1、第 1 页 共 201 页新编高考数学解题技巧 A,B 两点都在椭圆内. 若借用补集思想则避免了分情况讨论,使计算简洁.设 a 的允许值的集合为全集 I=a|aR,a0,先求椭圆和线段 AB 有公共点时的取值范围. 易得线段 AB 的方程为 y=x+1,x1,3 ,由方程组123122xaxy得,x1,3,a2 的值在1,3内递增,且 x=1 和 x=3 时分别得 a2= 29或 a2=41,故 29a2 41.a0, 23a8.故当椭圆与线段 AB 无公共点时 ,a 的取值范围为 08.第 16 页 共 201 页第 4 计 关羽开门 刀举成功计名释义关羽不同于诸葛. 诸葛是智星，靠着扇子；
2、关羽是武士，用的大刀 . “过关斩将”用这大刀，“水淹七军”用这大刀. 数学上的“分析” 、 “分解” 、 “分割”等，讲的都是刀工. 关羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再难的数学题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎了吗！典例示范例 1 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、P 分别是BC、 A1D1 的中点，M、N 分别是 AE、CD1 的中点，AD=AA1=a，AB=2a.（）求证：MN面 ADD1A1；（）求二面角 PAED 的大小；（）求三棱锥 PDEN 的体积.分析 这是个长方体，而“长”正好是“宽”和“高”的 2 倍，这正是“关羽开门”的对象：用刀
3、从中一劈，则分成 2 个相等的正方体. 对于正方体，我们该多么熟悉啊！有关线段的长度，各线段间的位置关系，我们都了如指掌.解 取 D1C1 的中点 Q ，过 Q 和 MN 作平面 QRST. 显然，M 、N 都在这平面里.易知 QN 和 SM 都平行于平面 BCC1B1 MNBCC1B1 MN面 ADD1A1（证毕）.插语 其所以这么简单，是因为我们对正方体熟悉. 正方体从何而来，感谢关羽的大刀之功. 以后的（）和（ ） ，都可转化到正方体里进行（从略）.第 17 页 共 201 页【例 2】 设 p0 是一常数，过点 Q（2p ，0）的直线与抛物线 y2=2px 交于相异两点 A、B，以线段
4、 AB 为直径作圆 H（H 为圆心）. （）试证：抛物线顶点在圆 H 的圆周上；（）并求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程.【分析】 （ ）AB 是圆 H 的直径，欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策： （1）证|OH|= 21|AB|.(2)证 |OA|2+|OB|2=|AB|2（3）证AOB=90, 即 OAOB，等. 显然，利用向量知识证 OBA=0,当为明智之举.【解答】 （）当 ABx 轴时，直线 AB 的方程为 x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=2p,|AB|=|y1-y2|=4p. 显然，满足|OQ|= 21|AB|,此时 Q、H 重合, 点 Q在H 上.如直线
5、 AB 与 x 轴不垂直，设直线 AB：y=tan(x-2p),x= py2,代入：y=tan py2-2ptan. 即 tany2-2py-4p2tan=0.此方程有不同二实根 y1y2,y1+y2= tan2p,y1y2=-4p2. OBA =x1x2+y1y2= py21+y1y2= 2416-4p2=0. ,故点 O 仍在以 AB 为直径的圆上.【分析】 ()为使圆面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可避免的要给出直径 AB 之长的函数表达式，直观上我们已可推测到当 ABx 轴时，弦 AB 之长最短(这就是论证方向) ，为此又有多种途径:第 18 页 共 201 页(1)用直线的点斜式
6、与抛物线方程联立，得关于 x（或 y）的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2 的函数式，再用二次函数或均值不等式的知识求其最值.(2)用直线的参数方程与抛物线方程联立，得关于参数 t 的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2=（t1-t2）2 的函数表达式，再依正、余弦函数的有界性求其最值.这两种方法各有优长，但都须牵涉到两个变量 x,y,以下我们推荐，利用投影公式得出的|AB|函数式，只牵涉一个变量.【解答】 （）直线 AB 的倾角为 ,当 =90时， H 的半径为 2p,SH=4p2.当 90时，不妨设 0, 2)，则ppyypxAB424tan1si216tansi1)(t2coc
7、os|)(|cos|s| 22121211综上，|AB|min=4p, 当且仅当 =90时， （S H）min=4p2,相应的直线 AB 的方程为：x=2p.别解：由（1）知恒有AOB=90.| AB|2=|22|OB= 221yx2x1x2+2p(x1+x2)2x1x2+4p 21x.y1y2=-4p2,x1x2=214py于是| AB|216p2,| |min=4p.当且仅当 x1=x2=2p 时，SH=4p2.第 19 页 共 201 页【点评】 斧子开门，只要你说要进去，直接在墙上打洞最直接了.对应训练1.已知函数 f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn,nN+,且 a1,a2
8、,，an 构成一个数列an,满足 f(1)=n2.(1)求数列an的通项公式，并求 1limna之值.(2)证明 0 3l 5ln旁白 才子一看，发现是个错解，于是有以下的评语. 评语 学了导数可糟糕，杀鸡到处用牛刀，单调区间不清楚，乱用函数比大小.解二 作差比较法 2ln- 3l= 98ln61l8n32lln0旁白 才子一看，答案虽是对的，但解题人有点过于得意，因此得到以下评语.评语解题成本你不管，别人求近你走远，作差通分太费力，面对结果向回转.5ln2l3ln第 23 页 共 201 页旁白 大家听才子这么说，纷纷要求才子本人拿出自己的解法来，于是有了以下的奇解.奇解 2ln 3l= 9
9、ln81 3ln 2l 5ln旁白 大家一看，十分惊喜，但对解法的来历有点奇怪. 于是才子有了如下的自评.自评 标新本来在立意，别人作商我作积，结果可由心算出，不用花费纸和笔.旁白 这时，上面那位提供解法一的人有点不服气：难道“求导法”就不能解出此题吗？才子回答：当然能！不过需要“统一单调区间” ，请看下解正解 f (x) = xlnf(x)= 21xlne4l 5ln3l 2ln 5l旁白 大家一看，齐声说妙，要求才子再评说一下. 于是又有了下面的奇文.评语 因为数 3 比 e 大，单调区间从 3 划，数 4 也在本区间，故把数 2 搬个家.【例 1】 已知向量 a=( 3，1)，b 是不平
10、行于 x 轴的单位向量，且 ab= 3，则 b= ( ) A( 23， ) B( 21, ) C.( 431) D （1，0）【特解】 由|b|=1，排除 C；又 b 与 x 轴不平行，排除 D；易知 b 与 a 不平行，排除 A.答第 24 页 共 201 页案只能为 B.【评说】 本解看似简单，但想时不易，要看出向量 b 与 A( 213)是平行向量，一般考生不能做到.【别解】 因为 b 是不平行于 x 轴的单位向量，可排除 C、D 两项. 又 ab= 3,将 A 代入不满足题意,所以答案只能为 B.【评说】 本题通过三次筛选才得出正确答案 ,思维量很大,到 A、B 选项时还需动手计算，真
11、是淘尽黄沙始是金啊！【另解】 设 b=(cos ,sin), 则 ab=( 3,1)(cos,sin)= 3cos+sin= 3 sin(60+ )= 23在区间（ 0，）上解 得：=60. 故 b=(1).【评说】 本题涉及解三角方程，并确定解答区间，这不是一个小题的份量.【错解】 选 A 者, 误在( 21)3a，选 C 者 ,误在|（ 4,1）a|=1. 选 D 者，没有考虑到（ 1，0）与 x 轴平行. 【评说】 本题三个假支的设计，其质量很高，各有各的错因，相信各有各的 “选择人”.对应训练1.若奇函数 f(x)在(0,+)上是增函数,又 f(-3)=0,则x|xf(x)3 或-33
12、 或 x0)的草图(如图（2）),x、f(x)均为 R 上的奇函数, xf(x)为偶函数,不等式 xf(x)0，且 g(-3)=0, 则不等式 f (x)g(x)0.第 29 页 共 201 页F(x)在 R 上为增函数.F(-x)= f (-x)g (-x)=-f (x)g (x). =-F(x).故 F(x)为(-,0)(0,+)上的奇函数. F(x)在 R 上亦为增函数.已知 g(-3)=0,必有 F(-3)=F(3)=0.构造如图的 F（x）的图象，可知 例 3 题解图F(x)kMA=0;kMNkMB= 5.故知, k(0, 5), 选 A.第 2 题解图3.A T3=C29(-2x)2=36 (2x)2=288， 2 2x =8， x= 23, x1= (0,1).数列 nx1是首项与公比均为 32的无穷递缩等比数列 . 原式= 321=2. 选 A.
