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类型算法设计与分析第3章.ppt

  • 上传人:dzzj200808
  • 文档编号:3349090
  • 上传时间:2018-10-16
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    1、1,第3章 动态规划,2,学习要点: 理解动态规划算法的概念。 掌握动态规划算法的基本要素 (1)最优子结构性质 (2)重叠子问题性质 掌握设计动态规划算法的步骤。 (1)找出最优解的性质,并刻划其结构特征。 (2)递归地定义最优值。 (3)以自底向上的方式计算出最优值。 (4)根据计算最优值时得到的信息,构造最优解。,3,通过应用范例学习动态规划算法设计策略。 (1)矩阵连乘问题; (2)最长公共子序列; (3)最大子段和 (4)凸多边形最优三角剖分; (5)多边形游戏; (6)图像压缩; (7)电路布线; (8)流水作业调度; (9)背包问题; (10)最优二叉搜索树。,4,动态规划算法与

    2、分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,算法总体思想,5,但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时,有些子问题被重复计算了许多次。,算法总体思想,6,如果能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,就可以避免大量重复计算,从而得到多项式时间算法。,算法总体思想,T(n),7,动态规划基本步骤,找出最优解的性质,并刻划其结构特征。 递归地定义最优值。 以自底向上的方式计算出最优值。 根据计算最优值时得到的信息,构造最优解。,8,4.1 矩阵连乘问题,给定n个矩阵 , 其中 与 是可乘的, 。考察这n个矩阵的连

    3、乘积 由于矩阵乘法满足结合律,所以计算矩阵的连乘可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。 若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定,也就是说该连乘积已完全加括号,则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积,9,矩阵连乘问题,给定n个矩阵A1,A2,An,其中Ai与Ai+1是可乘的,i=1,2,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。,穷举法:列举出所有可能的计算次序,并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数,从中找出一种数乘次数最少的计算次序。,算法复杂度分析: 对于n个矩阵的连乘积,设其不同的计算次序为P(n

    4、)。 由于每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题:(A1.Ak)(Ak+1An)可以得到关于P(n)的递推式如下:,10,(1)单个矩阵是完全加括号的; (2)矩阵连乘积 是完全加括号的,则 可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积 和 的乘积并加括号,即,16000, 10500, 36000, 87500, 34500,完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为:设有四个矩阵 ,它们的维数分别是:总共有五中完全加括号的方式,完全加括号的矩阵连乘积,11,矩阵连乘问题,穷举法 动态规划,将矩阵连乘积 简记为Ai:j ,这里ij,考察计算Ai:j的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵 Ak和Ak+

    5、1之间将矩阵链断开,ikj,则其相应完全 加括号方式为,计算量:Ai:k的计算量加上Ak+1:j的计算量,再加上 Ai:k和Ak+1:j相乘的计算量,12,特征:计算Ai:j的最优次序所包含的计算矩阵子链 Ai:k和Ak+1:j的次序也是最优的。 矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法求解的显著特征。,分析最优解的结构,13,建立递归关系,设计算Ai:j,1ijn,所需要的最少数乘次数mi,j,则原问题的最优值为m1,n 当i=j时,Ai:j=Ai,因此,mi,i=0,i=1,2,n 当ij时,可以递归地定义

    6、mi,j为:,这里 的维数为,的位置只有 种可能,14,计算最优值,对于1ijn不同的有序对(i,j)对应于不同的子问题。因此,不同子问题的个数最多只有由此可见,在递归计算时,许多子问题被重复计算多次。这也是该问题可用动态规划算法求解的又一显著特征。 用动态规划算法解此问题,可依据其递归式以自底向上的方式进行计算。在计算过程中,保存已解决的子问题答案。每个子问题只计算一次,而在后面需要时只要简单查一下,从而避免大量的重复计算,最终得到多项式时间的算法,15,用动态规划法求最优解,void MatrixChain(int *p,int n,int *m,int *s) for (int i =

    7、1; i = n; i+) mii = 0;for (int r = 2; r = n; r+)for (int i = 1; i = n - r+1; i+) int j=i+r-1;mij = mi+1j+ pi-1*pi*pj;sij = i;for (int k = i+1; k j; k+) int t = mik + mk+1j + pi-1*pk*pj;if (t mij) mij = t; sij = k; ,算法复杂度分析: 算法matrixChain的主要计算量取决于算法中对r,i和k的3重循环。循环体内的计算量为O(1),而3重循环的总次数为O(n3)。因此算法的计算时间

    8、上界为O(n3)。算法所占用的空间显然为O(n2)。,16,动态规划算法的基本要素,一、最优子结构,矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。 在分析问题的最优子结构性质时,所用的方法具有普遍性:首先假设由问题的最优解导出的子问题的解不是最优的,然后再设法说明在这个假设下可构造出比原问题最优解更好的解,从而导致矛盾。 利用问题的最优子结构性质,以自底向上的方式递归地从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。最优子结构是问题能用动态规划算法求解的前提。,同一个问题可以有多种方式刻划它的最优子结构,有些表示方法的求解速度更快(空间占用小,问题的维度低),17

    9、,动态规划算法的基本要素,二、重叠子问题,递归算法求解问题时,每次产生的子问题并不总是新问题,有些子问题被反复计算多次。这种性质称为子问题的重叠性质。 动态规划算法,对每一个子问题只解一次,而后将其解保存在一个表格中,当再次需要解此子问题时,只是简单地用常数时间查看一下结果。 通常不同的子问题个数随问题的大小呈多项式增长。因此用动态规划算法只需要多项式时间,从而获得较高的解题效率。,18,动态规划算法的基本要素,三、备忘录方法,备忘录方法的控制结构与直接递归方法的控制结构相同,区别在于备忘录方法为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时查看,避免了相同子问题的重复求解。,int LookupCh

    10、ain(int i,int j) if (mij 0) return mij;if (i = j) return 0;int u = LookupChain(i,i) + LookupChain(i+1,j) + pi-1*pi*pj;sij = i;for (int k = i+1; k j; k+) int t = LookupChain(i,k) + LookupChain(k+1,j) + pi-1*pk*pj;if (t u) u = t; sij = k;mij = u;return u; ,19,最长公共子序列,若给定序列X=x1,x2,xm,则另一序列Z=z1,z2,zk,是X

    11、的子序列是指存在一个严格递增下标序列i1,i2,ik使得对于所有j=1,2,k有:zj=xij。例如,序列Z=B,C,D,B是序列X=A,B,C,B,D,A,B的子序列,相应的递增下标序列为2,3,5,7。 给定2个序列X和Y,当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时,称Z是序列X和Y的公共子序列。 给定2个序列X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn,找出X和Y的最长公共子序列。,20,最长公共子序列的结构,设序列X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn的最长公共子序列为Z=z1,z2,zk ,则 (1)若xm=yn,则zk=xm=yn,且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共子序列。

    12、 (2)若xmyn且zkxm,则Z是xm-1和Y的最长公共子序列。 (3)若xmyn且zkyn,则Z是X和yn-1的最长公共子序列。,由此可见,2个序列的最长公共子序列包含了这2个序列的前缀的最长公共子序列。因此,最长公共子序列问题具有最优子结构性质。,21,子问题的递归结构,由最长公共子序列问题的最优子结构性质建立子问题最优值的递归关系。用cij记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。其中, Xi=x1,x2,xi;Yj=y1,y2,yj。当i=0或j=0时,空序列是Xi和Yj的最长公共子序列。故此时Cij=0。其它情况下,由最优子结构性质可建立递归关系如下:,22,计算最优值,由于在所考

    13、虑的子问题空间中,总共有(mn)个不同的子问题,因此,用动态规划算法自底向上地计算最优值能提高算法的效率。,void LCSLength(int m,int n,char *x,char *y,int *c,int *b) int i,j;for (i = 1; i =cij-1) cij=ci-1j; bij=2;else cij=cij-1; bij=3; ,构造最长公共子序列 void LCS(int i,int j,char *x,int *b) if (i =0 | j=0) return;if (bij= 1) LCS(i-1,j-1,x,b); coutxi; else if (

    14、bij= 2) LCS(i-1,j,x,b);else LCS(i,j-1,x,b); ,23,算法的改进,在算法lcsLength和lcs中,可进一步将数组b省去。事实上,数组元素cij的值仅由ci-1j-1,ci-1j和cij-1这3个数组元素的值所确定。对于给定的数组元素cij,可以不借助于数组b而仅借助于c本身在O(1)时间内确定cij的值是由ci-1j-1,ci-1j和cij-1中哪一个值所确定的。 如果只需要计算最长公共子序列的长度,则算法的空间需求可大大减少。事实上,在计算cij时,只用到数组c的第i行和第i-1行。因此,用2行的数组空间就可以计算出最长公共子序列的长度。进一步的

    15、分析还可将空间需求减至O(min(m,n)。,24,3.4最大子段和,问题:给定n个整数(可能为负)组成的序列a1a2an,求形如 的字段和的最大值。 当所有整数为负时,最大子段和为0.因而最优值为:如序列(-2,11,-4,13,-5,-2)的最大子段和为20.,25,1.最大字段和问题的简单算法 Int MaxSum(int n,int *a,int 时间复杂度为O(n3) 因 第三个for循环可省去,减少一个for循环后的改进算法 Int MaxSum(int n,int *a,int 时间复杂度为O(n2),改进表现在充分利用已得到的结果。,26,2.最大子段和问题的分治算法,若将序列

    16、a1:n分为长度相等的两段 a1:n/2和an/2+1:n,分别求出最大子段和,则a1:n的最大字段和分三种情形: 1)a1:n的最大字段和与a1:n/2相等; 2) a1:n的最大字段和与an/2+1:n 相等; 3)a1:n的最大字段和为 且1=i=n/2, n/2 =j=n. 1)、2)两种情形可递归求得,对第三种情形,可以看出an/2和an/2+1在最优序列中。因而可在a1:n/2中计算出 ,在an/2+1:n中计算出 s1+s2即为出现情形3时的最优值。,Int MaxSubSum(int *a,int left,int right) sum=0;if (left=right) su

    17、m=aleft0?aleft:0;elseint center=(left+right)/2;int leftsum=MaxSubSum(a,left,center);int rightsum=MaxSubSum(a, center+1,right);int s1=0;int lefts=0;for (int i=center;i=left ; i-) lefts+=ai;if(leftss1) s1=lefts;int s2=0;int rights=0;for (int i=center+1;is2) s2= rights;if (sumleftsum) sum=leftsum;if (s

    18、umrightsum) sum=rightsum;return sum; 时间复杂度为T(n)=O(nlogn),调用参数为(a,1,n),27,3.最大子段和问题的动态规划算法,若记 ,10时,bj=bj-1+aj,否则bj=aj,因而可得bj的动态规划递归式:可令j从小到大,一次计算bj,记下和更大的,于是得到相应的算法。,动态规划算法 Int MaxSum(int n,int *) int sum=0;int b=0;for (int i=1;i0) b+=ai;else b=aj;if(bsum) sum=b;return sum; 时间复杂度为O(n) 。 可推广到二维情形:最大子矩

    19、阵和问题,28,3.5 凸多边形最优三角剖分,凸多边形:若多边形边界上或其内部任意两点连线所得的直线段上所有点都在多边形内部或边界上,则称为凸多边形。 凸多边形表示:用多边形顶点的逆时针序列表示凸多边形,即P=v0,v1,vn-1表示具有n条边的凸多边形。 若vi与vj是多边形上不相邻的2个顶点,则线段vivj称为多边形的一条弦。弦将多边形分割成2个多边形vi,vi+1,vj和vj,vj+1,vi。 多边形的三角剖分是将多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合T。在有n个顶点的凸多边形的三角剖分中,恰有n-3条弦和n-2个三角形。 最优三角剖分问题:给定凸多边形P,以及定义在由多边形的边和弦组成

    20、的三角形上的权函数w。要求确定该凸多边形的三角剖分,使得即该三角剖分中诸三角形上权之和为最小。 如取权函数w(vivjvk ) = |vivj|+|vjvk|+ |vkvi|,29,1.三角剖分的结构及其相关问题,凸多边形的三角剖分与表达式的完全加括号有紧密联系。它们的相关性可从它们对应的完全二叉树的同构性看出。 一个表达式的完全加括号方式相应于一棵完全二叉树,称为表达式的语法树。例如,完全加括号的矩阵连乘积(A1(A2A3)(A4(A5A6)所相应的语法树如图 (a)所示。 凸多边形v0,v1,vn-1的三角剖分也可以用语法树表示。例如,图 (b)中凸多边形的三角剖分可用图 (a)所示的语法

    21、树表示。,凸n+1多边形的三角剖分与n个矩阵的完全加括号乘积一一对应:矩阵连乘积中的每个矩阵Ai对应于凸(n+1)边形中的一条边vi-1vi。三角剖分中的一条弦vivj,ij,对应于矩阵连乘积Ai+1:j。,30,2.最优子结构性质,凸多边形的最优三角剖分问题有最优子结构性质。 事实上,若凸(n+1)边形P=v0,v1,vn-1的最优三角剖分T包含三角形v0vkvn,1kn-1,则T的权为3个部分权的和:三角形v0vkvn的权,子多边形v0,v1,vk和vk,vk+1,vn的权之和。可以断言,由T所确定的这2个子多边形的三角剖分也是最优的。因为若有v0,v1,vk或vk,vk+1,vn的更小权

    22、的三角剖分将导致T不是最优三角剖分的矛盾。,矩阵连乘积的最优计算次序问题是凸多边形最优三角剖分的特殊情形:对给定矩阵链A1A2 An,定义凸(n+1)边形P=(v0v1 vn) ,使得矩阵Ai与凸(n+1)边形中的一条边vi-1vi一一对应。若Ai 的维数为pi-1*pj,则定义三角形vivjvk权函数w(vivjvk)=pipjpk,依此权函数的定义,凸多边形P的最优三角剖分所对应的语法树给出矩阵链的最优完全加括号方式。,31,最优三角剖分的递归结构,定义tij,1ijn为凸子多边形vi-1,vi,vj的最优三角剖分所对应的权函数值,即其最优值。为方便起见,设退化的多边形vi-1,vi具有权

    23、值0。据此定义,要计算的凸(n+1)边形P的最优权值为t1n。 tij的值可以利用最优子结构性质递归地计算。当j-i1时,凸子多边形至少有3个顶点。由最优子结构性质,tij的值应为tik的值加上tk+1j的值,再加上三角形vi-1vkvj的权值,其中ikj-1。由于在计算时还不知道k的确切位置,而k的所有可能位置只有j-i个,因此可以在这j-i个位置中选出使tij值达到最小的位置。由此,tij可递归地定义为:,32,多边形游戏,多边形游戏是一个单人玩的游戏,开始时有一个由n个顶点构成的多边形。每个顶点被赋予一个整数值,每条边被赋予一个运算符“+”或“*”。所有边依次用整数从1到n编号。 游戏第

    24、1步,将一条边删除。 随后n-1步按以下方式操作: (1)选择一条边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2; (2)用一个新的顶点取代边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2。将由顶点V1和V2的整数值通过边E上的运算得到的结果赋予新顶点。 最后,所有边都被删除,游戏结束。游戏的得分就是所剩顶点上的整数值。 问题:对于给定的多边形,计算最高得分。,33,多边形游戏,例如:四边形设-7为1号顶点,4为2号顶点,2为3号顶点,5为4号顶点。按游戏规则,该四边形的游戏结果为:得分最高是33。首次被删去的边为1号边和2号边。,多边形的顶点和边的顺时针序列表示为:op1,v1, op2,v2, ,opn,v

    25、n 上图的多边形表示为:+,-7,+,4,*,2,*,5,34,最优子结构性质,在所给多边形中,从顶点i(1in)开始,长度为j(链中有j个顶点)的顺时针链p(i,j) 可表示为vi,opi+1,vi+j-1。 如果这条链的最后一次合并运算在opi+s处发生(1sj-1),则可在opi+s处将链分割为2个子链p(i,s)和p(i+s,j-s)。 设m1是对子链p(i,s)的任意一种合并方式得到的值,而a和b分别是在所有可能的合并中得到的最小值和最大值。m2是p(i+s,j-s)的任意一种合并方式得到的值,而c和d分别是在所有可能的合并中得到的最小值和最大值。依此定义有am1b,cm2d (1)

    26、当opi+s=+时,显然有a+cmb+d (2)当opi+s=*时,有minac,ad,bc,bdmmaxac,ad,bc,bd 换句话说,主链的最大值和最小值可由子链的最大值和最小值得到。,35,构造递归函数,由前面的分析可知,为了求链合并的最大值,必须同时求子链合并的最大值和最小值。因此,在整个计算过程中,应同时计算最大值和最小值。,36,构造递归函数,设mij0 是链p(i,j)合并的最小值,而mij1是最大值。若最优合并在 opi+s 处将p(i,j)分为2个长度小于j的子链 p(i,i+s)和 p(i+s,j-s),且从顶点i开始的长度小于j的子链的最大值和最小值均已计算出。为叙述方

    27、便,记a=mii+s0,b=mii+s1,c=i+sj-s0,d=i+sj-s1,37,构造递归函数,(1)当opi+s=+时,mij0=a+c mij1=b+d (2)当opi+s=*时,mij0=minac,ad,bc,bd mij1=maxac,ad,bc,bd综合(1)和(2),将 p(i,j)在opi+s处断开的最大值记为maxf(i,j,s),最小值记为minf(i,j,s),则minf(i,j,s)有两种可能:opi+s=+时,a+copi+s=* 时,minac,ad,bc,bdmaxf(i,j,s) 有两种可能:opi+s=+时, b+dopi+s=*时, maxac,ad,

    28、bc,bd,38,构造递归函数,由于最优断开位置s有1n时,顶点i+s实际编号为(i+s)mod n。按上述递推式计算出的min1即为游戏首次删去第i条边后得到的最大得分。,39,计算最优值及构造最优解,Void Min_Max (int n, int i,int s,int j,int ,40,计算最优值及构造最优解,Int Poly_Max(int n)/对每个顶点i,依链长递增顺序计算链长为j的最大值及最小值 int minf,maxf;for(int j=2;jminf) mij0=minf;If(mij1maxf) mij1=maxf;int temp=m1n1;for(int i=

    29、1;i=n;i+)if(tempmin1) temp=min1;return temp; ,41,图像压缩,图象的变位压缩存储格式将所给的象素点序列p1,p2,pn,0pi255分割成m个连续段S1,S2,Sm。第i个象素段Si中(1im),有li个象素,且该段中每个象素都只用bi位表示。设 则第i个象素段Si为设 ,则hibi8。因此需要用3位表示bi,如果限制1li255,则需要用8位表示li。因此,第i个象素段所需的存储空间为li*bi+11位。按此格式存储象素序列p1,p2,pn,需要 位的存储空间。图象压缩问题要求确定象素序列p1,p2,pn的最优分段,使得依此分段所需的存储空间最少

    30、。每个分段的长度不超过256位。,42,图像压缩,设li,bi,是p1,p2,pn的最优分段。显而易见,l1,b1是p1,pl1的最优分段,且li,bi,是pl1+1,pn的最优分段。即图象压缩问题满足最优子结构性质。 设si,1in,是象素序列p1,pn的最优分段所需的存储位数。由最优子结构性质易知:其中,算法设计思路: 起始时,长度为1的灰度值序列是最优的,当前面长度为i的序列已找到最优分段时,随后依次在前面的基础上加上1个灰度值,加入一个灰度值后,最优解必为前面一最优解基础上加上最后1个分段,而最后一个分段长度可为1i+1。因而只需计算si-j+j*bmax,然后取最小值即可。,43,程

    31、序,void Compress(int n, int p, int s, int l, int b) int Lmax = 256,header= 11; s0=0; for(int i=1; isi-j +j*bmax)si = si-j + j*bmax;li =j; si+=header; ,Int length(int i) int k=1;i=1/2;while(i0) k+;i=i/2;return k; ,算法复杂度分析: 由于算法compress中对j的循环次数不超这256,故对每一个确定的i,可在时间O(1)内完成的计算。因此整个算法所需的计算时间为O(n)。,44,电路布线

    32、,在一块电路板的上、下2端分别有n个接线柱。根据电路设计,要求用导线(i,(i)将上端接线柱与下端接线柱相连,如图所示。其中(i)是1,2,n的一个排列。导线(i,(i)称为该电路板上的第i条连线。对于任何1i(j)。 电路布线问题要确定将哪些连线安排在第一层上,使得该层上有尽可能多的连线。换句话说,该问题要求确定导线集Nets=(i,(i),1in的最大不相交子集。,45,记 。N(i,j)的最大不相交子集为MNS(i,j)。Size(i,j)=|MNS(i,j)|。 (1)当i=1时,(2)当i1时, 2.1 j(i)。此时, 。故在这种情况下,N(i,j)=N(i-1,j),从而Size

    33、(i,j)=Size(i-1,j)。 2.2 j(i),(i,(i)MNS(i,j) 。 则对任意(t,(t) MNS(i,j)有ti且(t)(i)。在这种情况下MNS(i,j)-(i,(i)是N(i-1,(i)-1)的最大不相交子集。 2.3 若 ,则对任意(t,(t) MNS(i,j)有ti。从而 。因此,Size(i,j)Size(i-1,j)。另一方面 ,故又有Size(i,j)Size(i-1,j),从而Size(i,j)=Size(i-1,j)。,电路布线,(1)当i=1时(2)当i1时,46,流水作业调度,n个作业1,2,n要在由2台机器M1和M2组成的流水线上完成加工。每个作业

    34、加工的顺序都是先在M1上加工,然后在M2上加工。M1和M2加工作业i所需的时间分别为ai和bi。 流水作业调度问题要求确定这n个作业的最优加工顺序,使得从第一个作业在机器M1上开始加工,到最后一个作业在机器M2上加工完成所需的时间最少。,分析: 直观上,一个最优调度应使机器M1没有空闲时间,且机器M2的空闲时间最少。在一般情况下,机器M2上会有机器空闲和作业积压2种情况。 设全部作业的集合为N=1,2,n。SN是N的作业子集。在一般情况下,机器M1开始加工S中作业时,机器M2还在加工其它作业,要等时间t后才可利用。将这种情况下完成S中作业所需的最短时间记为T(S,t)。流水作业调度问题的最优值

    35、为T(N,0)。,47,流水作业调度,设是所给n个流水作业的一个最优调度,它所需的加工时间为 a(1)+T。其中T是在机器M2的等待时间为b(1)时,安排作业(2),(n)所需的时间。 记S=N-(1),则有T=T(S,b(1)。,证明:事实上,由T的定义知TT(S,b(1)。若TT(S,b(1),设是作业集S在机器M2的等待时间为b(1)情况下的一个最优调度。则(1), (2), (n)是N的一个调度,且该调度所需的时间为a(1)+T(S,b(1)a(1)+T。这与是N的最优调度矛盾。故TT(S,b(1)。从而T=T(S,b(1)。这就证明了流水作业调度问题具有最优子结构的性质。,由流水作业

    36、调度问题的最优子结构性质可知,,48,Johnson不等式,对递归式的深入分析表明,算法可进一步得到简化。 设是作业集S在机器M2的等待时间为t时的任一最优调度。若(1)=i, (2)=j。则由动态规划递归式可得: T(S,t)=ai+T(S-i,bi+maxt-ai,0)=ai+aj+T(S-i,j,tij) 其中,,如果作业i和j满足minbi,ajminbj,ai,则称作业i和j满足Johnson不等式。,49,流水作业调度的Johnson法则,交换作业i和作业j的加工顺序,得到作业集S的另一调度,它所需的加工时间为T(S,t)=ai+aj+T(S-i,j,tji) 其中, 当作业i和j

    37、满足Johnson不等式时,有由此可见当作业i和作业j不满足Johnson不等式时,交换它们的加工顺序后,不增加加工时间。对于流水作业调度问题,必存在最优调度 ,使得作业(i)和(i+1)满足Johnson不等式。进一步还可以证明,调度满足Johnson法则当且仅当对任意ij有由此可知,所有满足Johnson法则的调度均为最优调度。,50,算法描述,流水作业调度问题的Johnson算法 (1)令 (2)将N1中作业依ai的非减序排序;将N2中作业依bi的非增序排序; (3)N1中作业接N2中作业构成满足Johnson法则的最优调度。,算法复杂度分析: 算法的主要计算时间花在对作业集的排序。因此

    38、,在最坏情况下算法所需的计算时间为O(nlogn)。所需的空间为O(n)。,51,作业调度程序,返回最优值T(N,0),int FlowShop(int n, int a, int b, int c) class Jobtype public:int operator bi ? bi : ai; di.job = ai = bi; di.index = i; sort(d, n) /非减排序 int j = 0, k = n-1; for (int i = 0; i n; i+) /生成N1及N2,由c记录其索引(作业序号) if ( di.job ) cj+ = di.index; else

    39、 ck- = di.index; ,/计算完成所有作业的时间j = ac0;k = j + bc0;for (int i = 1; i n; i+) j + =aci;k = j k ? k + bci : j + bci;delete d;return k; ,52,0-1背包问题,给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi,其价值为vi,背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大?,0-1背包问题描述:给定c 0, wi 0, vi 0 , 1in.要求找一n元向量(x1,x2,xn,), xi0,1, wi xic,且 vi xi达最大.即一个特殊的整数规

    40、划问题。,53,1.最优子结构(最优性原理),最优性原理:设(y1,y2,yn)是 (3.4.1)的一个最优解.则(y2,yn)是下面相应子问题的一个最优解:,证明:使用反证法.若不然,设(z2,z3,zn)是上述子问题的一个最优解,而(y2,y3,yn)不是它的最优解.显然有 vizi viyi (i=2,n) 且 w1y1+ wizi c 因此 v1y1+ vizi (i=2,n) viyi, (i=1,n) 说明(y1,z2, z3,zn)是(3-4-1)0-1背包问题的一个更优解,导出(y1,y2,yn)不是背包问题的最优解,矛盾.,54,2.递归关系,设所给0-1背包问题的子问题,的

    41、最优值为m(i,j),即m(i,j)是背包容量为j,可选择物品为i,i+1,n时0-1背包问题的最优值。由0-1背包问题的最优子结构性质,可以建立计算m(i,j)的递归式:,55,注:(3-4-3)式 此时背包容量为j,可选择物品为i。此时在对xi作出决策之后,问题 处于两种状态之一: 背包剩余容量是j,没产生任何效益; 剩余容量j-wi,效益值增长了vi . 从n推至i+1,i算出最优值m(i,j) ( i=n,1) 。 m(1,c)为最优值。 然后用回溯法Traceback找出最优解xi 其中i,c为整值。,3.算法复杂度分析: 从m(i,j)的递归式容易看出,算法Knapsack需要O(

    42、nc)计算时间; Traceback需O(n)计算时间 ;算法总体需要O(nc)计算时间。当背包容量c很大时,算法需要的计算时间较多。例如,当c2n时,算法需要(n2n)计算时间。,56,4.算法描述,template void Knapsack( Type v, int w, int c, int n, Type *m) int jMax = min(wn1, c) /背包剩余容量/for(int j = 0; jc/mnj=vn;for(int i=n-1; i1; i-) jMax=min(wi-1, c);for(int j=0; jc/ mij=max(mi+1j, mi+1j-wi

    43、+vi); /效益值增长vi / ,背包问题的动态规划算法Knapsack如下:,57,4.算法描述,m1c=m2c;if(c=w1)m1c=max(m1c, m2c-w1+v1); Template /求最优解xi / void Traceback(Type *m, int w, int c, int n, int x) for(int i=1; in; i+)if(mic=mi+1c) xi=0;else xi=1; c= c- wi; xn=(mnc)?1:0; ,说明:当wi为正整数时,用二维数组m来存储m(i,j)相应的最优值。,Knapsack算法的另一缺点是要求所给物品的重量wi

    44、(1 i n) 是整数,58,5改进算法 PP.71PP.72,为克服以上缺点,引入阶梯函数。利用序偶概念,改进算法的计算时间复杂性为O(2n )。而当所给物品的重量wi是整数时,其计算时间复杂性为 (略) 。,59,由m(i,j)的递归式容易证明,在一般情况下,对每一个确定的i(1in),函数m(i,j)是关于变量j的阶梯状单调不减函数。跳跃点是这一类函数的描述特征。在一般情况下,函数m(i,j)由其全部跳跃点惟一确定。如图所示。,对每一个确定的i(1in),用一个表pi存储函数m(i,j)的全部跳跃点。表pi可依计算m(i,j)的递归式递归地由表pi+1计算,初始时pn+1=(0,0)。,

    45、60,典型例子(一),n=3,c=6,w=4,3,2,v=5,2,1。,61,函数m(i,j)是由函数m(i+1,j)与函数m(i+1,j-wi)+vi作max运算得到的。因此,函数m(i,j)的全部跳跃点包含于函数m(i+1,j)的跳跃点集pi+1与函数m(i+1,j-wi)+vi的跳跃点集qi+1的并集中。易知,(s,t)qi+1当且仅当wisc且(s-wi,t-vi)pi+1。因此,容易由pi+1确定跳跃点集qi+1如下qi+1=pi+1(wi,vi)=(j+wi,m(i,j)+vi)|(j,m(i,j)pi+1 另一方面,设(a,b)和(c,d)是pi+1qi+1中的2个跳跃点,则当ca且db时,(c,d)受控于(a,b),从而(c,d)不是pi中的跳跃点。除受控跳跃点外,pi+1qi+1中的其他跳跃点均为pi中的跳跃点。 由此可见,在递归地由表pi+1计算表pi时,可先由pi+1计算出qi+1,然后合并表pi+1和表qi+1,并清除其中的受控跳跃点得到表pi。,

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