1、1,分析求解电磁问题的基本出发点和强制条件,出发点,Maxwell方程组,条 件,本构关系,边界条件,2,分类分析求解电磁问题,静态电磁场,电磁波,按时间变化情况,第3章,第4、5、6、7、8章,3,第三章 静态电磁场及其边值问题的解,4,出发点,Maxwell方程组,条 件,本构关系,边界条件,静态电磁场问题,特点:电场和磁场独立,5,分类分析求解静态电磁场问题,静态电场,按场的类型,静态磁场,6,出发点,Maxwell方程组,条 件,本构关系,边界条件,静态电场问题,按电荷静止或运动情况分类,静电场,恒定电流场,静止 任意,匀速运动 有限,7,出发点,Maxwell方程组,条 件,本构关系
2、,边界条件,静态(恒定)磁场问题,8,本章内容安排3.1 静电场分析3.2 导电媒质中的恒定电场分析3.3 恒定磁场分析3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理3.5 镜像法3.6 分离变量法,9,静态电场问题,按电荷静止或运动情况分类,静电场,恒定电流场,静止 任意,匀速运动 有限,10,面对的问题? 分析方法? 典型应用? 关联的一般性物理问题?,11,3.1 静电场分析,学习内容3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数3.1.3 导体系统的电容与部分电容3.1.4 静电场的能量3.1.5 静电力,12,面对的问题: 存在什么源? 在何媒质环境中? 有何突变边界? 分析
3、方法? 典型应用? 关联的一般性物理问题?,13,2. 边界条件(一般性问题),微分形式:,本构关系:,1. 基本方程(一般性问题),积分形式:,或,3.1.1 静电场的基本方程和边界条件,3. 按媒质分类的两类问题(特殊性问题),理想介质:,存在导体:,14,导体内部的电场为零,或,理想介质情况,导体情况,界面两侧场矢量的方向关系,介质表面的自然边界条件,静电平衡,导体表面的边界条件,导体,介质,15,面对的问题! 分析求解方法: 已有方法及其适用范围? 利用静电场的特性,研究新方法及其优越性? 典型应用? 关联的一般性物理问题?,16,由,称为静电场的标量电位函数或简称电位。,1. 电位函
4、数的定义,3.1.2 电位函数,优越性:求矢量函数的问题转化为求标量函数的问题,17,求,2. 电场强度与电位函数的关系,已知,已知,求,如何求出电位函数?,18,在均匀介质区域中,有,3. 电位的微分方程,在无源区域,,电荷区,19,4. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题,点电荷源情况:,20,4. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题(续),任意电荷源情况:(元电荷产生电位的迭加),体分布电荷源,面分布电荷源,线分布电荷源,21,5. 利用电位求存在不同媒质空间中的问题,导体表面边界面,两理想介质分界面(无强加自由电荷),常数,,静电位的边界条件(任意静电场情况),实际问题中典型的静电
5、场情况,22,6. 由电位函数引出的经典物理量电压(电位差),电场力做的功,问题:选择不同的积分路径会改变电压的计算结果吗?,23,静电位不惟一,可以相差一个常数,即无确定值,选参考点,令参考点电位为零,电位确定值 (与零电位点的电压),选择电位参考点的原则应使电位表达式有意义。应使电位表达式最简单。同一个问题只能有一个参考点。,7. 电位参考点,解决办法:,24,例 3.1.1 求电偶极子的电位和电场强度.,解 在球坐标系中,用二项式展开,由于 ,得,代入上式,得,表示电偶极矩,方向由负电荷指向正电荷。,化简,25,将 和 代入上式,解得E线方程为,电力线的微分方程:,等位线方程:,求电场强
6、度,26,解 选定均匀电场空间中的一点O为坐标 原点,而任意点P 的位置矢量为r ,则,若选择点O为电位参考点,即 ,则,例3.1.2 求均匀电场的电位分布。,用拉普拉斯方程如何求解,27,解 建立一个最好的坐标系,如图,则,例3.1.3 求长度为2L、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。,选一个最利的电位参考点确定C,例如 则C=0,28,任选有限远处的某点为电位参考点,例如,= a 点,则有,求无限长直均匀线电荷产生的电位,最有利的零电位点选择?,29,例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和 x = a 处,在两板之间的 x = b 处有一面密度为 的均匀电荷分布,如图
7、所示。求两导体平板之间的电位和电场。,解,方程的解为,分析,用直接积分方法求解?,30,最后得,确定待定常数,利用边界条件,方法,31,两区的介质不同? 用高斯定理求解? 用Maxwell微分方程求解? 其它坐标系下的同类问题?,延伸应用思考:,32,面对的问题! 分析求解方法! 典型应用: 静电感应 静电屏蔽 关联的一般性物理问题?,33,电容器在实际问题中的作用:,3.1.3 导体系统的电容与部分电容,典型的有利作用: 储能、滤波、移相、隔直、旁路、选频等,典型的不利作用: 电容耦合系统和部件产生的电磁兼容问题,34,1. 电容,孤立导体的电容,两导体所组成电容器的电容,*多导体系统中导体
8、两两间形成部分电容,35,导体系统的结构、尺寸、形状和其周围的电介质 与导体的带电量和电位无关,决定电容量大小的因素,36,假定导体/两导体带电荷q /q 求导体/两导体间的电位/电压,方法一:,求解电容量的方法 (利用与导体的带电量和电位无关),方法二:,按定义求得电容,假定导体/两导体的电位/电压 求导体表面所带电量q,37,解:设内导体的电荷为q ,则由高斯定理可求得内外导体间的电场,同心导体间的电压,球形电容器的电容,当 时,,例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为b,其间填充介电常数为的均匀介质。求此球形电容器的电容。,38,例 3.1.5 如图所示的平行双线传
9、输线,导线半径为a ,两导线的轴线距离为D ,且D a ,求传输线单位长度的电容。,解 设两导线上的带电量分别为 和 。由于 ,故可近似地认为电荷在各导线表面均匀分布。因此导线间x处的电场强度为,两导线间的电位差,故单位长度的电容为,39,例3.1.6 同轴线内导体半径为a ,外导体半径为b ,内外导体间填充的介电常数为 的均匀介质,求同轴线单位长度的电容。,内外导体间的电位差,解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和 ,应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为,故得同轴线单位长度的电容为,40,面对的问题! 分析求解方法! 典型应用! 关联的一般性物理问题: 静电场的能量 电容
10、的储能,41,静电场能量的分布空间,静电场具有能量的实验证据,3.1.4 静电场的能量,42,1. 静电场的能量,通过电位计算,体分布电荷情况,面分布电荷,电容器的储能, 第i 个导体所带的电荷, 第i 个导体的电位,式中:,43,2. 电场能量密度,电场能量密度:,电场的总能量:,对于线性、各向同性介质,则有,通过电场分布计算,44,由于体积V外的电荷密度0,若将上式中的积分区域扩大到整个场空间,结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内,当闭合面S 无限扩大时,则有,故,推证:,45,例3.1.7 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电荷,试求静电场能量。,解: 方法一,利用 计算,
11、根据高斯定理求得电场强度,故,46,方法二:利用 计算,先求出电位分布,故,47,静态电场问题,按电荷静止或运动情况分类,静电场,恒定电流场,静止 任意,匀速运动 有限,48,面对的问题? 分析方法? 典型应用? 关联的一般性物理问题?,49,3.2 导电媒质中的恒定电场分析,3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件3.2.2 恒定电场与静电场的比拟3.2.3 漏电导,50,面对的问题: 存在什么源? 在何媒质环境中? 有何特殊现象? 边界有何物理量的突变? 分析方法? 典型应用? 关联的一般性物理问题?,51,什么情况下会产生恒定电流场的问题?导电媒质中存在电场的时候!,52,出发点,Max
12、well方程组,条 件,本构关系,边界条件,静态电场问题,53,2. 边界条件(一般性问题),微分形式:,本构关系:,1. 基本方程(一般性问题),积分形式:,或,3. 按媒质分类的两类问题(特殊性问题),导电媒质:,存在介质:,3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件,均匀导电媒质中存在净电荷?,54,导电媒质情况,存在介质情况,界面两侧场矢量的方向关系,分界上两侧的边界条件,界面上两侧场量的特殊性,导体,介质,面电荷?,导体是等位体?,有限,55,56,面对的问题! 分析方法: 哪些方法最适合? 典型应用? 关联的一般性物理问题?,57,什么情况下会产生恒定电流场的问题? 导电媒质中存在电
13、场的时候! 分析解决问题的关键是求电场强度 基于已知电荷的方法 基于电流(欧姆定律) 基于电位的方法,58,(1)利用欧姆定律(导电媒质的本构关系)表示了电场强度,基于电流求解分析恒定电场问题的方法,(2)用已知量(通常是激励电压)表示出未知量,59,电位函数满足Laplace方程,基于电位求解分析恒定电场问题的方法,电位的边界条件,60,例3.2.1 一个有两层介质的平行板电容器,其参数分别为1、1 和 2、2 ,外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。,解:极板是理想导体,为等位面,电流沿z 方向。,61,例3.2.2 如图示设内导体的电压为U0 ,外导体接地。求:(1)同轴线中各区域中的电
14、流密度和电场强度分布;(2)各分界面上的自由电荷面密度。,外导体,内导体,介质2,介质1,62,(1)设同轴电缆中的径向电流为I ,则由 可得电流密度,介质中的电场,解 电流由内导体流向外导体,在分界面上只有法向分量,所以电流密度成轴对称分布。,单位长度的径向电流,63,故两种介质中的电流密度和电场强度分别为,由于,于是得到,64,(2)由 可得,介质1内表面的电荷面密度为,介质2外表面的电荷面密度为,两种介质分界面上的电荷面密度为,65,面对的问题! 分析方法! 典型应用: 导体的电阻和电导 关联的一般性物理问题?,66,3.2.3 电阻和电导,67,(1) 假定两电极间的电流为I ;由 ,
15、求出两导 体间的电位差; (3) 由定义求电导:,计算电导的方法一:,计算电导的方法二:,(1) 假定两电极间的电位差为U;(2) 由 ,求出两导体 间电流;(3) 由定义求电导:,计算电导的方法三:,静电比拟法:,68,恒定电场与静电场的比拟,基本方程,静电场( 区域),本构关系,位函数,边界条件,恒定电场(电源外),69,例3.2.3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a 、b,长度为l ,其间媒质的电导率为、介电常数为。,解:直接用恒定电场的计算方法,电导,绝缘电阻,设由内导体流向外导体的电流为I 。,70,方程通解为,例3.2.4 在一块厚度为h 的导电板上, 由两个半径为r1
16、和 r2 的圆弧和夹角为 0 的两半径割出的一段环形导电媒质,如图所示。计算沿 方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为。,解: 设在沿 方向的两电极之间外加电压U0,则电流沿 方向流动,而且电流密度是随 变化的。但容易判定电位 只是变量 的函数,因此电位函数 满足一维拉普拉斯方程,代入边界条件,可以得到,71,电流密度,两电极之间的电流,故沿 方向的两电极之间的电阻为,所以,72,面对的问题! 分析方法! 典型应用! 关联的一般性物理问题: 功耗,73,导体媒质的功耗,功耗密度和功耗,为什么电阻R消耗的功率是,74,分类分析求解电磁问题,静态电磁场,电磁波,按时间变化情况,第3章,第4、
17、5、6、7、8章,75,分类分析求解静态电磁场问题,静态电场,按场的类型,静态磁场,静电场,恒定电场,76,一、静止电荷产生的场(静电场),导体( )内部的电场为零导体表面的切向电场为零 等势体导体内部的电荷为零电荷只能位于导体表面,密集于表面类锐部分应用:静电感应,静电屏蔽,避雷针, ,静态电场的典型现象和结论,77,二、运动电荷产生的直流电场(恒定电场),导体( )内部可存在电场导体表面的切向电场一般非零 非等势体导体内部可有运动电荷,但净电荷量为零净电荷只能位于导体表面理想导体( )内部电场为零,电流为零理想导体边界上的电场垂直于表面 等势体,典型静电场现象,78,进一步理解静电场和恒定
18、电场,思考题:,导体,U,求:1) ;2)储能或功耗?,导体,w,t,0,t,U,79,分类分析求解静态电磁场问题,静态电场,按场的类型,静态磁场,80,面对的问题? 分析方法? 典型应用? 关联的一般性物理问题?,静态磁场,81,3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 3.3.3 电感 3.3.4 恒定磁场的能量 3.3.5 磁场力,3.3 恒定磁场分析,82,面对的问题: 存在什么源? 在何媒质环境中? 突变边界上有何现象? 分析方法? 典型应用? 关联的一般性物理问题?,静态磁场,83,出发点,Maxwell方程组,条 件,本构关系,边界条件,
19、静态(恒定)磁场问题,84,2. 边界条件(一般性问题),微分形式:,本构关系:,1. 基本方程(一般性问题),积分形式:,3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件,或,85,面对的问题: 存在什么源? 在何媒质环境中? 突变边界上有何现象? 分析方法? 典型应用? 关联的一般性物理问题?,静态磁场,86,面对的问题! 分析求解方法: 已有方法及其适用范围? 利用静磁场的特性,研究新方法及其优越性? 典型应用? 关联的一般性物理问题?,静态磁场,87,称为矢量磁位或简称磁矢位。,1. 矢量磁位的定义,3.3.2 恒定磁场的矢量磁位,优越性:可以任意选择规定磁矢位的散度,在恒定磁场中通常规定 ,
20、并称为库仑规范。,如何求出电位函数?,88,2. 磁矢位的微分方程(一般性问题),在无源区:,89,3. 无限大均匀媒质空间中的问题 (特殊性问题),类比方法求解,90,3. 无限大均匀媒质空间中的问题(续),对于电流的不同分布形式:,体电流分布,面电流分布,线上的电流,91,4. 存在不同媒质空间中的问题(一般性问题),磁矢位的边界条件,92,面对的问题! 分析求解方法: 已有方法及其适用范围? 利用静电场的特性,研究新方法及其优越性? 典型应用? 关联的一般性物理问题?,静态磁场,93,面对的问题! 分析求解方法! 典型应用: 电感(自感、互感) 关联的一般性物理问题?,静态磁场,94,1
21、. 磁通与磁链,3.3.3 电感,C,回路,磁通,磁链,C,I,电流回路,特征:回路可以是任意几何回路,与所有电流回路铰链的总磁通,特征: 回路是电流回路 计入电流存在的所有回路 每个回路是计入与之铰链的全部磁通,I,95,n: 为磁场铰链的电流与回路电流I 之比 (不一定为整数),单匝线圈,多匝线圈,粗导线回路,磁链计算,o :外磁链; i :内磁链,96,称为导体回路 C 的自感系数,简称自感。, 外自感,2. 自感, 内自感;,粗导体回路的自感:L = Li + Lo,自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关,与电流和磁链的大小无关。,自感的特点:,特征:磁链是I自已产生的,97
22、,回路 C1 对回路 C2 的互感系数,简称互感。,3. 互感,同理,回路 C2 对回路 C1 的互感为,C1,C2,I1,I2,特征: 在C2中看由I1产生的磁链,特征: 在C1中看由I2产生的磁链,纽曼公式,C1 中总磁链:1总 =1+12,C2 中总磁链:2总 =2 +21,思考: 1总 =?; 2总 =?,98,4. 纽曼公式的证明,纽曼公式,所以:,同理:,而:,故:,99,面对的问题! 分析求解方法! 典型应用! 关联的一般性物理问题: 磁场能量 电感的储能,静态磁场,100,磁场能量的分布空间,磁场具有能量的实验证据,3.3.4 恒定磁场的能量,哪里有磁场,哪里就有磁场能量!,1
23、01,1. 通过磁场分布计算磁场能量,磁场能量密度:,磁场能量:,对于线性各向同性媒质,则有,102,体分布电流时,面分布电流时,回路线电流时,2. 通过磁矢位计算磁场能量,103,3. 通过电感计算磁场能量,电感储能(单个载流回路):,电感储能( N个载流回路):,例如对2个载流回路,104,面对的问题! 分析求解方法! 典型应用! 关联的一般性物理问题!,静态磁场!,105,解:先求长度为2L 的直线电流的磁矢位。电流元 到点 的距离 。则,例 3.3.2 求无限长线电流 I 的磁矢位,设电流沿+z 方向流动。,与计算无限长线电荷的电位一样,令 可得到无限长线电流的磁矢位,106,解:先求
24、内导体的内自感。设同轴线中的电流为I ,由安培环路定理,处面元的磁通为,例3.3.4 求同轴线单位长度的自感。,得,则其磁链为,107,因此内导体中总的内磁链为,故单位长度的内自感为,再求内、外导体间的外自感。,则,故单位长度的外自感为,单位长度的总自感为,108,例3.3.5 计算平行双线传输线单位长度的自感。(D a ),外磁链为,,解 应用安培环路定理和叠加原理 可得,,于是单位长度的外自感为,,109,两根导线单位长度的内自感为,故得到平行双线传输线单位长度的自感为,110,例3.3.8 试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。,解:由安培环路定理,得,111,三个区域单位长度内的
25、磁场能量分别为,112,单位长度内总的磁场能量为,单位长度的总自感,内导体的内自感,内外导体间的外自感,113,分类分析求解静态电磁场问题,静态电场,按场的类型,静态磁场,114,出发点,Maxwell方程组,条 件,本构关系,边界条件,直接针对场量计算的静态电磁场分析方法,115,电位函数满足Poisson方程,基于电位求解分析静态电场问题的方法,电位的边界条件,通过位函数间接计算静态电磁场的分析方法,116,磁矢位的边界条件,磁矢位函数满足Poisson方程,基于磁矢位求解分析静态磁场问题的方法,117,具有强对称性的问题,无限大的均匀媒质空间中的问题,已经学习掌握的分析能力,待求场量或位
26、函数具有单一坐标变量依赖的特征!,(一维问题),(包括高维问题),118,对于高维问题(多自变量)如何着手分析?求解边值问题! 边值问题的描述 边值问题的解法,119,3.4 静态场的边值问题,讨论内容3.4.1 边值问题的类型3.4.2 惟一性定理,边值问题:在给定的边界条件下,求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程,120,求解边值问题: 边值问题的描述 边值问题的解法,121,3.4.1 边值问题的类型,给定,第一类边值问题(或狄里赫利问题),给定,给定,第三类边值问题(或混合边值问题),第二类边值问题(或纽曼问题),V:求解域 S:V的包围面,122,自然边界条件 (无界空间),要求:掌握
27、用解边值问题的思想求解任意复杂问题的数学描述方法,123,例:,(第一类边值问题),(第三类边值问题),例:,124,求解边值问题: 边值问题的描述 边值问题的解法 镜象法 分离变量法 有限差分法 ,125,在求解域V内保持待求量的方程不变,同时,在V的包围边界面S上保持给定的 或 的边值不变,则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 内的解惟一。,3.4.2 惟一性定理,惟一性定理的重要意义,给出了边值问题具有惟一解的条件,为求解场问题的各种求解方法提供了理论依据,为求解结果的正确性提供了判据,惟一性定理的表述,V:求解域 S:V的包围面,126,3.5.1 镜像法的基本原理3.5.2 接地导体平面
28、的镜像3.5.3 导体球面的镜像3.5.4 导体圆柱面的镜像3.5.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像3.5.6 线电流与无限大磁介质平面的镜像,3.5 镜像法,127,1. 问题的提出,几个实例接地导体板附近有一个点电荷,如图所示。,q,q,非均匀感应面电荷,等效电荷,3.5.1 镜像法的基本原理,128,接地导体球附近有一个点电荷,如图。,接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似,但等效电荷为线电荷。,q,非均匀感应电荷,q,等效电荷,问题:这种等效电荷是否存在? 这种等效是否合理?,129,2. 镜像法的原理,方法: 在求解域外设置等效电荷,集中代表边界上分布电荷的作用,3. 镜像法的
29、理论基础,目的: 使复杂边值问题,化为无限大单一媒质空间的问题,解的惟一性定理,130,像电荷的个数、位置及其电量大小确定“三要素”,4. 镜像法应用的关键点,5. 确定镜像电荷的两条原则,明确等效求解的“有效场域”,镜像电荷的确定,像电荷必须位于求解域以外,像电荷的个数、位置及电荷量的大小的选择目标是保持问题的边界条件不变,131,1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像,满足原边值问题,所得的结果正确!,3.5.2 接地导体平面的镜像,镜像电荷,电位函数,因z = 0时,,有效区域,132,求接地平板导体上的感应电荷面密度和总电荷量,q,导体平面上的感应电荷密度为,导体平面上的总感应电荷为,
30、133,2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像,镜像线电荷:,电位函数:,边值 问题,当z = 0 时,,满足原边值问题, 所得的结果正确!,134,3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像,q对于平面1: 有镜像电荷q1=q,位于(d1, d2 ),q对于平面2: 有镜像电荷q2=q,位于( d1, d2 ),求得电位函数为:,q1对于平面2及q2对于平面1: 有镜像电荷q3=q,位于( -d1, d2 ),135,例3.5.1 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d,如果把它移至无穷远处,需要做多少功?,解:,136,3.5.3 导体球面的镜像,1. 点电荷对接地导体球面的镜像,方法:
31、?,问题:,边界条件!,137,像电荷的电量,常数,138,可见,导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。,求球面上的感应电荷密度和总电荷,导体球面上的总感应电荷为,球面上的感应电荷面密度为,139,点电荷对接地空心导体球壳的镜像,| q|q|与外半径 b 无关(为什么?),140,感应面密度为:,导体球内表面的总感应电荷为,求球壳内表面上的感应电荷密度和总电荷,等效电荷量总是等于感应电荷量?,等效电荷量总是等于感应电荷量? NO!,141,2 . 点电荷对不接地导体球的镜像,导体球不接地时的特点:,导体等势但不为零,球面上感应电荷总量为零,负电荷分布同接地球球分布? 正电荷均匀分布?
32、,感应电荷的面分布为:,142,用镜像法要求分析求解的问题,1. 平面(接地)导体 2. 球面(接地)导体(包括球内、球外) 3. 球面(不接地)导体(包括球内、球外)思考题: 求不接地无限大导体上点电荷的电位函数?,143,分析方法总结,已经学到的方法和可以解决的问题无限大单一媒质空间的问题(一维、二维、三维问题) 场-源直接积分法 积分方程方法(Maxwell方程的积分形式) 微分方程方法(Maxwell方程的微分形式、Poisson方程)2. 单一/非单一媒质空间的问题(一维问题) Gauss定律、安培环路定律(积分方程简化为代数方程) Poisson方程(偏微分方程简化为常微分方程)3
33、. 非单一媒质空间的高维问题 镜像法,144,3.6 分离变量法,3.6.1 分离变量法解题的基本原理3.6.2 直角坐标系中的分离变量法3.6.3 圆柱坐标系中的分离变量法3.6.4 球坐标系中的分离变量法,145,将未知函数对其多自变量(高维问题)的依赖关系,化为对各自变量单独依赖的关系(变量可分离),从而实现将高维问题转化为一维问题求解,分离变量法是求解边值问题的一种一般性方法,分离变量法的理论依据是惟一性定理,分离变量法解题的基本思路:,3.6.1 分离变量法解题的基本原理,146,在直角坐标系中,若位函数与z 无关,则拉普拉斯方程为,3.6.2 直角坐标系中的分离变量法,将 (x,
34、y) 表示为两个一维函数 X( x )和Y( y )的乘积,即,将其代入拉普拉斯方程,得,再除以 X( x ) Y( y ) ,有,147,若取k2 ,则有,当,当,148,将所有可能的 (x, y)线性叠加起来,则得到位函数的通解,即,若取k2 ,同理可得到,通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。,149,例3.6.1 无限长的矩形金属导体槽上有一盖板,盖板与金属槽绝缘,盖板电位为U0,金属槽接地,横截面如图所示,试计算此导体槽内的电位分布。,解:位函数满足的方程和边界条件为,因 (0 , y)0、 (a , y)0,故位函数的通解应取为,150,确定待定系数,151,将U0 在(0, a)上按 展开为傅里叶级数,即,其中,152,由,故得到,