1、简单线性回归,概述,多个变量之间关系研究： 例：某人群年龄、BMI与收缩压的关系；儿童身高、胸围与肺活量的关系；在此，介绍两个变量间线性的数量依存关系，即线性回归。,“回归”的由来,Regression 释义,大多数高个子父代的子一代在成年之后的身高平均来说不是更高，而是稍矮于其父代水平；大多数矮个子父代的子一代的平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。Galton将这种趋向于人群平均水平的现象称之为“回归”。,Regression 释义,Galton数据散点图（英寸）,直线回归的概念,回归 F.Galton和Karl Pearson发现儿子身高（Y，英寸）与父亲身高（X，英寸）存在线性关系：
2、,一. “回归”(regression)一词的由来,人们借用“回归”这个词来描述通过自变量(independent variable) 的数值预测反应变量（response variable)的平均水平。为了通过可测或易测变量对未知或难测或不可测量的状态进行估计，可以借助于回归分析（regression analysis)。例如：可以用身高体重活量估计心室输出量，体循环总血量。尿雌三醇含量估计胎儿的体重。,标准差相等 EQUAL STANDARD DEVIATION 对于任何X值，随机变量Y的标准差 Y|X相等,独立 INDEPENDENCE 每一观察值之间彼此独立,y|X = + x,直线回
3、归模型的四个假定,线性 LINEARITY 反应变量均数 与X间呈直线关系 Y|X= a + X,正态 NORMALITY 对于任何给定的 X, Y 服从正态分布，均数为 Y|X，标准差为 Y|X,直线回归的一般表达,直线回归的概念,a：常数，截距(intercept)当X取值为0时相应Y的均数估计； b：斜率(slope)，回归系数(cofficient of regession)当X变化一个单位时Y的平均改变的估计值。,直线回归方程的求法,最小二乘法(least square method)原理,最小二乘法原则 (least square method)：使各实际散点（Y）到直线（ ）的纵
4、向距离的平方和最小。即使 最小。,最小二乘 (Least squares)法图解,寻找使S(残差i)2 最小的直线,直线回归方程的求法,根据数学上的最小二乘法(least square method)原理，可导出a、b的算式如下:,因为直线一定经过 “均数”点,直线回归中的统计推断,回归系数的假设检验总体回归系数 的可信区间,回归系数的假设检验,直线回归中的统计推断,b0原因： 总体回归系数=0，由于抽样误差引起 b0 总体回归系数 0，存在回归关系 因此需作是否为零的假设检验。方法：方差分析t检验,X,方差分析方法 基本思想需要对应变量Y的 离均差平方和作分解。,应变量Y的平方和划分示意图：
5、,Y的离均差平方和的分解,统计量F 的计算公式为:分别称为回归均方与剩余均方。统计量F服从自由 度为 的F分布。求F值后，查F界值表，得P值，按所取检验水准作出推断结论。,直线回归中的统计推断,t检验方法,直线回归中的统计推断,Syx为y的剩余标准差- 扣除x对Y的线性影响后y对回归线的离散程度。,回归方程的评价,假设检验 Root MSE （剩余标准差） R-Square （决定系数） Adj R-Sq （校正决定系数）,R-Square：回归平方和在Y的总离均差平方和中所占比重R-Square=SS回归/SS总=1-SS剩余/SS总0R-Square 1当回归系数=0， 则R-Square
6、=0当所有的观测值正好落在拟和的回归线上时， 则R-Square=1R-Square越接近1，说明回归模型对资料的拟合优度越佳，故R-Square作为衡量模型优劣的测度。,使用R-Square评价模型时需注意:,较大的R-Square并不一定意味着拟合模型是有用的，可能是因为：只取得自变量很少几个水平的观察值，此时，尽管R-Square很大，甚至趋于1，但它不能作为衡量模型优劣的测度统计量；,Adj R-Sq :校正决定系数可见，校正决定系数是相对SS残与SS总的自由度进行的加权调整。,总体回归系数的可信区间的1-双侧可信区间为：,直线回归中的统计推断,Sb为回归系数的标准误,描述 预报 控制
7、,直线回归的应用,描述两变量的依存关系通过回归系数的假设检验，若认为两变量间存在着直线回归关系，则可用直线回归来描述两变量的依存关系。,直线回归方程的应用,利用回归方程进行预测(forecast)把预报因子(自变量X)代入回归方程对预报量(应变量Y)进行估计。,直线回归方程的应用,利用回归方程进行统计控制(statistical control)利用回归方程进行逆估计，如要求应变量Y在一定范围内波动，可以通过自变量X的取值来实现。,直线回归方程的应用,总体均数 的可信区间给定X=X0 时，总体均数 的可信区间其中,直线回归的应用,直线回归中的统计推断,个体 Y值的预测区间给定X=X0 时，对应的个体Y值也存在一个波动范围。其标准差SY0按如下公式计算：给定X=X0时个体Y值的1-预测区间为：,置信区间、预测区间、回归方程,回归分析注意的问题,有实际意义 数据须符合模型假设条件 须对回归系数进行假设检验 在X的取值范围内应用,例12-1,
