1、电 磁 学,主要内容： 电荷、电流产生电场和磁场的规律； 电场和磁场的相互作用； 电磁场对电流、电荷的作用； 电磁场中物质的各种性质。,电磁学是研究电磁运动及其规律的科学，包括物质间电磁相互作用，以及电磁场的产生、变化和运动的规律，等等。,第九章 静电场静电场：相对于观察者静止的电荷产生的电场。本章学习主线：从三条实验定律（电荷守恒定律、库仑定律和电场叠加原理)出发，从电荷在静电场中受力和电场力对电荷作功两个方面，引入电场强度与电势这两个描述电场性质的基本物理量，并且讨论二者的关系。本章内容： 电场的基本定律：库仑定律、叠加定律、电荷守恒定律； 静电场的基本定理：高斯定理、环路定理； 描述静电
2、场的物理量：电场强度、电势； 静电场对电荷的作用。,91 电荷的量子化 电荷守恒定律 一、电荷 1物体带电公元前约585年，希腊学者泰勒斯观察到用布摩擦过的琥珀能吸引碎草等轻小物体。电荷这个词就来源于希腊文，原来的意义就是“琥珀”。物体能够产生电磁现象归因于物体所带的电荷以及电荷的运动。2理论解释原子理论,3电量定义：物体所带电荷的多少叫作电量。 单位：库仑（C） 二、电荷的量子化1907年，密立根从油滴实验中测出所有电子都具有相同的电荷，而且带电体的电荷是电子电荷的整数倍。电子电量 e带电体电量 q=ne e=1，2，.电荷的这种只能取离散的、不连续的量值的性质，叫作电荷的量子化。1986年
3、国际推荐值 e=1.602 177 33(49)10-19C计算中取近似值 e=1.60210-19C说明：随着科学的发展，“电子是电荷的最小单位”面临挑战。本章所涉及的带电体的电荷往往是基本电荷的许多倍，这时可以认为电荷是连续地分布在带电体上的。,三、电荷守恒定律内容：在孤立系统中，不管系统中的电荷如何迁移，系统的电荷的代数和保持不变。说明： 电荷守恒定律是自然界的四个基本守恒定律之一，无论在宏观领域，还是在微观领域都是成立的。 一个电荷的电量与它的运动状态无关，即系统所带电荷与参考系的选取无关。,92 库仑定律 一、点电荷为研究电磁场规律，为研究方便，我们也需要建立模型“点电荷”。条件：当
4、两个带电体本身的线度比它们之间的距离小很多。 二、库仑定律 1内容1785年，法国物理学家库仑利用扭秤实验直接测量了两个带电球体之间的作用力。库仑在实验的基础上，提出了两点电荷之间相互作用的规律，即库仑定律。其表述为：在真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力，其大小与点电荷电量的乘积成正比，与两点电荷之间距离的平方成反比，作用力在两点电荷之间的连线上，同号电荷互相排斥，异号电荷互相吸引。,假设两点电荷的电量分别为q1、q2，由电荷q1指向电荷q2的位置矢量为r12，则电荷q2受到电荷q1的作用力为式中： 为由电荷q1指向电荷q2的位置矢量的单位矢量。引入真空电容率 库仑定律又可表示为：,2说
5、明库仑力是真空中静止的点电荷间的作用力。从式子可见，当两电荷同号时，电荷间表现为排斥力；当两电荷异号时，即表现为吸引力。库仑力是两静止点电荷之间的一种相互作用力，它们当然遵守牛顿第三定律，服从力的矢量合成法则。如果空间中有n个点电荷q1、q2、q3qn， q2、q3qn作用在q1上的力分别为 ，则电荷q1受到的总库仑力为,例 1 在氢原子中，电子与质子之间的距离约为5.310-11m，求它们之间的库仑力与万有引力，并比较它们的大小。 解：氢原子核与电子可看作点电荷。电子质量m=9.110-31kg，质子质量M=1.6710-27kg，万有引力为两值比较：结论：库仑力比万有引力大得多，所以在原子
6、中，作用在电子上的力，主要是电场力，万有引力完全可以忽略不计。,93 电场强度 在物理学中，“场”是指物质的一种特殊形态。“场”是指某种物理量在空间的一种分布。场与实物 不同点：一种实物占据的空间，不能同时被其他实物所占据，而场是一种弥漫在空间的特殊物质，它遵从叠加性，一种场占据的空间能为其他场同时占有，互不发生影响。 相同点：他们都是客观实在，不依赖人们的意识而存在着，场与实物一样，也有质量、能量、动量和角动量，等等。 联系：实物之间的许多相互作用是通过各种场来传递的。一、静电场1历史上的两种观点 （1）沿袭牛顿力学“超距作用”电荷电荷 （2）法拉第场论观点场的概念：电荷电场电荷,2电场的概
7、念 凡是有电荷的地方，四周就存在着电场，即任何电荷都在自己的周围空间激发电场； 场也是物质。场与实物是物质存在的两种形式； 电荷之间的相互作用是通过电场来传递的，电场对电荷的作用力叫电场力。 3电场的物质性 给电场中的带电体施以力的作用 当带电体在电场中移动时，电场力作功电场具有能量 变化的电场以光速在空间传播电场具有动量。,二、电场强度1试验电荷 线度足够小，小到可以看成点电荷； 电量足够小，小到把它放入电场中后，原来的电场几乎没有变化。2电场强度在静止的电荷Q周围的静电场中，放入试验电荷，试验电荷q0受力F定义：对于电场中的任意一点来说，比值F/q0是一个大小和方向都与实验电荷无关的量，它
8、可以反映电场本身的性质，可以定义该量为电场强度：方向：当q0为正值时，电场强度的方向与F 的方向一致。当q0为负值时，电场强度的方向与F 的方向相反。 单位：N.C-1或V.m-1,4说明 当空间存在许多电荷时，定义式仍成立。只不过作用力应理解为试验电荷所受的合力。 由于电场力服从矢量的叠加原理，因此电场强度也服从矢量的叠加原理。 电场力与实验电荷的有无和大小有关，但电场强度是电场的属性，与试验电荷的存在与否和大小无关，并不因无试验电荷而不存在，只是由试验电荷反映。,三、点电荷电场强度在真空中，点电荷Q放在坐标原点，试验电荷放在r处，由库仑定律可知试验电荷受到的电场力为由电场强度的定义式可知这
9、就是点电荷场强公式。Q0 E与 同向Q0 E与 反向。 说明：（1）点电荷电场是非均匀电场；（2）点电荷电场具有球对称性。,例2 把一个点电荷（q=-6210-9C）放在电场中某点处，该电荷受到的电场力为F =3.210-6i+1.310-6j N. 求该电荷所在处的电场强度。解 由电场强度的定义式，可得电荷所在处的电场强度为E的大小为E的方向则可按如下方法求得。 F与x轴的夹角为E与x的夹角为E的方向与F的方向相反,四、电场强度叠加原理1真空中只有一个点电荷Q，它空间r处2由三个点电荷组成的点电荷系设真空中一点电荷系由Q1、Q2、Q3三个点电荷组成，在场点处放置一试验电荷，且Q1、Q2、Q3
10、 到点P的矢量为r1、r2、r3。若试验电荷受到Q1、Q2、Q3 的作用力分别为F1、F2、F3 ，根据力的叠加原理可得作用在试验电荷上的力F为由库仑定律可知和分别为按照电场强度定义式，可得点P处的电场强度,结论：三个点电荷在空间某一点所激发的电场强度等于各个点电荷单独存在时在该点的场强的矢量和 3由多个电电荷组成的点电荷系 推广：在点电荷系Q1、Q2、，Qn的电场中，在P点放一试验电荷q0，根据力的叠加原理，可知试验电荷受到的作用力为因而P点的电场强度为即 点电荷系电场中某点的场强等于各个点电荷单独存在时在该点的场强的矢量和。这就是电场强度的叠加原理。,4连续分布电荷激发的场强将带电区域分成
11、许多电荷元dq，则其中，对于电荷体分布，dq=dv对于电荷面分布，dq=ds， 对于电荷线分布，dq=dl，其中体密度 单位C/m3；密度 单位C/m2；线密度 单位C/m。,五电场强度的计算1离散型例1：、两处相距L，分别放置点电荷和，求在其中垂线上距离垂足L处的电场强度,例2电偶极子的场强先介绍几个概念： 两个电量相等、符合相反、相距为l的点电荷+q和-q，若场点到这两个电荷的距离比l大得多时，这两个点电荷系称为电偶极子。 从-q指向+q的矢量 称为电偶极子的轴。称为电偶极子的电偶极矩.1）电偶极子轴线延长线上一点的电场强度 如图所示，取电偶极子轴线的中点为坐标原点O，沿极轴的延长线为Ox
12、轴，轴上任意点距原点的距离为x，则正负电荷在点产生的场强为,由叠加原理可知点A的总场强为当x l时，即： 在电偶极子轴线延长线上任意点的电场强度的大小与电偶极子的电偶极矩大小成正比， 与电偶极子中心到该点的距离的三次方成反比； 电场强度的方向与电偶极矩的方向相同。,2）电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度取电偶极子轴线中点为坐标原点，因而中垂线上任意点的场强为,当y l 时，即：在电偶极子中垂线上任意点的电场强度的大小与电偶极子的电偶极矩大小成正比;与电偶极子中心到该点的距离的三次方成反比；电场强度的方向与电偶极矩的方向相反。,2连续型空间各点的电场强度完全取决于电荷在空间的分布情况。计算方法
13、是利用点电荷在其周围激发场强的表达式与场强叠加原理。计算的步骤如下： 任取电荷元dq，写出dq在待求点的场强的表达式； 选取适当的坐标系，将场强的表达式分解为标量表示式； 进行积分计算； 写出总的电场强度的矢量表达式，或求出电场强度的大小和方向； 在计算过程中，要根据对称性来简化计算过程。,例3试计算均匀带电圆环线上任一给定点P处的场强。该圆环半径为R，周长为L，圆环带电量为q，P点与环心距离x。 解：在环上任取线元dl，其上电量为 P点与dq距离r，dq与P点所产生场强大小为方向如图所示。把场强分解为平行与环心轴的分量dE/和垂直于环心轴的分量dE，则由于对称性可知，垂直分量互相抵消，因而总
14、的电场为平行分量分总和：为与x轴的夹角。积分上式，有,因为 cos=X/r当xR 时则环上电荷可看作全部集中在环心处的一个点电荷。,例4薄圆盘轴线上的场强。设有一半径为R、电荷均匀分布的薄圆盘，其电荷面密度为。求通过盘心、垂直与盘面的轴线上任一点的场强。 解：把圆盘分成许多半径为r、宽度为dr的圆环，其圆环的电量为dq=ds=2rdr 它在轴线x处的场强为如果x R,如果将两块无限大平板平行放置，板间距离远小于板面线度，当两板带等量异号电荷，面密度为时，两板内侧场强为：两板外侧场强为：这就是通常的平行板电容的电场分布。问题：两板如果带同号电荷，电场如何分布？ 无限大均匀带电平板的中间有一半径为
15、r的圆孔的情况。 可以用“补偿法”,例5、求均匀带电直线外任一点的场强解: 1)建立坐标系2)选取电荷元3)分量4)统一积分变量，分别积分,同理,讨论(1)在中垂线上,94 电场强度通量 高斯定理一电场线1电场线的概念定义：电场中描述电场强度大小和方向的曲线簇。规定： 曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向； 曲线的疏密表示该点场强的大小，即该点附近垂直于电场方向的单位面积所通过的电力线条数满足表示垂直于电场方向上的面积元， 表示通过面积元 的电力线条数。,2几种典型的电场线分布,3电场线密度定义：经过电场中任一点，想象地作一面积元dS，并使它与该点的场强垂直。由于dS非常小，可以认为该面积
16、元上的电场是均匀的，假设都为E，根据电场线的定义，若通过dS面的电场线条数为dN=EdS，得即，通过电场中某点垂直于其E的单位面积的电场线数等于电场强度E的大小。dN/dS 叫做该点的电场线密度若某点的场强较大，则dN 较大，电场线密度较大，因而电场线密度与场强成正比。这样就可用电场线密度表示电场强度的大小和方向。对于匀强电场，电场线密度处处相等，而且方向处处一致。,4静电场的电场线特点 电场线总是起始于正电荷（或来自于无穷远），终止于负电荷（或终止于无穷远），不是闭合曲线；不会在没有电荷的地方中断。 任何两条电场线都不能相交。这是因为电场中每一点处的电场强度只能有一个确定的方向。5关于电场线
17、的几点说明 电场线是人为画出的，在实际电场中并不存在； 在实际画电场线时，要求画出场强的方向，并要求电场线密度与电场强度成正比； 电场线可以形象地、直观地表现电场的总体情况，对分析电场很有用处。 电场线图形可以用实验演示出来。,二电场强度通量 1定义:通过电场中任一给定面积的电场线数目，叫做通过该面积的电场强度通量。 2. 匀强电场的电通量取面积矢量 ，大小为面积的大小，方向与平面的法线方向。这样一个面积标量S就与一个矢量、即面积矢量相对应 为单位法线矢量若平面 与 平行时，若平面 与 有夹角 时， 3非均匀电场的电通量 某一小面积元dS的电通量： 任意曲面的电通量：把S分成无限多个面积元dS
18、，通过曲面S的电通量为：,闭合曲面的电通量：取微元 ，则 对封闭曲面积分或写为 规定：封闭曲面的法线方向垂直于曲面向外。电场线从曲面内穿出的地方， ， ；电场线向曲面内穿入的地方， ， 。 说明：1）电通量是标量，只有正、负，为代数叠加。2）电通量正、负值:对闭合曲面规定自内向外的方向为面元的法线正方向。如果电场线从闭合曲面之内向外穿出，电通量为正；如果电场线从外部穿入闭合曲面，电通量为负。对不闭合曲面，电通量的正负根据所设的面元法线正方向而定；3）电通量的单位（SI）：韦伯（Wb）,例：如图所示，有一三棱柱放在电场强度为的匀强电场中。求通过此三棱柱的电场强度的通量。 解：三棱柱的闭合曲面有五
19、个面组成，通过各个面的电场强度通量为,三、高斯定理1内容:通过任一闭合曲面的电场强度的通量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以，与封闭曲面外的电荷无关。2推导1）通过一个与点电荷q同心的球面的电通量S取微元 ，该处 ， 的方向也是 ，因而 积分即通过同心球面的电场强度通量等于球面内电荷的电量除以真空电容率，与球面半径无关，只与它所包围的电荷的电量有关。 正电荷，电场线从点电荷出发，穿出球面 延伸到无穷远处；负电荷，电场线穿入球 面，终于q。穿过球面的电场线条数为,2）包围点电荷q的任意封闭曲面S点电荷的电场为 取小微元 ，则通过此小微元的电通量为对闭合曲面积分，得,3）通过不包围点电荷的任
20、意闭合曲面的电通量为零。若闭合曲面S不包围点电荷，由于电场线是连续的，穿入该曲面的电场线与穿出该曲面的电场线数目一定是相等的，所以，穿过S的电场线总数为零。4）多个点电荷，则连续分布的电荷,3关于高斯定理的说明 1）高斯定理是反映静电场性质（有源性）的一条基本定理。正电荷是发出电场线的源头，负电荷是电场线终止会聚的归宿，表明了静电场是有源场，这是静电场的基本性质之一。在没有电荷的区域内电场线不会中断； 2）高斯定理是在库仑定律的基础上得出的，但它的应用范围比库仑定律更为广泛。库仑定律只适用于静电场高斯定理适用于静电场、变化电场，是电磁理论的基本方程之一。 3）若高斯面内的电荷的电量为零，则通过
21、高斯面的电通量为零，但高斯面上各点的电场强度并不一定为零。 4）通过任意闭合曲面的电通量只决定于它所包围的电荷的代数和，即只有闭合曲面内的电荷对电通量有贡献，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。但高斯定理公式中的电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产生的，并非只有曲面内的电荷确定。 5）高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。,四、高斯定理应用,高斯定理反映了静电场是有源场这一基本性质。,高斯定理为建立电磁场理论提供了重要的理论基础。,高斯定理为计算场强提供了一种简便方法。,1、高斯定理的意义,2. 利用高斯定理求电场强度的步骤,3)计算高斯面内的电荷,由高斯定理求E,部分高斯面场强处处相等,
22、方向与曲面正交或是平行(目的是把“E”从积分号里拿出来),高斯面上场强处处相等，方向与曲面正交或平行。,2)对于有对称性的电场，选取合适的高斯面，计算电通量,1)根据电荷的分布分析电场的分布情况,合适：,例1 均匀带电球壳的场强。设有一半径为R、均匀带电为Q的薄球壳。求球壳内部和外部任意点的电场强度。 解：以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为根据高斯定理，通过球面的电通量为球面内包围的电荷当场点在球壳外时 q = Q 电场强度为 当场点在球壳内时 q = 0 电场强度为 E = 0 问题：均匀带电球体的场强分布呢？有一定厚度的球壳呢？,思考题： 电量Q均匀分布在半径为R1
23、和R2 之间的球壳内，则距球心为r （R1 r R2）处的电场强度为,一均匀带电球面，若球内电场强度处处为零，则球面上的带电量为ds的面元在球面内产生的电场强度 处处为零 b. 不一定为零 c. 一定不为零 d. 是常数,例 无限长均匀带电直线的场强。设有一无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷（即电荷线密度）为，求距离直线为r处的电场强度。解：选圆柱面为高斯面问题：带电直线的内部的场强呢？,例 无限长均匀带电平面的场强。设有一无限长均匀带电平板，单位面积上的电荷，即电荷面密度为，求距离平板为r处的电场强度。 解：作圆柱面为高斯面，此圆柱面穿过带电平面，且对带电平面是对称的。根据高斯定理有问题：
24、两个带等量异号电荷的无限大平行平面的电场。,思考题 下面列出的真空中静电场的场强公式，其中哪个是正确的？ .点电荷的电场： .“无限长”均匀带电直线（电荷线密度）的电场：.“无限大”均匀带电平面（电荷面密度）的电场:.半径为的均匀带电球面（电荷面密度）外的电场：,真空中有两块均匀带电的平行平板，相距为d，板面积为S，分别带电量+q和-q，若两板的线度远大于d，则两板之间的作用力大小为 A、 B、 C、 D、,、为两导体大平板，面积均为，平行放置，如图所示板带电 荷1，板带电荷2，则间电场强度的大小为 ,95 静电场的环路定理 电势能一静电场力作功的特点问题：在静电场中，试验电荷q0沿任意路径a
25、cb从点a移动到点b，计算电场力对试验电荷所作的功。采用微元法，对位移元，积分可得电场力所作的功为,1均匀电场 讨论试验电荷在均匀电场中移动的情况。设场强为，试验电荷q0沿任意路径从点a移动到点b，对位移元，电场力作功为积分可得电场力作功为可见：在匀强电场中，电场力对试验电荷所作的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与其所经历的路径无关。,2点电荷电场设一正点电荷q固定于O点，试验电荷q0 在q的电场中沿任意路径从点a移动到点b，对位移元，电场力作功为 点电荷的场强公式为积分可得电场力所作的功为结论：在点电荷的非匀强电场中，电场力对试验电荷所作的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与其所经历的
26、路径无关。,3点电荷系的电场任意带电体都可以看成由许多点电荷组成的点电荷系，根据叠加原理可知，点电荷系的场强为各点电荷场强的叠加。因而任意点电荷系的电场力所作的功为每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与路径无关。结论：在真空中，一试验电荷在静电场中移动时，静电场力对它所作的功，仅与电场本身分布、试验电荷的电量、起始与终了位置有关，而与试验电荷所经过的路径无关。因而静电场力也是保守力，静电场是保守场,二静电场的环路定理在静电场中，将试验电荷沿闭合路径移到一周电场力作的功由于且电场力作功与路径无关，所以又 定义：沿任意闭合路径的线积分叫的环流。静电场环路定理：在静电场中，电场强度的环流为零。结
27、论：静电场力是保守力，静电场是保守场，可以引入电势能的概念。,三、电势能1. 概念定义：电荷在电场的一定位置上，具有一定的能量，叫做电势能。静电场力对电荷所作的功等于电势能增量的负值。因而静电场力对电荷作正功时，电势能减少；静电场力对电荷作负功时，电势能增加。用和表示试验电荷在a和b的电势能，则试验电荷从a移动到b，静电场力作功即 如果选0 在点的电势能为零,则试验电荷在电场中某点的电势能，在数值上等于把它从该点移到零势能处电场力所做的功。,2. 势能零点的选择当场源电荷为有限带电体时，通常选取无限远处为电势能零点。试验电荷q0 在A点处具有的电势能为： 即试验电荷q在电场中某点处具有的电势能
28、值，等于将q0由该点移至无限远（或者电势能零点）处电场力所作的功。当场源电荷为无限带电体时，绝不能选取无限远处为电势能零点。3说明 电势能是属于系统的，为场源电荷和试验电荷所共有，它是试验电荷与电场之间的相互作用能。 电势能的量值只有相对意义，它与电势能零点的选择有关。 电势能的单位为焦耳（J）.,9 电势一电势1电势的基本概念由于电势能的大小，与试验电荷的电量q0 有关，因而电势能不能直接用来描述某一给定电场的性质。但是比值(Epa- Epb)/q0与q0无关，只决定于电场的性质及场点的位置，所以这个比值是反映电场本身性质的物理量，并且称之为电势定义：静电场中带电体所具有的电势能与该带电体的
29、电量的比值定义为电势。令q0为单位正电荷，则Va =Wpa可见，电场中某点的电势在数值上等于放在该点的单位正电荷的电势能，或者说电场中某点的电势在数值上等于把单位正电荷从该点移到势能为零的点时，电场力所作的功。,说明1）电势是标量，且一般是空间坐标的函数，即V=V(x,y,z)。有正有负，把单位正电荷从某点移到无穷远点时，若静电场力作正功，则该点的电势为正；若静电场力作负功，则该点的电势为负（在电场力的作用下，正电荷从电势高的地方移向电势低的地方，负电荷电势低的地方移向电势高的地方）；2）电势的单位：伏特 3）电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。电势零点的选择是任意的，视研究问题的方便而
30、定。,2电势差在静电场中，任意两点a和点b之间的电势之差，称为电势差，也叫电压。即：静电场中任意两点a、b之间的电势差，在数值上等于把单位正电荷从点a移到点b时，静电场力所作的功。引入电势差后，静电场力所作的功可以用电势差表示为,说明： 1）电势是标量，且一般是空间坐标的函数，即V=V(x,y,z)。有正有负，把单位正电荷从某点移到无穷远点时，若静电场力作正功，则该点的电势为正；若静电场力作负功，则该点的电势为负（在电场力作用下，正电荷从电势高的地方移向电势低的地方，负电荷电势低的地方移向电势高的地方）Va Vb ，W0，电场力对正电荷作正功；Va Vb ，W0，电场力对正电荷作负功；Va =
31、 Vb ，W=0，电场力对正电荷不作功。 2）电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。电势零点的选择是任意的，视研究问题的方便而定 3)电势和电场强度一样，是描述电场性质的物理量.电势与零电势的选择有关，但两点之间的电势差与零电势的选择无关.在实际问题中，往往遇到的都是两点之间的电势差问题。 4)电势能是描述电荷与电场相互作用能量,属于系统。电势只由电场决定.试验电荷为单位电荷时,两者量值相等但物理意义、单位各不相同 5）电势的单位：伏特,二、点电荷电场中的电势可见:正电荷的电势为正的，负电荷的电势为负的。三、电势的叠加原理1离散型点电荷系电场中的电势设电场由几个点电荷产生，由场强叠加原理可
32、知矢量和因而电势为 标量和即:点电荷系电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时在该点的电势的叠加（代数和）。这个结论叫做静电场的电势叠加原理。,2连续型连续分布电荷电场中的电势若场源为电荷连续分布的带电体，可以把它分成无穷多个电荷元，每个电荷元都可以看成点电荷，在场点产生的电势为而该点的电势为这些电荷元电势的叠加积分区域为带电体所在的区域。线分布 面分布 体分布,四、电势的计算1电势定义法（电场强度线积分法）利用公式 已知场强分布，对路径积分说明： 要注意参考点的选择，只有电荷分布在有限的空间时，才能选无穷远点的电势为零； 积分路径上的电场强度的函数形式要求已知或可求。 积分对路径进行，是一维
33、积分。,2叠加法利用公式 已知电荷分布，对电荷分布区域积分说明： 要求电荷的分布区域是已知的； 积分对电荷分布的区域进行，可能是一维、二维或三维； 当电荷分布在有限的区域内，并且是选择无穷远点作为电势的零点的；而当激发电场的电荷分布延伸到无穷远时，不宜把电势的零点选在无穷远点，否则将导致场中任一点的电势值为无限大。这时只能根据具体问题，在场中选择某点为电势的零点。,例1.如图,求P点电势 解:利用叠加原理,例2. 求圆盘轴上一点的电势 解：取微元,例3 均匀带电球体的电势,求:(1)球体外两点电势差；(2)球体内两点电势差;(3)球体外任意点电势(4)球体内任意点电势。,解:(1),（2）,（
34、3）,（4）,例4 “无限长”带电直导线的电势,解,令,能否选 ？,9-7 电场强度与电势梯度,一、等势面,（）相邻等势面之间的电势差都相等 （）疏密程度反映着电场的强弱 （）电荷沿等势面移动时电场力不作功 （）电场线与等势面处处正交,2、性质,1、定义:电场中电势相等的点构成的面(规定任意相邻两面之间电势差相等),按规定，电场中任意两相邻等势面之间的电势差相等，即等势面的疏密程度同样可以表示场强的大小,3几个典型的电场线与等势面,匀强电场,二 电场强度与电势梯度,设电场中有非常靠近的两等势面V 和V+dV（dV0）。P1 和P 分别为两等势面上的一点。从P1 作等势面V 的法线 ，规定其指向
35、电势增加方向，交等势面V+dV于P 点，场强 背离 方向。 从P1 向P引一位移矢量 令电场中某点的场强沿任意方向的投影 等于电势沿该方向的空间变化率（导 数）的负值。,显然当 时,沿 方向，与 方向相反， 有最大值，该点电场强度的大小为,综上所述，有,定义电势梯度矢量：,3. 说明 V 比计算方便，因此对于给定电荷分布的系统，我们可以先求出V ；然后再利用上式求出电场强度；(另两个方法:电场强度叠加原理和高斯定理) 取决于V 的空间变化率，与V 本身的值无关； 的另一单位（SI）：伏米-1 若 gradV=0, 则，但V 不一定为零。,1）电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？2） 的地方， 吗 ？3） 相等的地方， 一定相等吗？等势面上 一定相等吗 ？,讨论,例1 求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度.,解,
