1、2018/10/18,数学与计算科学学院,2 线性空间的定义 与简单性质,3 维数基与坐标,4 基变换与坐标变换,1 集合映射,5 线性子空间,7 子空间的直和,8 线性空间的同构,6 子空间的交与和,小结与习题,第六章 线性空间,2018/10/186.8 线性空间的同构,数学与计算科学学院,一、同构映射的定义,二、同构的有关结论,6.8 线性空间的同构,2018/10/186.8 线性空间的同构,数学与计算科学学院,我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定一组基后， V中每一个向量 有唯一确定的坐标 向量的 坐标是P上的n元数组，因此属于Pn. 这样一来，取定了V的一组基 对于V中每一个
2、 向量 ，令 在这组基下的坐标 与 对应，就 得到V到Pn的一个单射 反过来，对于 Pn 中的任一元素是V中唯一确定的元素， 并且 即 也是满射.因此， 是V到 Pn 的一一对应.,引 入,2018/10/186.8 线性空间的同构,数学与计算科学学院,这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上.,任取 设,则,归结为它们的坐标的运算.,这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以,从而,2018/10/186.8 线性空间的同构,数学与计算科学学院,一、同构映射的定义,设 都是数域P上的线性空间，如果映射,具有以下性质：,则称 的一个同构映射，并称线性空间,同构，记作,ii),iii),i) 为
3、双射,2018/10/186.8 线性空间的同构,数学与计算科学学院,为V的一组基，则前面V到Pn的一一对应,例1、V为数域P上的n维线性空间，,这里 为 在 基下的坐标，,就是一个V到Pn的同构映射，所以,2018/10/186.8 线性空间的同构,数学与计算科学学院,1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构.,二、同构的有关结论,同构映射，则有,1）,2、设 是数域P上的线性空间， 的,2）,2018/10/186.8 线性空间的同构,数学与计算科学学院,线性相关（线性无关）.,3）V中向量组 线性相关（线性无关）,的充要条件是它们的象,4）,5） 的逆映射 为 的同构映射.,是的 子空间
4、，且,6） 若W是V的子空间，则W在 下的象集,2018/10/186.8 线性空间的同构,数学与计算科学学院,中分别取 即得,证： 1）在同构映射定义的条件iii),2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果.,3）因为由,可得,反过来，由,可得,2018/10/186.8 线性空间的同构,数学与计算科学学院,而 是一一对应，只有,所以可得,因此， 线性相关（线性无关）,线性相关（线性无关）.,4）设 为V 中任意一组基.,由2）3）知， 为 的一组基.,所以,2018/10/186.8 线性空间的同构,数学与计算科学学院,任取,I为恒等变换.,5）首先 是11对应，并且,同理，有
5、,所以， 为 的同构映射.,由于 是同构映射，有,再由 是单射，有,2018/10/186.8 线性空间的同构,数学与计算科学学院,6）首先，,使,于是有,由于W为子空间，所以,从而有,2018/10/186.8 线性空间的同构,数学与计算科学学院,由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合,所以 是的 子空间.,显然， 也为W到 的同构映射，即,注,及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.,2018/10/186.8 线性空间的同构,数学与计算科学学院,证：设 为线性空间的同构,3、两个同构映射的乘积还是同构映射.,映射，则乘积 是 的11对应.,所以，乘积 是 的同构映射.,2018
6、/10/186.8 线性空间的同构,数学与计算科学学院,同构关系具有：,反身性：,对称性：,传递性：,注,2018/10/186.8 线性空间的同构,数学与计算科学学院,4、数域P上的两个有限维线性空间 同构,证：,若 由性质2之4）即得,（法一）若,由性质1 ，有,2018/10/186.8 线性空间的同构,数学与计算科学学院,设 分别为V1, V2的一组基.,定义 使,则 就是V1到V2的一个映射.,（法二：构造同构映射）,又任取 设,从而， 所以 是单射.,若 即 则,2018/10/186.8 线性空间的同构,数学与计算科学学院,任取 设,所以 是满射.,再由 的定义，有,易证，对 有
7、,所以 是V1到V2的一个同构映射，故,则有 使,2018/10/186.8 线性空间的同构,数学与计算科学学院,例2、把复数域看成实数域R上的线性空间，,证法一：证维数相等,证明：,首先， 可表成,其次，若 则,所以，1，i 为C的一组基，,又，,所以，,故，,2018/10/186.8 线性空间的同构,数学与计算科学学院,证法二：构造同构映射,则 为C到R2的一个同构映射.,作对应,作成实数域R上的线性空间.,把实数域R看成是自身上的线性空间.,例3、全体正实数R+ 关于加法与数量乘法 ：,证明： 并写出一个同构映射.,2018/10/186.8 线性空间的同构,数学与计算科学学院,证：作对应,易证 为 的11对应.,且对 有,所以， 为 的同构映射.,故,方法二：作对应,易证： 为 的11对应，而且也为同构映射.,事实上， 为 的逆同构映射.,2018/10/186.8 线性空间的同构,数学与计算科学学院,2）证明：复数域C看成R上的线性空间与W同构，,设集合,练习,1）证明：W为 的子空间，并求出W的维数,与一组基.,并写出一个同构映射.,
