1、第 5 章 恒定磁场分析, 实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围的媒质中 ，不仅有恒定电场 ，同时还有不随时间变化的磁场 ，简称 恒定磁场。, 首先建立真空与磁介质内恒定磁场的基本方程；引入矢量位A;确立磁场的边界条件；在特定条件下引入标量位 。, 最后讨论自感和互感的计算、磁场能量和磁场力。,5.1 恒定磁场分析的基本变量5.2 真空中磁场的基本方程5.3 矢量磁位5.4 磁偶极子的矢量位和标量位5.5 物质的磁化现象 磁化强度5.6 磁介质中磁场的基本方程5.7 磁场的边界条件5.8 标量磁位5.9 自电感 互电感5.10 磁场能量5.11 磁场力,5.1 恒定磁场分析的基
2、本变量, 第2章中已由安培力定律引入了恒定电流元产生的磁感应强度, 任意电流闭合回路c 产生的磁感应强度, 定义任意电流闭合回路c 产生的磁场强度, 关系式 称为真空的磁特性方程或本构关系。, 恒定磁场的源变量是电流密度矢量,5.2 真空中磁场的基本方程,一、磁场的散度,设B 是由直流回路c 产生的磁感应强度，S 为一闭合曲面，则磁感应强度B 穿过S 的通量为,因为,得,穿过任意闭合曲面的磁通量恒为零,由,得,二、磁场的旋度,经分析计算该积分结果为,得,真空中磁场的基本方程,设H 是由直流回路 c 产生的磁场强度，为一闭合曲线,则磁场强度H沿 的环流为,（式中 是S 的周界）,例 5.2.1
3、半径为a 的无限长直导体通有电流I，计算导体内外的基本场变量 。（教材例5.2.1),解：很显然，场变量与座标 无关，磁感应线是圆心在导线轴上的一簇同心圆。由基本方程,而,是回路c所包围电流的代数和,当,故有,得,当,得,回路 所包围的电流,回路 所包围的电流,设电流 均匀分布于导体横截面,5.3 矢量磁位, 为了简化磁场的求解，通常采用间接方法。, 由磁场的散度为零，引入矢量磁位。, 利用磁场的旋度方程导出矢量磁位满足的微分方程。,由,其单位为Tm（特米）或Wb/m（韦/米）,得,即,得,其解,于是，矢量位满足的泊松方程的解为,例 5.3.1 求无限长直线电流的矢量位A 磁感应强度B。（教材
4、例5.3.1),解：首先计算一根长度为 的长直线电流I产生的矢量位。,由线电流的矢位计算公式,积分可得,当 时,若 ，则,这时可在A 的表达式中附加一个常矢量,则,磁感应强度B 等于,磁场强度H 等于,与例5.2.1直接积分所得的结果相同,5.4 磁偶极子的矢量位和标量位,一面积为S,通以电流I 的小圆电流环称为磁偶极子，定义矢量 为磁偶极子的磁偶极矩。,考虑,得,磁偶极子 产生的磁感应强度,磁场的另一基本变量,5.5 物质的磁化现象 磁化强度,媒质的磁化产生的物理现象和分析方法与静电场媒质的极化类同。, 无外磁场作用时，媒质对外不显磁性，,分子电流，电流方向与 方向成右手螺旋关系。, 分子磁
5、偶极矩, 在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转， 旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方向一致，对外呈现磁性，称为磁化现象。, 磁化体电流, 由于磁偶极子的定向排列，媒质内部出现磁化体电流，媒质表面出现磁化面电流。,5.6 磁介质中磁场的基本方程,引入磁化电流后，媒质的磁化效应由磁化电流表征，即空间的磁场由传导电流和磁化电流产生。而磁化电流和传导电流的实质相同，则,得,于是磁介质中的基本方程,微分形式,由实验证明，除铁磁性物质外，M 和H之间有一定的线性关系，即,得,（为磁介质中的本构关系）,式中 均为传导电流,5.7 磁场的边界条件,一、磁感应强度B的边界条件,设两种不同的磁介质 ，其分界面的法线方向
6、为n。在分界面上作一小圆柱形表面，两底面分别位于介质两侧，底面积为 ，h为无穷小量。,将磁场基本方程 用于所作的圆柱形表面。,方程左边,磁感应强度B 的边界条件,用矢量表示,分界面上B 的法向分量连续,二、磁场强度H的边界条件,在分界面上作一小的矩形回路，其两边 分居于分界面两侧，而高 ，取H 沿此回路的环积分为, 设分界面上的自由电流面密度为, 则回路所围面积上通过的电流为,（其中 的方向为回路所围面积的法线方向）, 矢量 可写为, 方程 变为, 因为回路是任意的，其所围面的法向也是任意的，因而有,磁场强度H 的边界条件：,若分界面上没有自由的表面电流,另外，由,例 5.7.1 铁质的无限长
7、圆管中通过电流I，管的内外半径分别为a和b。已知铁的磁导 率为 ，求管壁中和管内外空气中的B，并计算铁中的 M 和 等。（教材例5.7.1),解：如图建立坐标系，设电流沿z方向，则场分布是轴对称的，只有 分量。,利用基本方程的积分形式，有,由,（a),(b),(c),在区的管壁空间内，磁化强度为,管壁内的磁化体电流为,在r =a 和r =b 处的磁化面电流为,在恒定磁场无电流区域,标量磁位，单位：A（安培）。, 标量磁位 仅适合于无自由电流区域，且无物理意义。,标量磁位 的特点：,5.8 标量磁位, 标量磁位 满足的微分方程, 标量磁位满足的边界条件,5.9 自电感 互电感,在线性介质中，一个
8、电流回路在空间任意一点产生的 B与电流成正比，因而穿过任意回路的磁通 也与电流成正比；若一回路由N匝导线绕成，则总磁通是各匝磁通之和，成为磁链，用 表示。且可近似为, 当磁场由自身回路的电流产生则回路磁链与电流之比,称为自感系数，简称自感，单位为H（亨）, 第1回路电流 产生的磁场与第二回路交链的磁链为 ，则比值,称为互感系数，简称互感，单位仍为H, 同样，第2回路电流 产生的磁场与第一回路交链的磁链为 ，其比值同样称为互感系数,自感与互感都仅取决于回路的形状、尺寸、匝数和介质的磁导率。互感还与两个回路的相互位置有关。,两个单匝回路的互感,设回路1通过电流,而,所以,同理,由此可见,单匝回路的
9、自感,对于单匝回路，可将电流看作集中于轴线回路 上，而将计算磁通的回路取作导线边缘的回路 ，应用诺伊曼公式计算自感为,以上计算的自感只考虑了导线外部的磁通，故称为外自感；在导线内部的磁力线同样套链着电流，其磁链与电流比值定义为内自感。,假设单匝回路，其横截面积,导线内的磁场,穿过图中面积的磁通为,穿过图中面积的磁链为,长度为l一段圆截面导线的内自感为,总自感为,例 5.9.1 求双线传输线单位长度的自感。导线半径为a，导线间距离 ，如图所示。（教材例5.9.1）,解：由,得二导线在x 处产生的磁场分别为,总的磁感应强度,单位长度的外自感为,单位长度的内自感为,穿过面积 的磁通,而回路j 的磁链
10、为,5.10 磁场能量, 电流回路系统的能量是建立电流过程中由电源供给的。, 当电流从零增加时回路感应电动势将阻止电流的增加，外加电压须克服感应电动势 而作功，使回路能量增加。, 若所有回路固定，且忽略焦耳损耗，则电源作功将全部变为电流回路系统的磁场能量，这时回路上的外加电压和回路中的感应电动势大小相等方向相反。,回路j 中的感应电动势为,外加电压,dt 时间内与回路j 相连的电源所作的功,若系统包含N个回路，增加的磁场能量为,假设所有回路中的电流同时从零开始以百分比 同比例增加，即,充电过程完成后，系统的总磁场能量,用场量表示该磁场能量,单位体积的磁场能量称为磁场能量密度,例 5.10.1
11、求无限长同轴线单位长度内的磁场能量，如图所示。(教材例5.10.1),在 的区域,在 的区域由基本方程,三个区域单位长度内的磁场能量分别为,因为总磁场能量,所以同轴线单位长度的电感为,其中,5.11 磁场力,两个载流回路间的磁力可由安培力公式计算。也可与静电力的计算类似，用磁场能量的空间变化率来计算磁场力。,磁链不变, 两个回路的磁链不变，即, 回路 发生位移，两回路中电流必定发生变化，才能维持两回路的磁链不变, 两回路中没有感应电动势（因为磁链不变），故与回路相连的电源不对回路输入能量。, 回路 位移时所须的机械功只有靠磁场能量减少来完成。,电流不变, 两个回路电流不变，即, 回路 发生位移，两回路中的磁链必定发生变化，才能维持两回路电流不变。,两个回路的能量为, 上式表明：在 不变的情况下磁场能量的改变（即磁力）仅是由于互感 的改变引起的。, 前面假设的 不变和 不变是在一个回路发生位移时的两种假设，无论假设 不变还是 不变，求出的磁场力是相同的。, 两回路中都有感应电动势（因为磁链发生变化），与回路相连的电源要作功来克服感应电动势以保持两个回路的电流不变。, 电源作功为 即电源输入能量的一半用于增加磁场储能，另一半用于回路 位移所需的机械功。,得,
