1、本章整合,专题,专题数学归纳法证题的常用技巧在使用数学归纳法证明时,一般说来,第一步,验证比较简明,而第二步归纳步骤情况较复杂.因此,熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的,其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题,归纳假设“P(k)”是问题的条件,而命题P(k+1)成立就是所要证明的结论,因此,合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键,下面简要分析一些常用技巧.1.分析综合法用数学归纳假设证明关于自然数n的不等式,从“P(k)”到“P(k+1)”,常常可用分析综合法.,专题,专题,专题,专题,2(ak+1+bk+1)(a+b)(ak+bk)2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+ba
2、k+bk+1)0ak+1-abk-bak+bk+10(a-b)(ak-bk)0.因为a-b与(ak-bk)同正负(或同时为0),所以最后一个不等式显然成立,即当n=k+1时,不等式成立.,专题,2.放缩法涉及关于正整数n的不等式,从“k”过渡到“k+1”,有时也考虑用放缩法.,专题,专题,3.递推法用数学归纳法证明与数列有关的问题时,有时要利用an与an+1的关系,实现从“k”到“k+1”的过渡.,专题,即当n=k+1时,原不等式也成立.根据(1)(2)可知,当nN*时,原不等式都成立.,专题,4.构造配凑法用数学归纳法证明关于正整数的命题(尤其是整除)时,从“k”过渡到“k+1”常常用构造配
3、凑法.应用5求证:62n+3n+2+3n是11的倍数(nN*).证明:(1)当n=1时,621+31+2+31=66,是11的倍数.(2)假设当n=k(kN*,且k1)时,命题成立,即62k+3k+2+3k是11的倍数.则当n=k+1时,62(k+1)+3k+3+3k+1=62k+2+3k+3+3k+1=3662k+33k+2+33k=3362k+362k+33k+2+33k=3362k+3(62k+3k+2+3k).由假设可知3(62k+3k+2+3k)是11的倍数,而3362k也是11的倍数,故n=k+1时,原命题也成立.根据(1)(2)可知,对任意nN*原命题成立.,专题,5.几何法“几
4、何类”命题的证题关键是先要从证明当n=k+1时命题成立的结论中,分解出当n=k时命题成立的部分,然后去证余下的部分.应用6在同一平面内有n条直线,每两条不平行,任意三条不共点,求证:它们将此平面分,专题,(湖北高考)(1)已知函数f(x)=rx-xr+(1-r)(x0),其中r为有理数,且0r0,所以f(x)在(1,+)内是增函数.故函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0.,()假设当n=k时,成立,即若a1,a2,ak为非负实数,b1,b2,bk为正有理数,又(1-bk+1)+bk+1=1,由得,bk+1)+ak+1bk+1=a1b1+a2b2+akbk+ak+1bk+1,故当n=k+1时,成立.根据()()可知,对一切正整数n,所推广的命题成立.说明:(3)中如果推广形式中指出式对n2成立,则后续证明中不需讨论n=1的情况.,
