1、1学业分层测评(十九)(建议用时：45 分钟)学业达标一、填空题1.用随机模拟的方法来估计圆周率 的近似值.在正方形中随机撒一把芝麻，如果撒了 1 000 颗芝麻，落在正方形内切圆内的芝麻点数为 778 颗，那么这次模拟中 的近似值是_.【解析】 根据几何概型及用频率估计概率的思想， ，其中 R 为正方 R24R2 4 7781 000形内切圆的半径，解得 3.112.【答案】 3.1122.已知函数 f(x)log 2x， x ，在区间 上任取一点 x0，则使 f(x0)0 的12， 2 12， 2概率为_.【解析】 欲使 f(x)log 2x0，则 x1，而 x ，12， 2 x1,2，从
2、而由几何概型概率公式知所求概率 P .2 12 12 23【答案】 233.如图 335，在平面直角坐标系中， xOT60，以 O 为端点任作一射线，则射线落在锐角 xOT 内的概率是_. 【导学号：90200075】图 335【解析】 以 O 为起点作射线，设为 OA，则射线 OA 落在任何位置都是等可能的，落在 xOT 内的概率只与 xOT 的大小有关，符合几何概型的条件.记“射线 OA 落在锐角 xOT 内”为事件 A，其几何度量是 60，全体基本事件的度量是 360，由几何概型概率计算公式，可得 P(A) .6036016【答案】 164.若将一个质点随机投入如图 336 所示的长方形
3、 ABCD 中，其中 AB2， BC1，则2质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是_.图 336【解析】 由题意 AB2， BC1，可知长方形 ABCD 的面积 S212，以 AB 为直径的半圆的面积 S1 1 2 .故质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率 P .12 2 22 4【答案】 45.一只蚂蚁在三边边长分别为 3,4,5 的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率为_.【解析】 边长为 3,4,5 构成直角三角形，P . 3 1 1 4 1 1 5 1 13 4 5 612 12【答案】 126.一只蚂蚁在边长分别为 6,8,10 的 ABC
4、区域内随机爬行，则其恰在到顶点 A 或顶点B 或顶点 C 的距离小于 1 的地方的概率为_.【解析】 由题意知，三角形 ABC 为直角三角形，则 S ABC 6824，12记“恰在到顶点 A 或 B 或 C 的距离小于 1”为事件 A.则事件 A 发生的图形为图中阴影部分面积， P(A) .12 124 48【答案】 487.(2015苏州高二检测)已知集合 A( x， y)|x|1，| y|1，现在集合内任取一3点，使得 x2 y21 的概率是_.【解析】 集合 A 表示的平面图形是如图所示的边长为 1 的正方形，其内切圆为x2 y21.设“在集合内取一点，使得 x2 y21”为事件 A，即
5、所取的点在单位圆 x2 y21 上或内部.由几何概型知 P(A) . 4【答案】 48.已知正三棱锥 SABC 的底面边长为 4，高为 3，在正三棱锥内任取一点 P，使得VPABC VSABC的概率是_.12【解析】 如图，由 VPABC VSABC知， P 点在三棱锥 SABC 的中截面 A0B0C0的下方，12P1 1 .VSA0B0C0VSABC 18 78【答案】 78二、解答题9.两人约定在 2000 到 2100 之间相见，并且先到者必须等迟到者 40 分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在 2000 至 2100 各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间相见的概率.【解】
6、 设两人分别于 x 时和 y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当 x y .23 234两人到达约见地点所有时刻( x， y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻( x， y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示，因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为：P .S阴 影S单 位 正 方 形 1 (13)212 8910.已知| x|2，| y|2，点 P 的坐标为( x， y).(1)求当 x， yR 时，点 P 满足( x2) 2( y2
7、) 24 的概率；(2)求当 x， yZ 时，点 P 满足( x2) 2( y2) 24 的概率.【解】 (1)如图，点 P 所在的区域为正方形 ABCD 的内部(含边界)，满足( x2)2( y2) 24 的点的区域为以(2,2)为圆心，2 为半径的圆面(含边界).又 S 正方形ABCD4416，S 扇形 ， P1 .S扇 形S正 方 形 ABCD 16(2)若 x， yZ，则点 P 的坐标有(2，2)，(2，1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(1，2)，(1,1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(0，2)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1，2)，(1，1)
8、，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2，2)，(2，1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)共 25 个，满足( x2) 2( y2) 24 的有(0,2)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)共 5 个，点 P 满足( x2) 2( y2) 24 的概率 P1 .525 15能力提升1.如图 337，半径为 10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为 1 cm 的小圆.现将半径为 1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为_.5图 337【解析】 由题意，硬币的中心应落在距圆心 29 cm 的圆环上，圆环的面积为9 22
9、277 cm 2，故所求概率为 .7781 7781【答案】 77812.已知集合 A( x， y)|x2 y21，集合 B( x， y)|x y a0，若 A B的概率为 1，则 a 的取值范围是_.【解析】 由 A B的概率为 1 知直线 x y a0 与圆 x2 y21 有公共点，故圆心到直线的距离不大于半径 1，即 1.解得 a .|a|2 2 2【答案】 ， 2 23.在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点 P，则点 P 到点 O 距离大于 1 的概率为_.【解析】 与点 O 距离等于 1 的
10、点的轨迹是一个半球面(如图)，半球体积为 V1 1 3 .12 43 23“点 P 与点 O 距离大于 1”事件对应的区域体积为 23 ，则点 P 与点 O 距离大于 123的概率是 1 .23 2323 12【答案】 1124.设关于 x 的一元二次方程 x22 ax b20.(1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数， b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；6(2)若 a 是从区间0,3上任取的一个数， b 是从区间0,2上任取的一个数，求上述方程有实根的概率. 【导学号：90200076】【解】 设事件 A 为“方程 x22 ax b20 有实
11、根”.当 a0， b0 时，方程 x22 ax b20 有实根等价于 4 a24 b20, 即 a b.(1)基本事件共有 12 个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2).其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值.事件 A 包含 9 个基本事件，故事件 A 发生的概率为 P(A) .912 34(2)试验的全部结果所构成的区域为( a， b)|0 a3,0 b2.构成事件 A 的区域为( a， b)|0 a3,0 b2， a b.(如图阴影区域所示)所以所求的概率为 P(A) .32 122232 23
