，()=1.()=(21)1（1）判断函数 零点的个数，并说明理由；=()（2）记 ，讨论 的单调性；()=()()+ ()（3）若 在 恒成立，求实数 的取值范围.()0 () (0,12) ( 12,+)(3) ， 在 恒成立.12,+) ()0) ()=21=221当 时， ， 在 上单调递减；0 ()0 ()=0=12所以 时， ， 单调递减，(0,12) ()0 ()综上：当 时， 在 单调递减；0 () (0,+)当 时， 在 单调递减，在 单调递增0 () (0,12) ( 12,+)（3）由题意得 在 恒成立，1 (1,+)设 ，()=1=令 ，则 ，1()= 1()=当 时， ， 在 单调递增，1 1()0 1() (1,+)，即 ，1()1(1)=0 ()0若 ，由于 ，故 ，0 1 (21)0当 时，设 ，0 ()=(21)当 ，即 时，121 00即存在 ，使 ，=121 ()0)则 ，()=11+1(+1)2再令 ，则 ，()=11+1 ()=(1+12)0 ()0 =()(0,)
