1、12016-2017 学年高中数学 第 3 讲 柯西不等式与排序不等式 2 一般形式的柯西不等式课后练习 新人教 A 版选修 4-5一、选择题1已知 a b c1，且 a， b， cR ，则 的最小值为( )2a b 2b c 2c aA1 B3C6 D9解析： a b c1， 2a b 2b c 2c a2( a b c)(1a b 1b c 1c a)( a b)( b c)( c a)(1a b 1b c 1c a)(111) 29.答案： D2若实数 x y z1，则 F2 x2 y23 z2的最小值为( )A1 B6C11 D.611解析： (2 x2 y23 z2)(12 1 13
2、)( x y1 z )2212 3 13( x y z)21，2 x2 y23 z2 .1116 611即 F .611答案： D3已知 a， b， c， d， e 是满足 a b c d e8， a2 b2 c2 d2 e216 的实数，则 e 的最大值为( )A3 B42C5 D.165解析： ( a b c d)24( a2 b2 c2 d2)，(8 e)24(16 e2)，0 e .165答案： D4求函数 y5 的最大值( )x 1 10 2xA6 B33 6C6 D6 2解析： 函数的定义域为(1,5)，且 y0，y5 x 1 2 5 x 52 2 2 x 1 2 5 x 2 6
3、.274 3当且仅当 5 时，等号成立，2 x 1 5 x即 x 时，函数取最大值 6 .12727 3答案： A二、填空题5设 x， y， zR，若 x2 y2 z24，则 x2 y2 z 的最小值为_时，(x， y， z)_.解析： ( x2 y2 z)2( x2 y2 z2)12(2) 22 24936， x2 y2 z 最小值为6，此时 .x1 y 2 z2又 x2 y2 z24， x ， y ， z .23 43 43答案： 6 (23， 43， 43)6已知实数 x， y， z 满足 x2 y z1，则 x24 y2 z2的最小值为_解析： 由柯西不等式得(x24 y2 z2)(1
4、11)( x2 y z)2. x2 y z1，3( x24 y2 z2)1，3即 x24 y2 z2 .13当且仅当 x2 y z ，13即 x ， y ， z 时等号成立13 16 13故 x24 y2 z2的最小值为 .13答案： 13三、解答题7设 a， b， c， d 为正数， a b c d1，求 a2 b2 c2 d2的最小值解析： a， b， c， d 为正数，由柯西不等式得(a2 b2 c2 d2)(121 21 21 2)( a b c d)2. a b c d1，4( a2 b2 c2 d2)1，即 a2 b2 c2 d2 .14 a2 b2 c2 d2的最小值为 .148
5、已知 a， b， cR ，求证： .ab c bc a ca b 32证明： 3ab c bc a cc b (ab c 1) ( ba c 1) ( cc b 1)( a b c)(1b c 1c a 1a b) (b c)( c a)( a b)12 ( 1b c 1c a 1a b) (111) 2 ，12 92 3 .ab c ba c ca b 92 329已知实数 a， b， c， d 满足 a b c d3， a22 b23 c26 d25，试求 a 的最值4解析： 由柯西不等式得(2b23 c26 d2)( )( b c d)2，12 13 16即 2b23 c26 d2( b c d)2，由条件可得，5 a2(3 a)2，解得 1 a2.当且仅当 时等号成立，2b1/2 3c1/3 6d1/6代入 b ， c ， d 时， amax2，12 13 16b1， c ， d 时， amin1.23 13
