1、12016-2017 学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示 2.3.2 空间向量基本定理课后演练提升 北师大版选修 2-1一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1如果向量 a， b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有( )A a 与 b 共线 B a 与 b 同向C a 与 b 反向 D a 与 b 共面解析： 由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B、C 都是 A 的一种情况，空间中任两个向量都是共面的，故 D 错答案： A2已知 a， b， c 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是( )A2 a，
2、a b， a2 b B2 b， b a， b2 aC a,2b， b c D c， a c， a c解析： 不共面的三个向量才可以构成基底，A 中， a2 b (2a)(2)( a b)，三32个向量共面；B 中， b2 a (2b)(2)( b a)，三个向量共面；D 中， a c2 c( a c)，32三个向量共面；只有 C 中的三个向量不共面答案： C3.在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， E 为 PD 中点，若 a， b， c，则 等于( )PA PB PC BE A. a b c12 12 12B. a b c12 12 12C. a b c12 32 12D.
3、a b c12 12 32解析： BE PE PB 12PD PB ( )12PA AD PB ( )12PA BC PB ( )12PA PC PB PB 12PA 32PB 12PC a b c.12 32 12故选 C.答案： C4正方体 ABCD A B C D， O1， O2， O3分别是 AC， AB， AD的中点，以 ，AO1 ， 为基底， x y z ，则 x， y， z 的值是( )AO2 AO3 AC AO1 AO2 AO3 2A x y z1 B x y z12C x y z D x y z222解析： AC AB BC AB BB B C AB AA AD ( ) (
4、) ( )12AB AD 12AB AA 12AA AD ，12AC 12AB 12AD AO1 AO2 AO3 对比 x y z 得 x y z1.AC AO1 AO2 AO3 答案： A二、填空题(每题 5 分，共 10 分)5如图所示，直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB AC， D， E 分别为 AA1， B1C 的中点，若记 a， b， 1 c，则 _.(用 a， b， c 表示)AB AC AA DE 解析： DE DA1 A1E ( )12AA1 12A1B1 A1C ( )12AA1 12AB AC AA1 c (a b c)12 12 a b12 12答案： a b12
5、126我们称( x， y， z)是向量 p xa yb zc 关于基底 a， b， c的坐标，则向量m2 a b3 c 的相反向量关于基底 a， b， c的坐标为_解析： m2 a b3 c，坐标为(2,1,3)答案： (2,1,3)三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)7.在直三棱柱 ABO A1B1O1中， AOB ， AO4， BO2， AA14， D 为 A1B1的中点，则在如图所示的 2空间直角坐标系中求 ， 的坐标DO A1B 解析： 设 x、 y、 z 轴正方向上的单位向量分别为 i， j， k，则4 i， 2 j， 4 k，OA OB OO1 ( )OD OO1 O1D
6、OO1 12O1A1 O1B1 12O1A1 12O1B1 OO1 12OA 12OB OO1 2 i j4 k， 2 i j4 k，DO OD (2，1，4)，DO ( )A1B OB OA1 OB OA AA1 3 OB OA AA1 OB OA OO1 4 i2 j4 k， (4,2，4)A1B 48.如图所示，四棱锥 POABC 的底面为一矩形， PO平面 OABC，设 O a， O b， O c， E、 F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用A C P a， b， c 表示： B 、 B 、 A 、 E .F E E F 解析： 连接 BO，则 B B (B O )F 12P 12
7、 O P (c b a)12 a b c.12 12 12B B C a C a (C O )E C E 12P 12 O P a b c.12 12A A P A O (P O )E P E O P 12 O C a c ( c b)12 a b c.12 12E C O a.F 12B 12A 12 尖 子 生 题 库9.(10 分)如图所示，已知正四面体的棱长为 1，点 E、 F 分别是 OA、 BC 的中点，选择适当的基底：(1)表示 ，并求出| |；EF EF (2)计算 ，并求出 ， EF AC EF AC 解析： 设 a， OB b， c，OA OC 则| a| b| c|1， a， b b， c a， c ， 3 ab ac bc .12(1) ( )EF OF OE 12OB OC 12OA a b c (a b c)12 12 12 12则有| |EF 14 a b c 214 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc ；121 1 1 1 1 1 22(2) c a( a c)AC OC OA 5 (a b c)(a c)EF AC 12 (a2 c2 ab bc2 ac)12 .12(1 1 12 12 1) 12则有 cos ， ，EF AC EF AC |EF |AC |1222 22 ， 0， ， .EF AC EF AC 4
