1、第6讲 常微分方程基础,参考书目 常微分方程,王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松编,高等教育出版社 高等数学(第五版),同济大学应用数学系,同济大学出版社,微分方程理论起始于十七世纪末，是研究自然现象强有力的工具，是数学科学联系实际的主要途径之一。1676年，莱布尼兹在给Newton（牛顿）的信中首次提到Differential Equations（微分方程）这个名词。微分方程研究领域的代表人物：Bernoulli、Cauchy、 Euler 、Taylor 、Leibniz、Poincare、Liyapunov等。微分方程理论发展经历了三个过程：求微分方程的解；定性理论与稳定性理论；微分方程的现
2、代分支理论。,概述,1 代数方程(组)，其未知量为数一元n次代数方程：,2 超越方程（组），其含有超越函数,其特点：方程的解为实数（有限个或者无限个）,方程:含有未知量(数)的等式(或关系式)。例如:,代数方程(组)和超越方程(组)的未知量都是数(实数或复数),方程的定义,3 函数方程（或泛函方程），其未知量为函数,其特点：方程的解为有限个或无穷多个函数。,由于方程的解为函数，一个函数又是主要由对应法则决定的，所以函数方程的表现形式往往比较复杂,除了有函数外,还要有表示对应关系的自变量,如上例中的t。,定义：包含自变量，未知函数以及未知函数的某些阶导数（或微商）的关系式，称之为微分方程 。,例
3、,微分方程的定义,这个被称为常微分方程组,是函数方程，但不是微分方程,这两个例子是同一个函数关于多个变量的各阶导数的关系式，这类微分方程称之为偏微分方程,常微分方程,定义：自变量的个数只有一个的微分方程，称为常微分方程。,微分方程的阶在一个微分方程中所出现的未知函数的导数的最 高阶数n称为该方程的阶。 当n=1时，称为一阶微分方程； 当n1时，称为高阶微分方程。例如,一阶,二阶,线性和非线性常微分方程,如果常微分方程的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则称它为线性常微分方程，否则，称它为非线性常微分方程。 例如：,线性，类似于高等代数中的,非线性，类似于高等代数中的,n阶线性微分方程的
4、一般形式为：,其中,均为 的已知函数,如：2阶线性方程的一般形式,常微分方程的解,若将函数,代入方程后使方程有意义且“”成立,则称函数 为该方程的一个解.,例如，一阶微分方程,有解,即关系式,包含了方程的解。,通解和特解,常微分方程的解的表达式中，可能包含一个或者几个任意常 数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程 的阶数相同，我们称这样的解为该微分方程的通解。 常微分方程满足某个特定条件的解称为微分方程的特解。,例：二阶方程,其通解,而,是方程满足初始条件,解。,练习题1,常微分方程的求解,分离变量法 一阶线性微分方程的常数变异法 常系数齐次线性微分方程的解法 常系数非齐次线性微分方
5、程的解法,变量分离法,一般情况下，只有具有下述形式或可转变为下述形式的微分方程才可使用变量分离法求解：,例如：,变量分离法的求解步骤(1),如果,(1) 分离变量,(2) 两边积分,(2.2),用G(y)，F(x)分别表示,的某一个原函数,(3),方程（2.1）的通解为G(y)=F(x)+C,变量分离法的求解步骤(2),如果存在,直接验证得:,，使得,为方程(2.1)的常数解。,的解为,结论：,分离变量方程,解,1 分离变量,2 两边积分,3,例1 求解方程,（c 为任意正常数）,或者,求通解,解,时,(1) 分离变量,通解中，因而方程还有解 y = 0,（3）,求解方程,并求出满足初始条件：
6、当 x = 0时 y = 1的特解。,例2,（c为任意常数）,为方程的通解。,注意 y = 0 时，也是方程的解，而其并不包含在,(2) 两边积分,求特解,将初始条件 y (0)=1代入通解中，得c = -1,则满足所给条件的特解为:,所以，原方程的解为,可化为变量分离方程的方程(1),形式：,解法,（） 作变量变换,即 y=ux,（）对两边关于 x 求导,（）将上式代入原方程，得,求解即可,(2.4),( 为任意常数),例3 求解方程,解,令,( 为任意常数),令,得:,sinu = cx （c 为非零任意数）,另当 tanu = 0 时，u = 0,故 （2.4）的通解为 sinu= cx
7、（c 为任意常数）,代回原来的变量，原方程的通解为:,因为方程为,可化为变量分离方程的方程(2),形式：,(2.5),若上式可以转化为如下形式,令,则,原方程变为,可化为变量分离方程的方程(3),形式：,(2.5),若上式不可转化为如下形式,则,有唯一的解:,令,则方程 (2.5) 化为：,一阶线性微分方程的常数变异法,(2.2.1),的方程称为一阶线性微分方程(即关于 是线性的),其中,为 x 的已知函数。当,时，,称为齐次线性方程;,当,时，称为非齐次线性方程。,形如,(2.2.2),（1）齐次线性方程,例,(2.2.2),试求微分方程,这是一个可分离变量的方程,用分离变量法得到其通解为,
8、.(2.2.3),其中c为任意常数。,的通解,并求满足条件的 特解,（2）非齐次线性方程,采用常数变易法求解,设想方程,有形如(2.2.3)的解，但其中的常数c变易为x的待定函数,即设,.(2.2.4),(2.2.3),方程的解,再代入原方程求出C(x)即可.,例2,解,1) 先求对应的齐次方程通解,2) 用常数变易法求方程通解,设,是方程的解，代入原方程，得,得到,所以,所以原方程的解为,常系数齐次线性微分方程的求解,是上述常系数微分方程的特征方程。,由高等代数知识即知，复根总是成对出现的,为了简单起见，我们将单根作为重根，因此只就根是实数还是复数进行分类,在上述每个方程的解前面再乘一个可以自由变化的常数，它们的和即为原常系数方程的通解,解：第一步：写出特征方程,第二步：写出特征根所对应的解,每个重根对应一个解，依次为,第三步：写出通解：,例,求方程,的通解。,解,第一步：求特征根,第二步：求出特征根所对应的解,第三步：写出通解,例,求方程,的通解。,解,第一步：求特征根,第二步：求出基本解组,第三步：写出通解,二重根,常系数非齐次线性微分方程的解法,第一步：先找到非齐线性微分方程的任一个特解,第三步：得到原非齐次线性微分方程的通解,
