1、习题课一,第二章 极限与连续一、本章提要1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限， 无穷小量，无穷大量，等价无穷小， 在一点连续，连续函数，间断点， 第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）， 第二类间断点.,2.基本公式,（代表同一变量).,两种形式,注意能求的极限形式,3.基本方法* 利用函数的连续性求极限； 利用四则运算法则求极限； 利用两个重要极限求极限； 利用无穷小替换定理求极限；, 利用分子、分母消去共同的非零公因子 求 形式的极限；, 利用分子，分母同除以自变量的 最高次幂求 形式的极限；, 利用连续函数的函数符号与极限符号 可交换次序的特性求极限； 利用“无穷小与有界
2、函数之积 仍为无穷小量”求极限.,4.定理左右极限与极限的关系， 单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性, 极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系 初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质.,二、学法建议 1本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念，特别是求极限的方法，灵活多样因此要掌握这部分 知识，建议同学自己去总结经验体会，多做练习 2本章概念较多，且互相联系， 例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界;无穷大,极限，无穷小，连续等只有明确它们之间的联系， 才能对它们有深刻的理解，因此同学们要注意弄清它们之间的实质关
3、系 3要深刻理解在一点的连续概念，即极限值等于函数值才连续 千万不要求到极限存在就下连续的结论; 特别注意判断分段函数在分段点的连续性,三、例题精解例1 求下列极限:(1),(2),(3),(4),(5),例2 设,问当,为何值时，,是,的间断点? 是什么间断点?,四、主要解题方法求函数极限方法*1.利用极限存在的充分必要条件求极限例1 求下列函数的极限：,解,因为左极限不等于右极限，所以极限不存在,小结 对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处 的极限，要用左右极限来求，只有左右极限存在 且相等时极限才存在，否则，极限不存在,例如习题二 P31 2,2.利用极限运算法则求极限,例2 求下列函
4、数的极限：,(2),(3),(4),(1),小结,(1) 应用极限运算法则求极限时， 必须注意每项极限都存在 （对于除法，分母极限不为零） 才能适用,（2）求函数极限时，经常出现,等情况，都不能直接运用极限运算法则， 必须对原式进行恒等变换、化简， 然后再求极限。常使用的有以下几种方法,型，往往需要先通分，化简，再求极限，,对于无理分式，分子、分母有理化， 消去公因式，再求极限，,对分子、分母进行因式分解，再求极限，,对于当,时的,型，可将分子分母同时除以分母的最高次幂，然后再求极限,解 (1),=,=,(2) 当,时，分子、分母极限均为零，呈现,型，不能直接用商的极限法则， 可先分解因式，约
5、去使分子分母为零的公因子， 再用商的运算法则原式=,(3) 当,时，,的极限均不存在，式,呈现,型，不能直接用“差的极限等于极限的差” 的运算法则，可先进行通分化简， 再用商的运算法则即原式=,(4) 当,时，分子分母均无极限，呈现,形式需分子分母同时除以,将无穷大的,约去，再用法则求原式=,3.利用无穷小的性质求极限,例3 求下列函数的极限,（1）,（2）,解（1） 因为,而,，求该式的极限需用 无穷小与无穷大关系定理解决 因为,，所以当,时，,是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即,（2）不能直接运用极限运算法则，因为当,时分子，极限不存在，但,是有界函数，即,而,因此当,时，,为无穷小量
6、.根据有界函数与无穷小乘积 仍为无穷小定理，即得,小结 利用无穷小与无穷大的关系， 可求一类函数的极限 （分母极限为零，而分子极限存在的函数极限）；利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小定理 可得一类函数的极限 （有界量与无穷小之积的函数极限）,4.利用两个重要极限求函数的极限,例4 求下列函数的极限：,（1）,（2）,解（1）分子先用和差化积公式变形， 然后再用重要极限公式求极限,=,=,（2）,=,小结,型，满足,为无穷小量，指数为无穷大，两者恰好互倒数；,用两个重要极限公式求极限时， 往往用三角公式或代数公式进行恒等变形 或作变量代换， 使之成为重要极限的标准形式。,常用等价无穷小:,5.
7、 利用等价无穷小代换求极限,例5 求下列函数的极限,（1）,（2）,解 （1）,（2）,=,=,=,小结 利用等价无穷小可代换整个分子或分母， 也可代换分子或分母中的因式，但当分子或 分母为多项式时，一般不能代换其中一项。 否则会出错如上题, 即得一错误结果,6.利用函数的连续性求极限,例6 求下列函数的极限,（1）,解 (1) 因为,是初等函数，在,处有定义，所以,（2）,函数,看成由,复合而成，利用分子有理化,=,小结 利用“函数连续的极限值即为函数值”可求连续函数的极限。在一定条件下复合函数的极限，极限符号与函数符号可交换次序,可见 , 函数,在点,五、 函数连续性的定义*,定义:,在,
8、的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,在,在,六、 函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则下列情形,这样的点,之一函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为间断点 .,在,无定义 ;,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡 ,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间
9、断点 .,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如:,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,练习,1. 讨论函数,x = 2 是第二类无穷间断点 .,间断点的类型.,2. 设,时,提示:,为,连续函数.,答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,备用题 确定函数,间断点的类型.,解: 间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,2. 求,解:,原式 = 1,本次课结束 谢谢同学们,作业：教
10、材习题一,(补充）三、 极限,1. 极限定义的等价形式,(以 为例 ),(即 为无穷小),有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 极限存在准则及极限运算法则,3. 无穷小,无穷小的性质 ;,无穷小的比较 ;,常用等价无穷小:,4. 两个重要极限,6. 判断极限不存在的方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5. 求极限的基本方法,例6. 求下列极限：,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有,复习: 若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 确定常数 a , b , 使,解:,原式,故,于是,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
