1、直线、曲面、曲线、二次曲面,编辑：孙学峰 制作：彭豪,习题课（4）,一、 内容总结,1.直线方程,对称式:,参数形式:,两点式:,一般形式：,三元一次方程组.,x=x0+mt,y=y0+nt ,z=z0+pt ;,2.曲面,基本曲面：球面，圆柱面，柱面，旋转曲面,空间曲面的一般方程：F(x,y,z)=0,F(x, y) = 0表示母线平行于z轴的柱面.,F(x, z) = 0表示母线平行于y轴的柱面.,F(y, z) = 0表示母线平行于x轴的柱面.,旋转曲面的方程可由母线C的方程(二元方程如F(x, y) = 0) 获得: 旋转轴对应的变量(如x)不变 ，剩下的那个(y)用除轴外 的两个变量
2、的平方和开平方根,3.曲线,x = x (t) y = y (t) z = z (t),一般方程,参数方程,4.二次曲面,研究方法是采用平面截割法.,用一些平行于坐标面的平面与曲面相截,然后加以综合, 进而了解曲面的全貌.,椭球面,双曲抛物面,椭圆抛物面,单叶双曲面, 双叶双曲面,二、 作业讲析,（练习册 P38 1.4）,六、求两直线L1： ；L2： 之间的距离和它们的公垂线L的方程。,在直线L1与L2上分别取点M1(0,11,4)和点M2(6,-7,0), 作M1M2=(6,-18,-4)，则所求距离为,设公垂线方程为,即x0+z0=1，y0=8.取z0=0，得x0=1.得直线方程为,公垂
3、线方程解法二： 点M(x,y,z)在公垂线上的充要条件为,S1,S, M1M=0及S2,S, M2M=0,整理得,x -y + z + 7 = 0 3x + y + 3z -11 = 0,例1： 求过点P(1, 2, -1)且过直线,的平面方程.,三、 典型例题讲析,解：已知直线过点A(2, 2, 1),方向向量S=(3,1,2),则点M(x,y,z)在所求平面上的充要条件为,S,PA,AM=0,例2.求过直线L1： 和L2： 的平面方程。,解：易知两直线相交（共面），方向向量分别是,则点M(x,y,z)在所求平面上的充要条件为,S1,S2, M1M2=0,例3： 求过点P(1,2,1)且与直
4、线,l2:,相交的直线 l 的方程.,解：,因l l1, 故有3m+2n+p=0 ,l1:,垂直,与直线,S=(m,n,p),l2过点A(0,0,0),方向向量为S=(2,1,-1),l与l2相交，故有,S,S2, AP=0，即m-n+p=0 ,联立 得,例4.求点P0(1, 2, 1)到直线,解：直线过点A(2,2,1),方向向量为S=(1,1,2)，所求距离为,例5.在直线方程 中，如何选取B的值才能 使直线平行于xy平面？D取何值才能使直线平行于yz平面？ B和D取何值才能使直线同时平行于平面3x-2y+2z=0和 x+2y-3z=0？,解：当B=-6时，直线平行于xy平面；当D=2时，
5、直线平行于yz平面；,要使直线同时平行已知两平面，B、D应满足： 3(2-D)-4+2(B+6)=0 1(2-D)+4-3(B+6)=0,例6.过点P(0,0,1)向xy平面上的椭圆引直线，这些直线的全体构成一曲面，求曲面方程。,解：设M(x,y,z)为曲面上的点，它与椭圆上点 M1(x1,y1,0)相对应，且PMPM1.,设PM= PM1，即x= x1，y= y1，z=- +1,将 代入,得曲面方程,例7. 将直线 绕 z 轴旋转一周,求所得旋转面的方程.,解：设M (x, y, z)为旋转曲面上任一点.,它是直线上一点M1(x1, y1, z1)绕z轴旋转而得到.,又 M1(x1, y1,
6、 z1)在直线上, 故有 x1= z1+1 = z+1， y1= 2z1+1 = 2z+1, 代入得旋转曲面方程：,例8.曲面z=3x2+y2与曲面4-z=x2+3y2相交于曲线C，将C投 影到各坐标面得三条投影曲线。求各投影曲线的方程。,解：将z=3x2+y2与4-z=x2+3y2联立消去z得x2+y2=1.它是 C到xy平面的投影柱面。它与z=0联立即是C到xy平面的 投影曲线。,同理，C到yz平面上的投影曲线为,2y2 + z 3 = 0,x = 0,C到zx平面上的投影曲线为,2x2 - z +1 = 0,y= 0,四、 练习题,y=3x +5,z =2x -3,3.求直线l1: 与l
7、2： 之间的距离。,2x+5y-6z+4=0,3y+2z+6=0,4.求过原点且过直线 的平面方程。,已给平面1: x-2y+3z+D=0，,2:-2x+4y+Cz+5=0,5.,（1）若12 ，求C、D。答案唯一吗？ （2）若1与2重合，求C、D。,6.已知点P(1,1,1)及xy平面上圆x2+y2=1，过圆上每一点与P作直线 得一曲面S，求S的方程。,7.求直线 绕x轴旋转所得旋转面的方程。,8.试选择m使 与 相交。,9.求空间曲线C 投影到xy平面所得投影曲线方程.,x=2y2+ z2,3-x=y2+2z2,10.一立体由x=0，y=1，x+2y=4，z=x，z=2围成，画出该立体。,练习题答案：,2.4.6x+21y-22z=0 5.平行：C=-6，D任意；重合：C=-6，D=-5/2 6.(x-z)2+(y-z)2=(1-z)2 7. y2+z2=8x2-12x+5 8. m=1 9. y2=x-1,x-3z+1=0,37x+20y-11z+122=0,
