1、,如果一非零向量垂直于,法线向量的特征：,垂直于平面内的任一向量.,已知,设平面上的任一点为,必有,一、平面的点法式方程,一块平面可以有许多法向量.,一平面,这向量就叫做该平面,的,法线向量,(法向量).,则平面唯一确定，,求其方程.,平面的点法式方程,例如过点(2,-3,0),且以向量(1,-2,3)为法线向量的平面方程为？,平面上的点满足方程,不在平面上的点不满足方程.,解,取,平面方程为,化简得,平面的点法式方程,例,注：,已知平面内两个向量，可用外积确定其法向量.,平面的点法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般方程,任意一个形如上式,的x、y、z的三元一次,方程都是平面方程.
2、,平面一般方程的几种特殊情况,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于xOy 坐标面；,类似地可讨论,类似地可讨论,轴,轴,xOz面,yOz面,平面的一般方程,设平面为,将三点坐标代入得,解,例,设平面与x, y, z 三轴分别交于,求此平面方程.,平面的截距式方程,当平面不与任何坐标面平行,且不过原点时,才有截距式方程.,?,化为截距式方程,平面的截距式方程,用待定常数法.,设平面过点 及x轴, 求其方程.,即,法一,设平面方程是,从而平面方程是,即,从而平面方程是,得,点(0,0,0)及(1,0,0)在平面上,练习,设平面过点 及x轴,求其方程.,用平面的点法式方程
3、.,由点法式方程得平面方程:,求法向量,练习,法二,即,求平面方程常用两种方法:,利用条件定出其中的待定的常数, 此方法也称待定常数法.,主要是利用条件用向量代数的方法找出平面的一个法向量.,(1) 用平面的点法式方程.,(2) 用平面的一般方程.,定义,（通常取锐角）,两平面法向量的夹角称为,三、两平面的夹角,两平面的夹角.,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,两平面垂直、平行的充要条件,取锐角,例 研究以下各组里两平面的位置关系:,解,两平面相交,夹角,两平面平行但不重合.,解,两平面平行,两平面平行,两平面重合,解,设平面为,所求平面方程为,解,例,与平面
4、,垂直且过原点及点,的平面方程为( ).,与平面,垂直且过原点及点,的平面方程为( ).,解,平面的点法式方程,取法向量,化简得,平面方程为,解,.,例,求过点(1,1,1)且与平面,和平面,都垂直的平面方程.,外一点,四、点到平面的距离,并作向量,即,由于,的距离公式为,填空,解,两平行平面 与 间距离为( ),其 的方程分别为:,(A) 1,(B),(C) 2,(D) 21,A,选择题,讨论,如何确定平面的法向量?,(1),如果已知点M0(x0, y0, z0)在平面 上的垂足,为M1(x1, y1, z1),则,(2),如果平面 与已知平面,平行,则,(3),如果平面 过三点 A, B, C,则,确定平面的法向量是建立平面方程的关键,所在,平面法向量的确定要根据不同的条件采用,不同的方法.,
