1、,暨南大学复变函数课件,Department of Mathematics,第二章 解析函数,第一节 解析函数的概念与C-R 条件,第二节 初等解析函数,第三节 初等多值函数,暨南大学复变函数课件,Department of Mathematics,第二章 解析函数,第一节、解析函数的概念与柯西黎曼条件,1、导数与微分、 2、解析函数极其简单性质 3、柯西-黎曼条件,1、导数与微分,导数的分析定义：,解析函数的概念与求导法则,注解1、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等； 注解2、一个函数在一个点可导，显然它在这个点连续； 注解2、解析性与可导
2、性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；,注解：,注解3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析； 注解4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析； 注解5、解析性区域；,注解：,四则运算法则,复合函数求导法则,反函数求导法则,利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同。,注解：,2、Cauchy-Riemann条件：,定理3.1的证明（必要性）：,定理3.1的证明（充分性）：,复变函数的解析条件,注解:,和数学分析中的结论不同，此定理表明解析函数(可导函数)的实部和虚部不是完全独立的，它们是柯西-黎曼方程的一组解； 柯西-黎曼条件是复变函数解析的必要条件而非充分条件（见反例）； 解析函数的导数有更简洁的形式：,反例：u(x,y)、v(x,y)如下：,例1 讨论下列函数的可导性和解析性：,例,本节结束,谢谢！,
