1、4.4 模糊控制算法,4.4.1 模糊数学基础知识 4.4.2 引言 4.4.3 精确量的Fuzzy化 4.4.4 模糊控制算法的设计 4.4.5 Fuzzy控制器查询表的建立 4.4.6 Fuzzy控制器实例,4.4.1 模糊数学基础知识,一、普通集合及其运算规则： 二、Fuzzy集合： 三、Fuzzy关系矩阵的运算：,1.基本概念： 论域：指在考虑一个具体问题时，先将议题局限在一定范围内，这个范围称为论域，常用U表示； 集合：指对于一个给定论域，其中具有某种相同属性的、确定的、可以彼此区别的元素的全体，常用A、B、C、X、Y、Z等表示。 元素：指论域中的每个对象，常用小写字母表示；,例如：
2、数域整数集合，实数集合和复数集合等。,一、普通集合及其运算规则：, 列举法（枚举法）：当集合的元素数目有限时，可将其中的元素一一列出，并用大括号括起，以表示集合。,例：论域为U = 1,2,3,4,5,6 ，则用列举法表示偶数集合A = 2,4,6 ，奇数集合B = 1,3,5 , 描述法（定义法）：当集合的元素数目无限时，可通过元素的定义来描述，即A=x|p(x),其中x为集合A的元素（xA)，p(x)是x应满足的条件，即给出关于x的定义域。,例：A = x 0 x 5 ,2.普通集合的表示法：,.特征函数法：,CA(a)称为集合A的特征函数，它只能取0，1两个值,特征函数图：,例1：论域U
3、 x|x 0的实数 ,与论域U对应的 一个集合可以表示为：,1. 描述法（定义法）A = x 25 x 50 ,2. 特征函数法,3.普通集合的基本运算：,“并”：AB = x xA 或 xB,“交”： A B = x xA 且 xB,“集合的直积”：由两个集合X、Y的各自元素 xX,yY作成的序偶（x,y)的集合，称为X与Y的直积，记做XY。X Y = （x , y) xX , y Y,“补”：,例：X=1,2,3 , Y=a,b，求X Y， Y X 。,则 X Y （x,y) xX,yY (1,a),(1,b), (2,a),(2,b), (3,a),(3,b) ,Y X （ y ,x)
4、xX,yY (a , 1), (a, 2) ,(a, 3), (b , 1), (b, 2) ,(b, 3) ,一般来说， X Y Y X,4.几个概念:,全集：指包含论域中的全部元素的集合，记做E; 空集：指不包含论域中任何元素的集合，记做 ; 子集：设A、B均为论域U的集合，若集合B包含所有A的元素，则集合B包含集合A，即集合A是集合B的子集。,二、Fuzzy集合：,1. Fuzzy集合的概念 2. 隶属函数、隶属度 3. Fuzzy集合的表示方法 4. Fuzzy集合的基本运算,1. Fuzzy集合的概念,普通集合：“非此即彼”的清晰概念,Fuzzy集合：边界不明确的集合。,例如:任何一
5、个元素是否属于这个集合无法界定，只能说么某个元素属于此集合的程度高或低，如1000属于此集合的程度比100属于它的程度高。,例如: A = x 1 x 虽然元素个数无限，但其范围确定，即凡是大于1的实数都属于集合A。,2. 隶属函数、隶属度,隶属函数：模糊集合论中，为描述客观事物的Fuzzy性，将普通集合论中的二值逻辑0,1，推广至可取0,1闭区间上任意值的连续值逻辑，即把特征函数作适当的拓广，就是隶属函数。记作：,定义：,2. 隶属函数、隶属度,隶属度:对于一个Fuzzy集合 ，某个具体元素x0属于它的程度即为该元素的隶属度，记作,为一个具体数值，该值越接近1，说明x0属于 的程度越高。,例
6、2：,模糊集合为： = 老年人 ,若某人年龄为55岁，则 根据上式计算可得,若年龄为60岁，,若年龄为70岁，,隶属函数的确定： Fuzzy统计法：,.选取一个论域U；例如年龄论域U0,100,. 在论域U中，选取不同的元素，并按上式计算其属于集合A*的隶属度。将隶属度不为0的那些元素和其对应 的隶属度一起构成论域U的Fuzzy子集 ，且根据单点可画出Fuzzy集合的隶属函数图。,例3： Fuzzy统计法确定Fuzzy集合“青年人”的隶属函数试验过程,1. 选择130人进行试验，要求被测试者恰当地用一个年龄区间表示青年人的年龄界限，由于各人对“青年人”的理解不同，从而得到不完全相同的年龄区间，
7、部分结果见表4-1,表4-1 抽样数据表（单位：岁）,2. 应用Fuzzy统计法，利用表4-1计算1534岁对“青年人” 这个Fuzzy集合的隶属度，结果如下:,表4-2 隶属度表,3. 用年龄作横坐标，用对应的隶属度作纵坐标，将表4-2所列数据标在坐标纸上，并用连续曲线连接起来，就可以得到Fuzzy集合“青年人”的隶属函数曲线，如下图所示。,3. Fuzzy集合的表示方法,隶属函数法：,用隶属函数的解析表达式，表示相应的Fuzzy集合。如年龄论域U0 , 100，对应该论域的Fuzzy集合“老年人”为：,式中 x代表50岁以上的某人年龄。,Zadeh表示法：,3. Fuzzy集合的表示方法,
8、“台”：在论域中， 的全部元素组成的集合，称为Fuzzy集合的“台”或“支集”。即当某个元素的隶属度为0时，它就不属于该Fuzzy集合的台。,若Fuzzy集合 的台有无限多个元素时，则 可表示为：,若Fuzzy集合 有一个有限的台x1, x2 , xn, 则 可表示为：,式中： 并不表示“分数”，而表示论域U中各元素与其隶属度之间的对应关系，称为“单点”；符号“+”：不表示“求和”，而表示Fuzzy集合在论域U上的整体。,3. Fuzzy集合的表示方法,向量表示法：,若Fuzzy集合 的台由有限个元素组成，即 x1, x2 , xn, 则 还可表示为向量形式：,注意：应用向量法表示Fuzzy集
9、合时，隶属度为0的项，在上式所示向量中必须以0代替，不可舍弃。,例4,已知论域U1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6,7 ,8 ,9, Fuzzy集合 “几个” ，用Zadeh表示法可以表示为：,则写成向量形式为：,0 0 0.3 0.7 1 1 0.7 0.3 0,4. Fuzzy集合的基本运算,定义：设 是论域U上的Fuzzy子集，规定 与 “并”运算（ ） ，“交”运算（ ） ，“补”运算( )的隶属函数分别为 , , ， , 则对U上的每一个元素x（ ）有，,其中符号 表示取大运算， 表示取小运算。,例5-1 设论域Ux1，x2，x3，x4，x5, 以及Fuzzy子集,解：,（Zadeh表
10、示法）,例5-2 设论域Ux1，x2，x3，x4，x5, 以及Fuzzy子集,试求 , , 。,(1 0.9 0.4 0.2 0)，,(0.9 0.8 1 0 0.1)，,解：,（向量表示法）,(1 0.9 1 0.2 0.1),(0.9 0.8 0.4 0 0),= (1-1 1-0.9 1-0.4 1-0.2 1-0) = (0 0.1 0.6 0.8 1)，,三、Fuzzy关系矩阵的运算：,1. Fuzzy关系 2. Fuzzy关系矩阵及其运算,Fuzzy关系,关系：描述客观事物之间联系的主要概念。,普通集合论中，使用关系R描述事物之间“有”或“无”的肯定关系。,R(3,2) ,(5,2
11、 ),(5,4) 是集合A和B之间的一种关系，即A的元素比B的元素大。,普通集合中，所谓关系R实际就是A B的一个子集，因此，两个集合之间存在多种关系。,有些事物之间的关系不能简单地用肯定或否定的词汇来表达，诸如此类的关系，则用Fuzzy关系来描述。,Fuzzy关系,Fuzzy关系：,Fuzzy集合 , ，其论域分别A、B，则 到 的Fuzzy关系是指以A B为论域的一个Fuzzy子集，记作 ，并且定义：,例：,则模糊集合 到 的模糊关系 为：,对应论域分别为A=(a1,a2,a3)， B(b1,b2,b3,b4),2. Fuzzy关系矩阵及其运算,是一种反映Fuzzy关系的矩阵，记作,其中：
12、 i=1 , 2 , n ； j = 1, 2 m；rij只在0，1内取值。,上例,Fuzzy关系矩阵, Fuzzy关系矩阵的运算,设模糊关系矩阵 和 ，则,.“补”运算： ，称为 的补矩阵。,注意：Fuzzy关系矩阵的积对应于Fuzzy关系的合成。,例：,1.“并”,2.“交”,3.“补”,一般情况下，,Fuzzy矩阵的合成于普通矩阵的乘法相似，且只有在 的列数与 的行数相同时才有意义。,4.4.2 引言,控制理论发展和应用数学有紧密联系，且目前更加广泛，但给人们的印象是控制理论不允许存在任何Fuzzy性。,事实上，有些复杂的被控对象的特性难以用已有规律描述，建立数学模型困难。这类对象在优秀
13、操作人员手动操作下可以正常运行，并达到一定预期效果。,人工控制是操作者通过对被控过程的一些现象的观察，并且根据自身经验和技术知识作出决策，从而实现对生产过程的控制。,这些策略可以通过人的自然语言，即Fuzzy条件语句来叙述 如：若炉温偏高，则减少燃料；若水塔水位偏低，则加大进水流量；若燃烧废气中氧含量偏高，则减少助燃风量等。,4.4.2 引言,它属于语言控制，由于自然语言具有Fuzzy性，故这种语言控制也称Fuzzy语言控制，简称Fuzzy控制。,Fuzzy控制：指根据人工控制经验总结出来若干条控制规则，由微机实现的控制。,其中：e、ec：分别为系统误差和误差变化率（精确量）；、 ：分别为反映
14、系统误差与误差变化率的语言变量的Fuzzy集合（Fuzzy量）；：为Fuzzy算法器输出的控制作用（Fuzzy量）；u：为Fuzzy控制器输出的控制作用（精确量）。,Fuzzy控制器,根据精确量转化来的Fuzzy输入信息，按照总结手动控制策略取得的语言控制规则进行Fuzzy处理，然后给出Fuzzy输出判决，将Fuzzy控制作用转化为精确量，作为控制量送到被控对象（或过程）。,Fuzzy控制过程和人工控制过程相对应： 操作者： 观察过程输出（精确量）Fuzzy量人脑思维和逻辑推理（模糊控制量）Fuzzy判决（精确控制量）,Fuzzy控制：仪表测量过程输出（精确量）Fuzzy量Fuzzy算法器（模
15、糊控制量）Fuzzy判决（精确控制量）,Fuzzy控制器的作用：,Fuzzy控制器结构的三方面的问题：,（1）精确量的Fuzzy化：把语言变量的语言值化为某适当论域上的Fuzzy子集,（2）Fuzzy控制算法的设计：通过一组Fuzzy条件语句构成Fuzzy控制规则，并计算Fuzzy控制规则决定的Fuzzy关系。,（3）输出信息的Fuzzy判决：完成由Fuzzy量到精确量的转化。,强调：所谓Fuzzy控制，只是在控制方法上应用了Fuzzy数学理论，但它所进行的控制是完全确定的工作，它不仅可以实现控制，还可模仿人类的思维方式。,4.4.3 精确量的Fuzzy化,一、Fuzzy控制器的语言变量及其值
16、的选取 二、量化因子和比例因子： 三、语言变量的赋值表： 四、一个精确量的Fuzzy化：,一、Fuzzy控制器的语言变量及其值的选取,是设计Fuzzy控制器的第一步。,即确定Fuzzy控制器的输入语言变量和输出语言变量。,输入语言变量：一般选择系统误差e及其变化率ec（PD）或选择系统误差e及其和e （PI） 。,输出语言变量：一般选择控制量u。,1. 确定Fuzzy控制器的语言变量：,2. 语言变量值的选取：,操作者习惯：对误差、误差变化率以及控制量的变化，经常采用“大、中、小”三个等级区分。,设计Fuzzy控制器：考虑变量的正、负性对误差、误差变化率以及控制量等语言变量，经常采用“正大(P
17、L)、正中(PM)、正小(PS)、零(0)、负小(NS)、负中(NM)、负大(NL)”这七个语言变量值来描述。,“正大、正较大、正偏中、正中、正较小、正小、零、负小、负较小、负中、负偏中、负较大、负大” 13个语言变量值。,二、量化因子和比例因子：,1. 量化因子：,误差:,设误差的基本论域为-e ,e(即误差的实际变化范围)，误差所取的Fuzzy集合的论域为X-n ,-n+1,0,n-1 ,n 其中：e表征误差大小的精确量n将0e范围内连续变化的误差量化后分成的档数，n一般取6或7。,由以上分析可知，一般需要通过量化因子进行论域变换。,一旦 ke 选定后，系统的任何误差 ei 总可以量化为论
18、域X上的某一个元素。,定义误差的量化因子:, 误差变化率:,设误差变化率的基本论域为-ec ,ec(即误差变化率的实际变化范围)，误差变化率所取的Fuzzy集合的论域为Y-n,-n+1,0,n-1,n,则定义误差变化率的量化因子:,一旦 kec 选定后，系统的任何误差 eci 总可以量化为论域Y上的某一个元素。,误差量化因子ke和误差变化率量化因子kec具有相同特性。,2. 比例因子：,对于系统控制量的变化u，定义比例因子：,其中：-u,u控制量变化的基本论域；n将0u范围内连续变化的控制量的量化档数，一般n=6或7。,由上式可知，比例因子ku与量化档数n之积就是实际加到被控过程上的控制量的变
19、化u。u = ku n,三、语言变量的赋值表：,然后可为语言变量分别建立语言变量赋值表，它是用来说明各语言值从属于各自论域程度的表格。,选定Fuzzy控制器的语言变量（如误差e，误差变化率ec和控制量变化u）;,选定Fuzzy控制器的语言变量所取的语言值（如PL，0，NL）;,确定语言变量（e,ec,u）量化后的论域以及语言变量在各自论域上的Fuzzy子集（如 ）,四、一个精确量的Fuzzy化：,具体步骤：,1. 根据精确量ei及量化因子ke ，由ni = ke ei求取精确量ei在基本论域e-,e上的量化等级；,该Fuzzy集合就代表精确量ei的Fuzzy化结果。,2. 查找语言变量赋值表，
20、找出在元素ni上与最大隶属度对应的语言值所决定的Fuzzy集合。,例：设某被控过程中偏差E的变化范围是-30,30( )， 量化档数n=6，ei =15，将此精确量Fuzzy化。,1. 根据精确量ei 确定 ni 则 ni = ke ei = 6/30 153,2. 查找语言变量E的赋值表（表3.3），找出与元素3对应的隶属度，分别为0.1，0.7，0.5，选取其中最大值0.7所对应的语言值PM的Fuzzy集合 为：,(Zadeh表示法),=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2 0.7 1 0.7 0.2(向量表示法),Fuzzy集合 即为精确量ei的Fuzzy化结果。,4.4.4 Fu
21、zzy控制算法的设计,一、常见Fuzzy控制规则 二、Fuzzy 条件语句及其Fuzzy控制规则表 三、 反映Fuzzy控制规则的Fuzzy关系,Fuzzy控制算法（Fuzzy控制规则）：实质是将操作者在控制过程中的实践经验（即手动控制策略）加以总结而得到的一条条Fuzzy条件语句的集合。,一、常见Fuzzy控制规则,1. 单输入单输出Fuzzy控制器：,控制器方框图为：,其中： 是属于论域X的、反映系统误差e变化的Fuzzy集合，它作为控制器输入；是属于论域Z的、反映控制量u变化的Fuzzy集合，它作为控制器输出。,则：控制器的控制规则通常由以下Fuzzy条件语句描述：if then例如：
22、if then,控制器方框图为：,2. 双输入单输出Fuzzy控制器：,其中： 是属于论域X的、反映系统误差e变化的Fuzzy集合，它作为控制器的一个输入；是属于论域Y的、反映系统误差变化率ec变化的 Fuzzy集合， 它作为控制器的另一个输入； 是属于论域Z的、反映控制量u变化的Fuzzy集合，它作为控制器输出。,则：控制器的控制规则通常由以下Fuzzy条件语句描述：if and then例如： if and then,控制器方框图为：,3. 双输入多输出Fuzzy控制器：,其中： 是属于论域X的、反映系统误差e变化的Fuzzy集合，它作为控制器的一个输入；是属于论域Y的、反映系统误差变化率
23、ec变化的 Fuzzy集合， 它作为控制器的另一个输入； 、 、 是属于论域Z的、反映不同控制通道输出控制量的Fuzzy集合，它是控制器多维输出。,则：控制器的控制规则通常由一组Fuzzy条件语句描述：if and thenor if and thenor if and then,3. 双输入多输出Fuzzy控制器：,二、Fuzzy 条件语句及其Fuzzy控制规则表,三、 反映Fuzzy控制规则的Fuzzy关系,每一条Fuzzy条件语句，当输入、输出语言变量在各自论域上反映各语言值的Fuzzy子集为已知时，都可以表达为论域的积集上的Fuzzy关系。,例如：教材中21条Fuzzy条件语句，则对应
24、21个Fuzzy关系，若第 i 条Fuzzy条件语句所对应的Fuzzy关系记作 则 , i =1 , 221,由于21条Fuzzy条件语句是“或”的关系，因此可得系统总控制规则所对应的总的Fuzzy关系 。,1. Fuzzy关系的求解：,2. Fuzzy算法器输出 的求解：,若Fuzzy算法器输入为 ，则其输出为,若Fuzzy算法器输入为 、 ，则其输出为,可见，Fuzzy算法器的输出是一个Fuzzy集合，需要通过Fuzzy判决确定输出的精确量（控制量）的值。,4.4.5 输出信息的Fuzzy判决,一、最大隶属度法 二、取中位数法 三、加权平均法,一、最大隶属度法,在输出Fuzzy集合中选取隶
25、属度最大的论域元素为判决结果，若多个论域元素同时出现隶属度最大值，则取它们的平均值作为判决结果。,例1：教材P62,例2：设已知论域-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5上的输出Fuzzy集合为：=0.7 0.3 0.3 0.2 0.7 0.7 0.7 0.2 0.2 0.3 0.3,则按最大隶属度法取得判决结果为：U（-5-1+0+1）/5 = -1,二、取中位数法,将输出Fuzzy集合的隶属函数曲线与横坐标围成的面积的均分点对应的论域元素作为判决结果。,此方法充分利用输出Fuzzy集合所包含的信息。,例：教材P63,三、加权平均法,其中： ui 论域中的每个元素（i = 1,
26、2,n)；论域中各元素对应的隶属度；u0 Fuzzy集合的判决结果。,由于u0是隶属函数曲线与横坐标u围成区域面积的重心坐标之一，因此该法也称重心法。,4.4.5 Fuzzy控制器查询表的建立,一、查询表建立过程：,即： ei 、 ecj 、 uij,则对论域X，Y中全部元素的所有组合计算得到对应的以论域Z的元素表示的控制量变化值，并写成相应的表格，即为Fuzzy控制器的查询表。,二、查询表的使用：,1. 按上述方法建立Fuzzy控制器的查询表，并将其存放到计算机中；2. 计算机直接根据以论域元素形式表示的ei 、 ecj 查找查询表的第i行，第j列，找到与ei 、 ecj对应的以论域元素形式
27、表示的uij ，即可控制被控过程。,4.4.6 Fuzzy控制器实例,还原炉中氢气流量的Fuzzy控制,分析题意：,被控对象：粉末冶金还原炉利用氢气还原金属氧化粉得到金属粉末。,被控变量：氢气流量（给定值15m3/h）,执行机构：阀门,控制规则： 1.若氢气流量高于给定值，则关小阀门，且差值越大，阀门关小越多，但不是线性的。 2.若氢气流量低于给定值，则开大阀门，且差值越大，阀门开大越多，但不是线性的。,若已知偏差e的变化范围为-10,10m3/h，量化档数为n3， 请设计Fuzzy控制器。 当ei-4m3/h时，求控制量 及其控制级别。,解：设计步骤：1.实现精确量ei的Fuzzy化,得到
28、；2.设计控制规则,得到总的Fuzzy关系 ;3.Fuzzy判决,误差的量化因子为: ，则当ei-4m3/h时，,根据ni查语言变量赋值表3.9，可得对应隶属度 分别为0，0，0.1，0.4，1.0，0.4，0.1，因此 选取隶属度最大的语言值NS所对应的模糊集合 为最后结果。即 0.1 0.4 1.0 0.4 1.0 0.4 0.1 0,1.Fuzzy化：,2.设计控制规则,控制规则： 1.若氢气流量高于给定值，则关小阀门，且差值越大，阀门关小越多，但不是线性的。 2.若氢气流量低于给定值，则开大阀门，且差值越大，阀门开大越多，但不是线性的。,得到一组Fuzzy条件语句，见教材P70。 而且
29、由这7个Fuzzy条件语句即可得到反映Fuzzy控制规则的Fuzzy关系,且,=(1.0 0.4 0.1 0 0 0 0 ),=(0 0 0 0 0 0 0.1 0.4 1.0),每一个Fuzzy条件语句对应一个模糊关系 ，例如第一条语句对应模糊关系为：,由这7个Fuzzy条件语句即可得到反映Fuzzy控制规则的总的Fuzzy关系,当 时，,根据： 可得,3.Fuzzy判决：,利用最大隶属度法进行Fuzzy判决，可得精确控制量。控制量取“-1”级（参见教材）则控制量,控制对象的传递函数为 ，设计单位阶跃输入下的数字控制器D(z)，构成一最少拍无波纹系统，并计算数字控制器的输出序列和系统的输出响应，绘制输出序列波形图。设采样周期T0.1s。 2. 控制对象的传递函数为 ，试用大林算法设计数字控制器D(z)，采样周期T1s，T0.5s，并验证是否存在振铃现象，若存在请消除。 3. 教材P72，第8题并求若ei4.5时，求 及阀门具体开度u？,第四章作业：,
