1、7 理想,7.1 定义及例子 7.2 理想的交与和 7.3 除环的理想 7.4 生成理想,7.1 定义及例子,在这一节里我们要讨论到一种特别重要的子 环，就是理想子环,简称为理想(Ideal). 理想在环论 里的地位同不变子群在群论里的地位类似。,定义 环R的一个非空子集I叫做一个理想子环， 简称理想，假如（） （） (强闭合性),注1：理想一定是一个子环. 由（），一个理想 是一个加群，由于（），对于乘法来说是闭的，所以一个理想一定是一个子环。但（）不仅要求 的两个元的乘积必须在里，而且进一步要求， 在一个任意元同R的一个任意元的乘积都必须在 里,所以称为强闭合性。,注2：可以定义左(右)理
2、想, p113, ex6.,注3：一个环R至少有以下两个理想： 1. 只包含零元的集合，这个理想叫做R的零理想； 2. R自己，这个理想叫做R的单位理想。 两个通称为平凡理想.,我们举两个例。,例 1 看整数环R。那么一个整数 ，n的所有 倍数 作成一个理想。,例 2 看一个环R一元多项式环 。那么所有多项式作成 的一个理想。,7.2 理想的交与和,命题1 设 是R的两个理想,那么(i) 仍然是理想(ii) 仍然是理想, 称为和.,注4： 一般不是理想. 是包含 的最小 理想.,7.3 除环的理想,定理 1 一个除环R只有两个理想，就是零理想和单位 理想。,证明 假定 是R的一个非零理想。那么
3、 ， 由理想的定义， ，因而R的任意元 这就是说， 证完。,注5：在一个有单位元1的环中, 如果理想 包含一个可逆元, 那么 是单位理想. 注6：定理1的逆命题不成立(p119, ex.4).,7.4 生成理想,给了一个环R，我们可以用以下方法做一些R的理想,称为生成理想.,一个元素生成的理想主理想,设 是R里一个元，利用 我们作一个集合 ， 包 含所有可以写成形式的元。那么,1 是R的一个理想。因为：两个这种形式的元相减显然还是一个这种形式的元；用R的一个元r从左边去乘 一个元也得到一个这种形式的元，就是用r从右边去乘的元 情形一样。2 显然是包含 的最小的理想。,定义2 上面 的叫做由元
4、生成的主理想。这个理想我们用符号 来表示。,以下用到最多的理想就是主理想。一个主理想 的元的形式并不是永远象上面那样复杂。1 当R是交换环时， 的元显然都可以写成的形式2 当R有单位元的时候， 的元都可以写成的形式，因为这时，,3 当R既是交换环又有单位元的时候， 的元的形 式特别简单，这时它们都可以写成因此, 这时 也可以写出aR。,例3. 例1里的理想就是由n生成的主理想 。,注7：如果R=2Z, (4)的元素形如:?,多个元素生成的理想,在环R里任意取出m个元 , 主理想的概念容易加以推广。,定义3 m个主理想的和, 叫做 生成的理想。这个理想我们 用符号 来表示。,注8： 是包含 的最小理想。,例4 在Z中, (a,b) 可以简化为主理想. 我们举一个例,例 5 在一些环中, (a,b) 不可以简化为主理想假定 是整数环R上的一元多项式环。我们看 的理想 。因为 是有单位元的交换环，由所有的元,作成：换一句话说，2刚刚包含所有多项式 （1） 我们证明， 不是一个主理想。假定 ，那么 ，因而但 这样， 。但 都不是（1）的形式，这是一个矛盾。,作业 P113: 1,5,
