1、2018年10月18日星期四,1,保险学,第四章：保险的数理基础,2018年10月18日星期四,2,保险的数理基础,随机事件与概率 概率分布与数字特征 大数定律及其在保险中的应用-危险集合 保险费率的厘定原则与影响因素 人寿保险费率的厘定原则与影响因素 财产保险费率的厘定,2018年10月18日星期四,3,第一节 随机事件与概率,4.1.1 随机现象、随机试验和随机事件 随机现象：两个特点 随机试验：三个特征 样本空间：所有可能结果组成的集合 随机事件：样本空间的子集 基本随机事件：最简单的随机事件,2018年10月18日星期四,4,事件的关系与运算： 文氏图示法(Venn Diagram),
2、以长方形区域代表样本空间 S，在其内部以封闭曲线围起来的区域代表事件，描述事件间的各种关系的方法，称为文氏图示法(Venn Diagram)。,学过啦！,2018年10月18日星期四,5, A 包含于B,事件 A 发生必 导致事件 B 发生,A,B,且,1. 事件的包含,2. 事件的相等,2018年10月18日星期四,6,事件 A与事件B 至少有一个发生,发生,的和事件 ,的和事件 , A 与B 的和事件,3. 事件的并(和),2018年10月18日星期四,7,事件 A与事件B 同时发生,发生,的积事件 ,的积事件 , A 与B 的积事件,4. 事件的交(积),2018年10月18日星期四,8
3、, A 与B 的差事件,5. 事件的差,2018年10月18日星期四,9, A 与B 互斥,A、 B不可能同时发生,两两互斥,两两互斥,6. 事件的互斥(互不相容),2018年10月18日星期四,10, A 与B 互相对立,每次试验 A、 B中有且只有一个发生,A,称B 为A的对立事件(or逆事件)， 记为,注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念,7. 事件的对立,2018年10月18日星期四,11,8. 完备事件组,若 两两互斥，且,则称 为完备事件组,或称 为 的一个划分,2018年10月18日星期四,12,吸收律,幂等律,差化积,重余律,对应,2018年10月18
4、日星期四,13,交换律,结合律,分配律,反演律,运算顺序： 逆交并差，括号优先,2018年10月18日星期四,14,B,C,A,C,分配律 图 示,A,2018年10月18日星期四,15,A,B,B,红色 区域,黄色 区域,例 用图示法简化,A,A,2018年10月18日星期四,16,例 化简事件,解 原式,2018年10月18日星期四,17,例 利用事件关系和运算表达多个事件的关系,A ,B ,C 都不发生,A ,B ,C 不都发生,2018年10月18日星期四,18,例：在图书馆中随意抽取一,表示数学书，,表示中文书，,表示平装书., 抽取的是精装中文版数学书, 精装书都是中文书, 非数学
5、书都是中文版的，且,中文版的书都是非数学书,本书，事件,2018年10月18日星期四,19,第二节 概率基础,1. 事件发生的可能性 的数字度量 简单事件 联合事件 复合事件 2. 取值在 0 和 1 之间 3. 所有事件之和为 1,1,.5,0,必然,不可能,也学过啦！,2018年10月18日星期四,20,简单事件的概率 Probability of Simple Event,P(事件) =X = 使某结果发生的事件数量 T = 可能事件的总数,检查了100个零件，两个有缺陷!,2018年10月18日星期四,21,用列联表确定联合事件 Using Contingency Table,联合事件
6、 Joint Probability,边际 (简单) 概率 Marginal (Simple) Probability,2018年10月18日星期四,22,列联表联合事件的例子,联合事件: 抽一张牌. 注意种类、颜色,2018年10月18日星期四,23,独立事件,两事件的发生概率不会互相影响，则称两事件互相独立(independent events)。 事件 A (或B)的发生概率，不会因为事件 B (或A)是否发生而有不同，则称事件 A 与 B 互相独立。 注意与互斥事件区分：独立事件不在一个样本空间里,2018年10月18日星期四,24,独立事件例,掷两枚铜板，第一枚铜板为正面的事件为 A
7、，第二枚铜板为正面的事件为 B，第二枚铜板为正面的机概率，与第一枚铜板的结果无关，两事件互相独立。 抽扑克牌两张，第一张为红色的事件为 A，第二张为红色的的事件为 B，第二张为红色的概率，与第一张的结果有关，两事件不独立。 第一张红色，则第二张红色的概率为 25/51， 第一张黑色，则第二张红色的概率为 26/51。 连续考试两次，第二次的结果与第一次的结果有关，两事件不独立。,2018年10月18日星期四,25,独立事件的概率乘法规则,两独立事件 A 与 B 同时发生的概率，为两事件各自发生概率的相乘：P(A 且 B) = P(A)P(B)。,2018年10月18日星期四,26,例：孟德尔(
8、Mendel)的豌豆,概率乘法规则的应用 豌豆育种研究 每株含有两种可能颜色的基因，黄色(Y)为显性、绿色(G)为隐性，发生的概率各半 株与株间互相独立 父母株交配后，子株为绿色的机率P(G且 G) = P(G)P(G)= 0.50.5=0.25,2018年10月18日星期四,27,例：海底电缆线研究,海底电缆线维修率研究； 每条海底电缆线有许多 repeaters 。每个 repeater 10年不坏的概率为 0.999，如果没有重大天然灾害(如地震)的破坏，假设各 repeaters 间互相独立且不坏的概率相同。 令 Ai 为第 i 个 repeater 10年不坏的事件，则一 条有10个
9、 repeaters 的海底电缆线10年免维修的机率为 P(A1且且A10) = P(A1)P( A10) = 0.99910 = 0.990 事实上，一 条海底电缆在线有300个 repeaters ，则 10年免维修的机率为 P(A1且且A300) = P(A1) P( A300) = 0.999300 = 0.741,2018年10月18日星期四,28,例： AIDS 检验研究,AIDS 检验得错误阳性(false positive)，即没有感染但检验结果为阳性的概率为 0.005，140个未受感染的受测者，至少有一人检验结果为阳性的概率为P(至少一人为阳性) = 1- P(没有人为阳性
10、) = 1 - P(全部人为阴性) = 1 - 0.995140 = 0.504,2018年10月18日星期四,29,两个独立的随机变量,两随机变量X和Y，如果属于X的样本空间SX的任意事件必和属于Y样本空间SY的任意事件独立，则称两随机变量独立； 两独立(离散)随机变量的乘法规则： 任意两事件 X = x 与 Y = y， P( X = x且 Y = y) = P( X = x)P( Y = y) x, y,2018年10月18日星期四,30,两事件发生的概率通则：广义加法,两事件A或B发生的概率P(A或 B) = P(A)+P(B) - P(A且 B) Deborah成为律师合伙人的概率为
11、0.7， Mathew成为律师合伙人的概率为0.5，两人同时成为律师合伙人的概率为0.3，则至少一人成为律师合伙人的概率为P(至少一人成为合伙人) = 0.7+0.5 - 0.3=0.9,2018年10月18日星期四,31,例：合伙人概率研究图示,D且非M0.4,D且M0.3,M且非D0.2,非M且非D0.1,2018年10月18日星期四,32,条件分布的概率表示法,随机选出一位自杀者，使用firearm的概率 P(firearm)=18,940/31,510=0.6 随机选出一位自杀者，选出女性的概率 P(female)= 6,095/31,510=0.193,2018年10月18日星期四,
12、33,条件分布的概率表示法（续）,若已知选出的是女性，使用firearm的概率 P(firearm|female)=2,559/6,095=0.42 自杀者是女性又使用firearm的概率 P(female且firearm)= 2,559 /31,510=0.081 =(6,095/31,510)(2,559/6,095) = P(female)P(firearm|female),2018年10月18日星期四,34,乘法规则,任意两个事件A, B 的条件概率 条件概率(conditional probability)：给定事件A已发生时，事件B发生的概率，记为P(B|A)。 乘法规则(mult
13、iplication rule) 任两事件A与 B 同时发生的概率 P(A且B)= P(A) P(B|A)。,2018年10月18日星期四,35,乘法规则的应用,扑克牌游戏的概率： 已出现的11张牌中有4张红方块，求再抽到两张红方块的概率 第一张抽到红方块的概率： P(第一张抽到红方块) = 9/41 第一张抽到红方块后再抽到红方块的概率： P(再抽到红方块|第一张抽到红方块) = 8/40 两张都抽到红方块的概率： P(两张红方块) = P(第一张抽到红方块) P(再抽到红方块|第一张抽到红方块)= 9/41 8/40 = 0.044,2018年10月18日星期四,36,乘法规则的推广,任意
14、三个事件A、B、C同时发生的概率：P(A且B且C)= P(A且B)且C)= P(A且B)P(C|A且B)= P(A)P(B|A)P(C|A且B)。,2018年10月18日星期四,37,乘法规则推广的应用 高中球员的未来,男子高中球员有5%继续在大学打球，其中只有1.7%继续在职业球队打球，而在这1.7%中有40%在职业球队打球3年以上。求男子高中球员最后会在职业球队打球3年以上的概率 事件A=继续在大学打球 事件B=继续在职业球队打球 事件C=继续打3年职业球队,2018年10月18日星期四,38,乘法规则推广就用 球员的未来（续）,P(A) = 0.05； P(B|A) = 0.017； P
15、(C|A且B) = 0.4； 男子高中球员最后会在职业球队打球3年以上的概率 P(A且B且C)= P(A)P(B|A)P(C|A且B) =0.05 0.017 0.4=0.00034。,2018年10月18日星期四,39,条件概率定义和图示,如果P(A)0，则给定事件A的条件下事件B 的条件概率为文氏图示：,B,A,事件B的样本空间发生了变化！,2018年10月18日星期四,40,独立事件的另一个解释,若P(B|A) = P(B)且P(A|B) = P(A)，则事件A与事件B为两独立事件。 说明： 若P(B|A) = P(B)，则 A, B 两事件独立。,2018年10月18日星期四,41,期
16、望值与方差,总体平均数又称为期望值(Expectation)。 总体样本空间为x1, ,xk，概率模型为 P(X = xi) = p(xi), i = 1, , k；定义期望值为记为 = EX。,2018年10月18日星期四,42,总体方差,总体方差(Variance)记为 2 = Var(X)。 样本空间、概率模型如前； 定义方差为：例：参考抽样一节，样本均值、方差与理论均值、方差。,2018年10月18日星期四,43,期望与方差的性质,两个随机变量X与Y的线性组合，aX+bY 的期望值是两期望值的线性组合 E( aX + bY ) = aEX + bEY 两个独立随机变量和的方差，是两个方
17、差的和Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) 随机变量 a 倍的方差，是方差的 a2 倍。Var(aX) = a2Var(X),2018年10月18日星期四,44,第三节 大数定律及其应用： 危险集合,假定有甲乙两人损失分布一样，并且两人的损失分布不相关，其分布均如下表所示：,则每个人的期望损失为$500，标准差为$2179,2018年10月18日星期四,45,危险集合例：2人的情况,两人的危险集合改变了每个人的损失分布：,2018年10月18日星期四,46,危险集合例：2人的情况,期望损失的效应 无危险集合时期望损失为 $500 集合危险时期望损失仍为 $500标准差效应 无危
18、险集合时标准差为 $2,179 集合危险时标准差为 $1,541,2018年10月18日星期四,47,危险集合例：4人的情况,损失 概率$10,000 0.000006$7,500 0.000475 Loss = $5,000 0.014$2,500 0.171$0 0.815期望损失 = $500 标准差 = $1,089,2018年10月18日星期四,48,危险集合：500个人的情况,2018年10月18日星期四,49,危险集合：1000个人的情况,2018年10月18日星期四,50,损失不相关的危险集合小结：,危险集合的安排不会改变损失期望值但降低了不确定性(标准差减小，损失的可预测性增
19、加)分布更平缓(峰度降低),2018年10月18日星期四,51,损失相关时的情形：,不确定性的降低比不相关时要小：想想为什么？ 考虑一下极端情形： 某危险发生时另一危险也发生 于是集合并不能降低危险程度,2018年10月18日星期四,52,正相关时危险降低效应：,2018年10月18日星期四,53,其他情况：,相关性越低， 危险降低程度越大!,完全负相关情况 (-1)：,完全正相关情况 (+1)：,危险集合降低危险与危险间相关的不同情况：,完全消差不确定性,消减部分危险,未降低不确定性,2018年10月18日星期四,54,危险集合几个要点：,集合会降低每个加入的危险单位的危险 即，损失暴露成本
20、变得更可预测 集合的危险单位越多，可预测性越强（所以保险同质保单卖得越多，公司对损失估计就越准确，公司就越安全） 损失相关的情况下可预测性会降低,2018年10月18日星期四,55,集合(多样化)的其他例子：,很多情形下都会应用到“集合降低风险”：股市多样化资产组合企业业务线的多样化,2018年10月18日星期四,56,第四节 保费厘定,保险费率的厘定原则与影响因素 费率构成、影响因素、厘定方法 人寿保险费率的厘定原则与影响因素 财产保险费率的厘定,2018年10月18日星期四,57,保险费率的厘定原则与影响因素,4.4.1 费率构成 4.4.2 厘定原则： 公平性：两方面含义 充分性 相对稳
21、定性 促进防灾防损性,2018年10月18日星期四,58,4.4.3 强险费率厘定方法 分类法 分类费率的计算：纯保险费率法、损失比率法 增减法： 观察法,保险费率的厘定原则与影响因素,2018年10月18日星期四,59,第五节 寿险费率的厘定,考虑因素：利息、生命表、营运费用、利润策略等 具体方法：略,2018年10月18日星期四,60,第六节 非寿险费率的厘定,计算纯费率： 计算附加费率,2018年10月18日星期四,61,第四章小结,本章重点： 大数定律在保险中的应用。 保险费率厘定的理论及方法。 思考题： 什么是随机事件？随机事件和风险之间有什么关系？ 什么是损失概率？损失概率与纯费率之间有何关系？ 大数定理对保险经营有何重要意义？ 保费厘定时，应遵循什么原则？ 简述厘定保费的各种方法 人寿保险与财产保险费率是如何计算的？,2018年10月18日星期四,62,THE END,
