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离散数学第一部分 数理逻辑1.3-4.ppt

上传人:dreamzhangning 文档编号:3367515 上传时间:2018-10-19 格式:PPT 页数:34 大小:381.50KB
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资源描述

1、1,1.3 命题逻辑等值演算,等值式 基本等值式 等值演算 置换规则,2,等值式,定义 若等价式AB是重言式,则称A与B等值, 记作AB,并称AB是等值式 说明:定义中,A,B,均为元语言符号, A或B中 可能有哑元出现. 例如,在 (pq) (pq) (rr)中,r为左边 公式的哑元. 用真值表可验证两个公式是否等值 请验证:p(qr) (pq) rp(qr) (pq) r,3,基本等值式,双重否定律 : AA 等幂律: AAA, AAA 交换律: ABBA, ABBA 结合律: (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) 分配律: A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC),

2、4,基本等值式(续),德摩根律: (AB)AB(AB)AB 吸收律: A(AB)A, A(AB)A 零律: A11, A00 同一律: A0A, A1A 排中律: AA1 矛盾律: AA0,5,基本等值式(续),蕴涵等值式: ABAB 等价等值式: AB(AB)(BA) 假言易位: ABBA 等价否定等值式: ABAB 归谬论: (AB)(AB) A 注意: A,B,C代表任意的命题公式 牢记这些等值式是继续学习的基础,6,等值演算与置换规则,等值演算: 由已知的等值式推演出新的等值式的过程 置换规则:若AB, 则(B)(A) 等值演算的基础:(1) 等值关系的性质:自反、对称、传递(2) 基

3、本的等值式(3) 置换规则,7,应用举例证明两个公式等值,例1 证明 p(qr) (pq)r 证 p(qr) p(qr) (蕴涵等值式,置换规则)(pq)r (结合律,置换规则)(pq)r (德摩根律,置换规则)(pq) r (蕴涵等值式,置换规则),说明:也可以从右边开始演算(请做一遍)因为每一步都用置换规则,故可不写出熟练后,基本等值式也可以不写出,8,应用举例证明两个公式不等值,例2 证明: p(qr) (pq) r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两 个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成 真,另一个成假.方法一 真值表法(自己证)方法二 观察赋值法. 容易看出000,

4、010等是左边的 的成真赋值,是右边的成假赋值.方法三 用等值演算先化简两个公式,再观察.,9,应用举例判断公式类型,例3 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q(pq) 解 q(pq) q(pq) (蕴涵等值式) q(pq) (德摩根律) p(qq) (交换律,结合律) p0 (矛盾律) 0 (零律) 由最后一步可知,该式为矛盾式.,10,例3 (续),(2) (pq)(qp) 解 (pq)(qp) (pq)(qp) (蕴涵等值式) (pq)(pq) (交换律) 1 由最后一步可知,该式为重言式. 问:最后一步为什么等值于1?,11,例3 (续),(3) (pq)(pq)r) 解 (pq

5、)(pq)r) (p(qq)r (分配律) p1r (排中律) pr (同一律) 这不是矛盾式,也不是重言式,而是非重言式的可 满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.,总结:A为矛盾式当且仅当A0A为重言式当且仅当A1 说明:演算步骤不惟一,应尽量使演算短些,12,1.4 范式,析取范式与合取范式 主析取范式与主合取范式,13,析取范式与合取范式,文字:命题变项及其否定的总称 简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, 析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A1A2Ar, 其中A1

6、,A2,Ar是简单合取式 合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A1A2Ar , 其中A1,A2,Ar是简单析取式,14,析取范式与合取范式(续),范式:析取范式与合取范式的总称 公式A的析取范式: 与A等值的析取范式 公式A的合取范式: 与A等值的合取范式 说明: 单个文字既是简单析取式,又是简单合取式 pqr, pqr既是析取范式,又是合取范式 (为什么?),15,命题公式的范式,定理 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式 与合取范式. 求公式A的范式的步骤:(1) 消去A中的, (若存在)(2) 否定联结词的内移或消去(3) 使用分配律对分配(析取范式)对分配(合取范式) 公式的范式

7、存在,但不惟一,16,求公式的范式举例,例 求下列公式的析取范式与合取范式 (1) A=(pq)r 解 (pq)r (pq)r (消去) pqr (结合律) 这既是A的析取范式(由3个简单合取式组成的析 取式),又是A的合取范式(由一个简单析取式 组成的合取式),17,求公式的范式举例(续),(2) B=(pq)r 解 (pq)r (pq)r (消去第一个) (pq)r (消去第二个) (pq)r (否定号内移德摩根律) 这一步已为析取范式(两个简单合取式构成) 继续: (pq)r (pr)(qr) (对分配律) 这一步得到合取范式(由两个简单析取式构成),18,极小项与极大项,定义 在含有n

8、个命题变项的简单合取式(简单析取式)中, 若每个命题变项均以文字的形式出现且仅出现一次,称这 样的简单合取式(简单析取式)为极小项(极大项). 说明:n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项(极大项)均互不等值在极小项和极大项中文字均按下标或字母顺序排列用mi表示第i个极小项,其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用Mi表示第i个极大项,其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, mi(Mi)称为极小项(极大项)的名称. mi与Mi的关系: mi Mi , Mi mi,19,极小项与极大项(续),由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项,20,由p, q, r三个命题变项形成的极

9、小项与极大项,21,主析取范式与主合取范式,主析取范式: 由极小项构成的析取范式 主合取范式: 由极大项构成的合取范式 例如,n=3, 命题变项为p, q, r时,(pqr)(pqr) m1m3 是主析取范式 (pqr)(pqr) M1M5 是主合取范式 A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.,22,主析取范式与主合取范式(续),定理 任何命题公式都存在着与之等值的主析取范 式和主合取范式, 并且是唯一的. 用等值演算法求公式的主范式的步骤:(1) 先求析取范式(合取范式)(2) 将不是极小项(极大项)的简单合取式(简单析取式)化成与之等值的若干个极小项

10、的析取(极大项的合取),需要利用同一律(零律)、排中律(矛盾律)、分配律、幂等律等.(3) 极小项(极大项)用名称mi(Mi)表示,并 按角标从小到大顺序排序.,23,求公式的主范式,例 求公式 A=(pq)r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式 (pq)r (pq)r , (析取范式) (pq) (pq)(rr) (pqr)(pqr) m6m7 , ,24,求公式的主范式(续),r(pp)(qq)r(pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m1m3m5m7 , 代入并排序,得(pq)r m1m3m5 m6m7(主析取范式),25,求公式的主范式(续),(2) 求A的主合取范式 (p

11、q)r (pr)(qr) , (合取范式) pr p(qq)r (pqr)(pqr) M0M2, ,26,求公式的主范式(续),qr (pp)qr (pqr)(pqr) M0M4 , 代入并排序,得(pq)r M0M2M4 (主合取范式),27,主范式的用途与真值表相同,(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (pq)r m1m3m5 m6m7,其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111,其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值. 类似地,由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.,28,主范式的用途(续),(2) 判断公式的类型 设A含n个命题变项,则 A为重言式A

12、的主析取范式含2n个极小项A的主合取范式为1. A为矛盾式 A的主析取范式为0 A的主合取范式含2n个极大项 A为非重言式的可满足式 A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项 A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项,29,主范式的用途(续),例 用主析取范式判断下述两个公式是否等值: p(qr) 与 (pq)r p(qr) 与 (pq)r 解 p(qr) = m0m1m2m3 m4m5 m7(pq)r = m0m1m2m3 m4m5 m7(pq)r = m1m3 m4m5 m7 故中的两公式等值,而的不等值.,(3) 判断两个公式是否等值,说明:由公式A的主析取范式确定它的主合取范式,反

13、之亦然.用公式A的真值表求A的主范式.,30,主范式的用途(续),例 某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业 的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足 以下条件: (1)若赵去,钱也去;(2)李、周两人中至少有一人去;(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人;(4)孙、李两人同去或同不去;(5)若周去,则赵、钱也去. 试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国?,31,例 (续),解此类问题的步骤为: 将简单命题符号化 写出各复合命题 写出由中复合命题组成的合取式 求中所得公式的主析取范式,32,例 (续),解 设p:派赵去,q:派钱去,r:派孙去,s:派李去,u:派周去. (1) (pq)(

14、2) (su)(3) (qr)(qr)(4) (rs)(rs)(5) (u(pq) (1) (5)构成的合取式为A=(pq)(su)(qr)(qr)(rs)(rs)(u(pq),33,例 (续), A (pqrsu)(pqrsu) 结论:由可知,A的成真赋值为00110与11001, 因而派孙、李去(赵、钱、周不去)或派赵、钱、 周去(孙、李不去).A的演算过程如下: A (pq)(qr)(qr)(su)(u(pq)(rs)(rs) (交换律) B1= (pq)(qr)(qr) (pqr)(pqr)(qr) (分配律),34,例 (续),B2= (su)(u(pq) (su)(pqs)(pqu) (分配律)B1B2 (pqrsu)(pqrsu) (qrsu)(pqrs)(pqru) 再令 B3 = (rs)(rs) 得 A B1B2B3 (pqrsu)(pqrsu) 注意:在以上演算中多次用矛盾律 要求:自己演算一遍,

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