1、第五讲 时间序列模型,本章着重于时间序列的建模问题，也就是运用时间序列的过去值、当期值及滞后残差建立模型，来“解释”时间序列的变化规律。对时间序列建模通常会存在扰动项相关问题和动态数据非平稳性问题，本讲将讨论相应的解决方法。,本章主要内容： 扰动项序列相关的建模：自回归模型（AR模型） 平稳时间序列建型：自回归移动平均模型（ARMA模型) 非平稳时间序列建模：单位根检验、协整分析、误差修正模型（ECM),一、扰动项序列相关性的检验和建模,1、序列相关理论 第四章在讨论古典线性回归建模时，假设扰动项序列ut 是独立、无相关的。对时间序列模型来说，无序列相关的基本假设即为 ：在假设成立的条件下，使
2、用OLS所得到的估计量是线性无偏最优的。,如果扰动项序列ut表现为：扰动项之间不再是完全相互独立的，而是存在某种相关性。 若扰动项ut序列存在相关，则回归方程的估计结果不再优良，OLS估计量不再有效，计算的标准差不正确，回归检验不可信。因此必须采用其他的方法，解决扰动项不满足回归假设所带来的模型估计问题。,（1）残差图对残差作散点图，若残差围绕y=0参考线上下随机摆动，说明无序列相关。,2、序列相关的检验方法,（2） 相关系数和Q统计量检验 希望自相关系数和偏相关系数都比较小,自相关系数：时间序列ut滞后k阶的自相关系数由下式估计：自相关系数表示扰动项序列ut与邻近数据utk之间的相关程度。
3、偏自相关系数：偏自相关系数是指在给定ut-1，ut-2，ut-k-1的条件下，ut与ut-k之间的条件相关性。,Q统计量检验 构造Q统计量进行检验：其中：rj是扰动项序列的j阶自相关系数，T是样本容量，P是滞后阶数。,（3）DW统计量检验 Durbin-Watson 统计量（简称DW统计量）（只能）用于检验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差的线性联系。对于残差ut建立一阶自回归方程： DW统计量检验的原假设： = 0，备选假设是 0。,DW检验适于一阶序列相关性检验，其取值范围（0，4）， DW越接近2，序列相关程度越小；越接近0（或4），序列正（或负）相关程度越大，见下图。其中DL 、D
4、U根据样本数n、变量个数k查表得出。,一阶正自相关 无法判断 无一阶自相关性 无法判断 一阶负自相关,DW检验的缺点:（1）只适于一阶序列相关性的检验；（2）如果回归方程右边存在滞后因变量，DW检验不再有效。,（4） LM检验,与DW统计量仅检验残差是否存在一阶自相关不同，LM检验（Lagrange multiplier，即拉格朗日乘数检验）可用于检验残差序列是否存在高阶自相关。 LM检验假设为：原假设：直到p阶滞后不存在序列相关，p为预先定义好的整数；备选假设：存在p阶自相关。 检验步骤为：,第一步,估计回归方程，并求出残差ut第二步,建立残差对原始回归因子Xt 和1p阶滞后残差的回归方程构
5、建检验残差回归方程显著性的F统计量和TR2统计量。 第三步,根据统计量进行残差序列相关性推断，若:统计量0.05,说明不存在序列相关;统计量临界值，即Probability0.05,说明存在序列相关,3、残差序列相关性检验在Eviews中的实现例1，在Eviews安装路径下的“cs.wf1”数据中，列示了1947年第1季度1995年第1季度美国消费CS 和GDP数据（已消除了季节要素的影响），要求建立消费CS 和GDP及前一期消费CS(1）之间的线性回归方程，并检验残差序列的相关性。在主窗口选择：Quick/Equation Estimation/在Specification框中输入“CS C
6、 CS(-1) GDP”应用最小二乘法建立回归方程：t = (1.93) (41.24) (3.23)R2=0.999 D.W.=1.605,从DW值看，残差序列相关现象不明显，但由于回归方程右边存在滞后因变量，DW检验不再有效，因此采用其他方法进行检验。相关系数统计量检验。在方程工具栏中选择：View/Residual Tests/correlogram Q statistics结果阅读：EViews将显示残差的自相关和偏自相关数值以及对应于高阶序列相关的Q统计量。如果残差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关值都接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的P值。,LM检验。在方程窗口
7、工具栏选择：View/Residual Tests/Serial correlation LM Test/在滞后定义对话框，输入要检验序列的最高阶数5结果表明，残差序列明显的序列相关，具体地说，在0.1的显著性水平上，残差序列存在1、2、3阶自相关。,4、 残差存在序列相关的回归方程的修正,线性回归模型残差序列相关的存在，会导致模型估计结果的失真。因此，必须对残差序列的结构给予正确的描述，以期消除序列相关对模型估计结果带来的不利影响。通常可以用自回归模型AR(p)来描述一个平稳序列的自相关结构，定义如下：,其中：ut 是第一个回归方程的残差，参数 0，1， 2，k 是回归模型的系数。第二个式子
8、是残差ut的 p 阶自回归模型，参数 1，2，p 是 p 阶自回归模型的系数，t 是残差ut自回归模型的误差项，并且是均值为0，方差为常数的白噪声序列。下面将讨论如何利用AR(p) 模型修正残差的序列相关，以及用什么方法来估计消除残差序列相关后的方程参数。,（1）一阶序列相关 为了便于理解，先讨论一元线性回归模型，并且残差ut具有一阶序列相关的情形，即一阶自回归AR(1)模型：,将两式合并得到：在估计上述模型参数时，Eviews将上述线性模型变换为下列非线性模型采用迭代法进行估计：,（2）高阶序列相关 对于残差序列存在p阶序列相关，采取与一阶序列相类似的方法，用Gauss-Newton迭代法求
9、得非线性回归方程的参数。,（3）在Eviews中的实现：例2、在例1的基础上建立AR模型。前面检验到残差序列存在1、2、3阶序列相关。这里将采用3阶AR模型来修正方程残差的自相关性。在工作文件窗口选择： Quick/Equation Estimation/在Specification框中输入“cs c gdp cs(-1) ar(1) ar(2) ar(3)” 得到以下结果：,CSt=-65.84 + 0.25*GDPt + 0.65*CSt-1 t = (-3.91) （7.29） （13.58）ut 0.37 * ut-1 + 0.23 * ut-2 + 0.22 * ut-3t = (4
10、.85) (3.07) (3.03)R2=0.999782 D.W.=1.935376,再对新的残差序列进行LM相关性检验，最终得到的结果是修正后的回归方程的残差序列不存在相关。因此，用AR模型修正后的回归方程的估计结果是有效的。,本节将不再仅仅以一个回归方程的残差序列为研究对象，而是直接讨论一个平稳时间序列的建模问题。在现实中很多问题，如利率波动、收益率变化及汇率变化率等通常是一个平稳序列，或者通过差分等变换可以化成一个平稳序列。本节中介绍的ARMA模型(autoregressive moving average models)可以用来研究这些经济变量的变化规律。,二、平稳时间序列的建模AR
11、MA模型,如果随机过程 的均值和方差、自协方差都不取决于t，则称 ut 是协方差平稳的或弱平稳的：,注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则 ut 与 ut- s 之间的协方差仅取决于s ，即仅与观测值之间的间隔长度s有关，而与时期t 无关。一般所说的“平稳性”含义就是上述的弱平稳定义。,1、平稳性定义,2、平稳时间序列模型种类 (1) 自回归模型AR(p) p 阶自回归模型记作AR(p)，可表示为：其中：参数 c 为常数；1 , 2 , p 是自回归模型系数；p为自回归模型阶数；t 是均值为0，方差为 2 的白噪声序列。AR(p)也就是用时间序列变量本身的历史数据来表达现在的预测值。,(2) 移
12、动平均模型MA(q) q 阶移动平均模型记作MA(q) ，可表示为： ut=t +1 t -1 +2 t 2 + +q t -q 其中：参数 为常数；参数1 , 2 , q 是 q 阶移动平均模型的系数；t 是均值为0，方差为 2的白噪声序列。 MA(q)也就是用时间数列变量过去的预测误差来表达现在的预测值。,(3) ARMA(p,q)模型 ut=c+ 1 ut -1 + 2 ut 2 + + p ut -p +t +1 t -1 +2 t 2 + +q t -q ARMA(p,q)也就是用时间序列变量本身的历史数据和过去的预测误差来表达现在的预测值。它是AR(p)与MA(q)的组合形式，当
13、p=0 时，ARMA(0, q) = MA(q)；当q = 0时，ARMA(p, 0) = AR(p)。,ARMA模型阶数的判断 ：,在实际应用中，可借助自相关系数和偏自相关系数去大概判断ARMA(p,q) 模型的阶数： MA(q) 模型的自相关系数在 q 阶以后是截尾的，偏自相关系数呈现出某种形式的衰减，偏相关过程逐渐趋于零； AR(p) 模型的自相关系数具有拖尾性，呈负指数衰减，偏自相关系数是 p 阶截尾的。最后确定的模型阶数还要经过反复的试验及检验。,3、ARMA(p,q)模型估计 在Eviews中的实现,例3， “5-7.wf1”数据是1990年1月2004年12月我国居民的消费价格指
14、数CPI（上年同月=100），试利用ARMA模型模拟其变化规律。利用后面将要介绍的单位根检验可知CPI序列是一个非平稳的序列，但是它的一阶差分序列变量d_cpi=cpi-cpi(-1)=d(cpi) 是平稳的。,在Eviews中的操作： 假如要对d_cpi建立ARMA(3,2)模型，则在工作文件窗口选择; Quick/Equation Estimation/在Specification框中输入“d_cpi ar(1) ar(2) ar(3) ma(1) ma(2)”,但是，观察d_cpi序列的自相关系数和偏自相关系数的图形，可以看出序列的自相关系数是拖尾的，偏自相关系数在1阶截尾，也可判断d_
15、cpi序列基本满足AR(1)过程即ARMA(1,0)。得到以下结果t= (5.37) R2=0.142 D.W.=2.065 (注意：模型设定 “d_cpi ar(1)”与 “d_cpi d_cpi(-1)”等效），,前述的AR(p)、MA(q) 和ARMA(p,q) 三个模型只适用于刻画一个平稳序列的自相关性。一个平稳序列的数字特征，如均值、方差和协方差等是不随时间的变化而变化的，时间序列在各个时间点上的随机性服从一定的概率分布。也就是说，对于一个平稳的时间序列可以通过过去时间点上的信息，建立模型拟合过去信息，进而预测未来的信息。但是很多经济序列是不平稳的时间序列，如文件“5-9-12.wf
16、我国1978年2002年的GDP序列就是非平稳时间序列。,三、非平稳时间序列建模,中国1978年2002年的GDP序列,从上图可以看出，中国的GDP 在19782002年之间具有很强的上升趋势，是非平稳时间序列。,(1)描述非平稳经济时间序列的两种方法 一种方法是包含一个确定性时间趋势其中 ut 是平稳序列；a + t 是线性趋势函数。这种过程也称为趋势平稳，因为如果从上式中减去 a + t，结果是一个平稳过程。注意到像上图一类的经济时间序列常呈指数趋势增长，但是指数趋势取对数就可以转换为线性趋势。,1.概述,另一种方法是设定为单位根过程，非平稳序列中有一类序列可以通过差分运算，得到具有平稳性
17、的序列，考虑下式： 也可写成 ：,其中：a是常数，ut是平稳序列，若ut i.i.d. N (0, 2) ，且ut 是一个白噪声序列。若令a = 0， y0=0，则由上面第一个式子生成的序列 yt，有var(yt)=t 2（t = 1, 2, , T），显然违背了时间序列平稳性的假设，而差分序列是含位移a的随机游走，说明 yt 的差分序列 yt是平稳序列。,（2）单整 像前述 yt 这种非平稳序列，可以通过差分运算，得到平稳性的序列称为单整(integration)序列。定义如下：定义：如果序列 yt ，通过 d 次差分成为一个平稳序列，而这个序列差分 d 1 次时却不平稳，那么称序列 yt为
18、 d 阶单整序列，记为 yt I(d)。特别地，如果序列 yt本身是平稳的，则为零阶单整序列，记为 yt I(0)。,2、时间序列平稳性检验 检查序列平稳性的标准方法是单位根检验。有多种单位根检验方法，在此将介绍DF检验、ADF检验。,其中：a 是常数， t 是线性趋势函数，ut N (0, 2) 。,（1） DF检验为说明DF检验的使用，先考虑3种形式的回归模型,（1）,（2）,（3）,如果 -1 1，则 yt 平稳（或趋势平稳）。 如果 =1， yt 序列是非平稳序列。前面第一个式可写成：显然 yt 的差分序列是平稳的。 如果 的绝对值大于1，序列发散，且其差分序列是非平稳的。,因此，判断
19、一个序列是否平稳，可以通过检验 是否严格小于1来实现。也就是说：原假设H0： =1序列不平稳备选假设H1： 1序列平稳,将方程（1）、（2）、（3）两边同时减去 yt-1 ，并记 = -1，则：,则原假设和备选假设可以改写为序列不平稳序列平稳可以通过最小二乘法得到 的估计值，并对其进行显著性检验的方法，构造检验显著性水平的 t 统计量: t = /s()t临界值，接受原假设（序列不平稳)； t=临界值，接受备择假设，即序列平稳。但是，Dickey-Fuller研究了这个t 统计量在原假设下已经不再服从 t 分布，它依赖于回归的形式(如是否引进了常数项和趋势项) 。,（2）ADF检验ADF检验方
20、法通过在回归方程右边加入因变量yt 的滞后差分项来控制高阶序列相关,扩展定义将检验 原假设为：至少存在一个单位根；备选假设为：序列不存在单位根。序列 yt可能还包含常数项和时间趋势项。判断 的估计值 是接受原假设或者接受备选假设，进而判断一个高阶自相关序列AR(p) 过程是否存在单位根。类似于DF检验，Mackinnon通过模拟也得出在不同回归模型及不同样本容量下检验 不同显著性水平的 t 统计量的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平下判断高阶自相关序列是否存在单位根。,例4， 根据“5-7.wf1”数据，用ADF检验居民消费价格指数cpi序列的平稳性 .在用ADF进行单位根检验前，
21、需要设定序列是否含有常数项或者时间趋势项。我们可以通过画出原序列的图形(打开cpi/view/graph/line)来判断是否要加入常数项或者时间趋势项。从的cpi图形可以看出含有常数项，但不含有时间趋势项。cpi序列的ADF检验结果如下：,检验结果显示，接受原假设，即cpi序列是一个非平稳的序列。再对一阶差分d_cpi序列进行单位根检验，ADF检验结果如下：一阶差分d_cpi序列拒绝原假设，接受d_cpi序列是平稳序列的结论。因此，cpi序列是1阶单整序列，即cpiI(1)。,3. ARIMA模型 (1)ARIMA模型的形式我们已经介绍了对于单整序列能够通过d次差分将非平稳序列转化为平稳序列
22、。设 yt 是 d 阶单整序列，即 yt I(d)，则,wt 为平稳序列，即 wt I(0) ，于是可以对 wt 建立ARMA(p,q) 模型,估计ARIMA(p,d,q) 模型同估计ARMA(p,q) 具体的步骤相同，唯一不同的是在估计之前要确定原序列的差分阶数d，对 yt 进行 d 阶差分。因此，ARIMA(p,d,q) 模型区别于ARMA(p,q) 之处就在于前者的自回归部分的特征多项式含有d个单位根。因此，对一个序列建模之前，我们应当首先确定该序列是否具有非平稳性，这就首先需要对序列的平稳性进行检验，特别是要检验其是否含有单位根及所含有的单位根的个数。,（2）ARIMA(p, d, q
23、) 模型建模的步骤 对原序列进行平稳性检验，确定序列单整阶数d； 通过计算能够描述序列特征的一些统计量（如自相关系数和偏自相关系数），来确定ARMA模型的阶数 p 和 q； 估计模型的未知参数，并检验参数的显著性，以及模型本身的合理性； 进行诊断分析，以证实所得模型确实与所观察到的数据特征相符. 模型的残差序列应当是一个白噪声序列，用前面的检验序列相关的方法检验。,例5，根据“5-9-12.wf1”数据，建立gdp的ARIMA（2,1,2）模型（建模数据：19782000年，2001和2002年实际数据不参加建模，留作检验）。 前面经过一阶差分检验是平稳的，所以d 1,在Eviews中估计AR
24、IMA模型:,在Eviews中的操作步骤： 用ADF单位根检验发现GDP序列是1阶单整序列，即GDPI(1)； 观察GDP一阶差分序列D(GDP,1)的相关图，发现自相关系数在2阶截尾，偏自相关系数在2阶截尾，则取模型的阶数 p=2 和q=2，建立ARIMA(2,1,2) 模型； 对gdp估计ARIMA(2,1,2)模型，在模型设定中输入 “d(gdp,1) ar(1) ar(2) ma(1) ma(2)” ，得到以下结果：,对GDP一阶差分后建模,GDPt = 1.09GDPt-10.162GDPt-2+t + 0.91 t-1 +0.238 t-2 R2 = 0.87 D.W= 1.76
25、对回归模型残差进行序列相关LM检验可以看出模型的残差不存在序列相关。方法为：打开方程窗口/View/Residual Tests/Serial correlation LM Test。 利用模型进行gdp的拟合和预测。方法为：打开方程窗口/Forecast/ Forecast sample设定为“1978 2002”,一阶差分,4 、协整方程在前面介绍的ARMA模型中要求经济时间序列是平稳的，但是由于实际应用中大多数时间序列是非平稳的，通常采用差分方法消除序列中含有的非平稳趋势，使得序列平稳化后建立模型，这就是上节介绍的ARIMA模型。但是变换后的序列限制了所讨论经济问题的范围，并且有时变换后
26、的序列由于不具有直接的经济意义，使得化为平稳序列后所建立的时间序列模型不便于解释。,1987年Engle和Granger提出的协整理论及其方法，为非平稳序列的建模提供了另一种途径。虽然一些经济变量的本身是非平稳序列，但是，它们的线性组合却有可能是平稳序列。这种平稳的线性组合被称为协整方程，且可解释为变量之间的长期稳定的均衡关系。,（1）协整关系 假定一些经济指标被某经济系统联系在一起，那么从长远看来这些变量应该具有均衡关系，这是建立和检验模型的基本出发点。在短期内，因为季节影响或随机干扰，这些变量有可能偏离均值。如果这种偏离是暂时的，那么随着时间推移将会回到均衡状态；如果这种偏离是持久的，就不
27、能说这些变量之间存在均衡关系。协整(co-integration)可被看作这种均衡关系性质的统计表示。,协整的定义：k 维向量Yt=（y1t，y2t，ykt）的分量间被称为d,b阶协整，记为Yt CI (d，b)，如果满足： Yt I (d)，要求 Yt 的每个分量 yit I (d)； 存在非零向量 ，使得 Yt I (d - b)，0 b d 。简称 Yt 是协整的，向量 又称为协整向量。,（2） 协整检验协整检验从检验的对象上可以分为两种：一种是基于回归系数的协整检验，如Johansen协整检验；另一种是基于回归残差的协整检验，如CRDW检验、DF检验和ADF检验。本节将主要介绍Engl
28、e和Granger（1987）提出的协整检验方法。这种协整检验方法是对回归方程的残差进行单位根检验。,检验的主要步骤如下： 第一步：若k个时间序列y1t 和y2t，y3t，ykt都是1阶单整序列，建立回归方程：模型估计的残差为 ：,第二步：检验残差序列t是否平稳，也就是判断序列t是否含有单位根。通常用ADF检验来判断残差序列t是否是平稳的。 第三步：如果残差序列t是平稳的，则可以确定回归方程中的k个变量（y1t，y2t，y3t，ykt）之间存在协整关系，并且协整向量为：否则（y1t，y2t，y3t，ykt）之间不存在协整关系。,（3）在Eviews中的操作：对原始数据先进行对数变换 例6，根据
29、“5-9-12.wf1”数据，分析1982年2002年的消费csp与收入inc之间是否存在协整关系。 (其中的Ct表示名义居民总消费；GDPt表示名义国内生产总值；TAXt 表示税收总额；tt=TAXt /GDPt表示宏观税率；Pt表示居民消费价格指数(1978=100)。cspt =Ct Pt 表示实际消费，inct = (1- tt)GDPt /Pt表示实际可支配收入）。对这两个变量进行分析后发现，取对数后呈线性变化。单位根检验发现序列ln(csp)和ln(inc)是非平稳的，一阶差分以后是平稳，即ln(csp)和ln(inc)均是I(1)序列。,第一步，建立如下回归方程：,估计后得到：t
30、 = (638.7) 方程中的系数0.938是收入弹性，表明实际收入每增加1%会使得实际消费增加0.938%。,第二步，对上式的残差进行单位根检验。方法为：在第一步得到的方程窗口/proc/make Residual series/保存残差为resid01并进行单位根检验,检验结果显示，残差序列在1%的显著性水平下拒绝原假设，接受不存在单位根的结论，因此可以确定残差序列为平稳序列，即为I(0)序列。上述结果表明：ln(cspt)和ln(inct)之间存在协整关系。协整向量为（1，-0.938）。,5. 误差修正模型（ECM）ECM表示的是短期变动关系，协整方程表示的是长期的稳定关系传统的经济模
31、型通常表述的是变量之间的一种“长期均衡”关系，而实际经济数据却是由“非均衡过程”生成的。因此，建模时需要用数据的动态非均衡过程来逼近经济理论的长期均衡过程。,（1)基本理论设某个内生变量yt受同期外生变量xt和前期变量影响，则可建立模型：（1）（1）式经过一系列变换整理可得：阿尔法表示误差修正力度（2),该模型被称为误差修正模型（ECM)，当yt与xt的长期协整关系是：（3）,模型（2)可写成：（4）其中：称为调整系数，其值通常小于零，表明系统对短期偏离的调整程度。总之，变量Y的波动是由长期趋势和短期波动所决定的，协整方程（3）表明的是长期趋势，对系统变动起到引力线的作用；而模型（4）表明的是
32、短期波动，表明系统偏离均衡状态的修正程度。,（2）ECM模型的估计方法Engle和Granger的两步法第一步，用OLS估计协整方程并得到残差序列：,第二步，再用OLS方法估计误差修正模型参数。,例7，在例6中根据“5_9_12.wf1”数据，建立了消费和收入的协整方程，为了深入考察我国消费和收入之间的动态关系，现通过ECM模型作进一步的分析。 通过例6估计得到消费和收入的协整方程的残差序列t ，令误差修正项 ecmt = t ，建立下面的误差修正模型：也可以写为,（3）在Eviews中的实现：,得到结果如下： R2 = 0.403 D.W. = 1.57在上面的误差修正模型中，差分项反映了短
33、期波动的影响。消费的短期变动可以分为两部分：一部分是短期收入波动的影响；一部分是偏离长期均衡的影响。误差修正项ecmt 的系数的大小反映了对偏离长期均衡的调整力度。从系数估计值(0.222)来看，当短期波动偏离长期均衡时，将以0.222的调整力度将非均衡状态拉回到均衡状态。,1、 “case5_1.xls” 是1964年1995年的经济数据，其中r是半年期票据贴现利率，gnp_p和inv_p分别是按不变价格调整的GNP和投资总额数据，要求：（1）试用OLS方法建立inv_p与gnp_p、上期贴现利率的线性回归方程。（2）检验残差序列的相关性。（3）对利率r建立ARIMA模型（4）采用EngleGranger协整检验方法判断inv_p与gnp_p是否存在协整关系，若存在写出协整方程。(5)在协整分析的基础上 建立误差修正模型（ECM)。,
