1、第一章 信号及其描述信号的分类主要是依据信号波形特征来划分的，在介 绍信号分类前，先建立信号波形的概念。信号波形：被测信号信号幅度随时间的变化历程称为 信号的波形。,信号波形图：用被测物理量的强度作为纵坐标，用时间做横坐标，记录被测物理量随时间的变化情况。,为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究是非常必要的，从不同角度观察信号，可分为： 1 从信号描述上分:确定性信号与随机信号； 2 从信号的幅值和能量上:能量信号与功率信号； 3 从分析域上:时域与频域； 4 从连续性:连续信号与离散信号；,第一章 信号及其描述第一节 信号的分类与描述一、信号的分类： （一）确定性信号：可以用明确数学关系
2、式描述的信号周期信号: 经过一定时间可以重复出现的信号x（t）=x (t+nT) （n=1,2,3,.）,例：单自由度质量弹簧系统作无阻尼自由振动时的位移：,信号：,非周期信号：不具有周期重复性的信号,准周期信号:由多个周期信号合成，但各信号频率不成公倍数。例：,瞬变非周期信号:持续时间有限的信号。,随机信号：无法用x(t)描述，不能准确预测其未来瞬时值，但具某些统计特性，用概率统计方法由过去估计未来。例：天气预报，树叶在风中的飘动,（二）连续信号：独立变量取值连续，幅值可以连续也可以离散离散信号：独立变量取值离散,模拟信号：独立变量和幅值均连续 数字信号：若离散信号的幅值也是离散,（三）能量
3、信号：信号x(t)加在单位电阻（R=1时）上的瞬时功率为P(t)= x2(t)/R=x2(t)。 在所分析的区间（-，），能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件：一般持续时间有限的瞬变非周期信号是能量信号。例：矩形脉冲信号，衰减指数信号,功率信号：在所分析的区间（-，），能量不是有限值此时，研究信号的平均功率更为合适。一般持续时间无限的信号都属于功率信号。例：单自由度振动系统作无阻尼自由振动,二、信号的时域描述和频域描述为什么要对信号进行频域描述？ 信号的时域与频域描述是否包含同样的信息量？ 1.时域描述：以时间为独立变量 ，反映信号幅值时间变化的关系 不能提示信号的频率组成2.频域描述：信
4、号的频率组成及其幅值相角之 大小揭示：幅值频率， 相位频率,幅频谱 相频谱,例：周期方波,若将其傅立叶级数展开：,其中：,即：,n=1,3,5,其频域描述：幅频谱，相频谱,方波信号可看成不同频率成分的正弦波的叠加,取不同的谐波分量时,近似波形与实际波形的差别:,第二节 周期信号与离散频谱,傅立叶级数的三角函数展开式,在有限区间上，凡满足狄里赫利条件的周期函数(信号),都可以展开成傅立叶级数,狄里赫利条件：,设x(t)是以2,为周期的函数，若它满足：,在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则x(t)傅立叶级数收敛且,1）当t是x(t)的连续点时，级数收敛于x(t),
5、2)当t是x(t)的间断点时，级数收敛于,傅立叶级数的三角函数展开式：,:信号的直流分量,0时的幅值,n=1,2,3,合并同类项：,即：,也可写成：,频谱图：幅值谱：,相频谱：,基频，,n次谐波,所以:频谱线是离散的,例：求周期性三角波的傅立叶级数,解：,n=1,3,5,n=2,4,6.,(利用分部积分法:,),即：,代入,n=1,3,5,频谱图,二、付立叶级数的复指数函数展开式,据欧拉公式：,代入,令：,其中：,一般：,注意：,与,共轭，即：,频谱图：,实频谱,虚频谱,实偶虚奇,模偶相奇,复指数函数的频谱： 双边谱,三角函数的频谱： 单边谱,负频谱率的理解 ：,例12：画出余弦、正弦函数的实
6、、虚部频谱图解：,例2：画出下列信号的时域波形及频谱,例3：,求其谱图,周期信号频谱的特点：,离散性,2.每条谱线出现在,或,的整数倍上,3.谱线高度表示幅值或相位角， 幅值谱具收敛性,工程上常见的周期信号，谐波幅值总的趋势是随 谐波次数的增高而减小，所以在频谱分析中没必 要取那些次数过高的谐波分量。,二. 周期信号的强度表述,峰值：是信号可能出现的最大瞬时值。,峰-峰值 ：是在一个周期中最大与最小瞬时值之差。,一般希望,在测试系统的线性区域内,均值：,信号的常值分量,绝对均值：,有效值（均方根值）：,有效值的平方：,反映功率的大小,第三节 瞬变非周期信号与连续频谱,准周期信号：频谱是离散的,
7、非周期信号 瞬变非周期信号：频谱是连续的,一傅立叶变换,非周期信号可看作为周期信号,时，,时的信号，,其为频率间隔，,其频谱是连续的。,设一个周期信号x(t) ，在（,，,）区间以傅立叶,级数表示：,傅立叶变换对：,将,代入，则有：,幅值谱,相位谱,小结： 从式（129）可知，一个非周期函数可分解成频率f连续变化的谐波的叠加。式中X(f)df的是谐波ej2f的系数，决定着信号的振幅和相位。 X(f)或X()为x(t)的连续频谱。 由于X(f)一般为实变量f的复函数，故可将其写为 将上式中的 称非周期信号x(t)的连续幅值谱， 称x(t)的连续相位谱。,例1-3 求矩阵窗函数 的频谱,其频谱：,
8、及其图形：,二、 傅立叶变换的主要性质,（一）奇偶虚实性,（二）对称性,（三）时间尺度改变特性,二、傅里叶变换的主要性质 1.奇偶虚实性:一般X（f）是实变量的复变函数.,讨论：,2.对称性,若 则 证明,以-T代替T得,将T与F互换，即得X（T） 的傅立叶变换为,所以,对称性举例,3.时间尺度改变特性,窗函数 特性举例,若,则,证明,尺度改变性质举例 a) k=1 b) k=0.5 c) k=2,4.时移和频移特性,5.卷积特性,6.微分和积分特性,三、几种典型信号的频谱 矩形窗函数的频谱,结论： 矩形窗函数在时域中有限区间取值，但频域中频谱在频率轴上连续且无限延伸。 实际工程测试总是时域中
9、截取有限长度(窗宽范围)的信号，其本质是被测信号与矩形窗函数在时域中相乘，因而所得到的频谱必然是被测信号频谱与矩形窗函数频谱在频域中的卷积，所以实际工程测试得到的频谱也将是在频率轴上连续且无限延伸。,函数及其频谱 （1）定义 在时间内矩形脉冲S(t) ，其面积为1,当 0 时， S(t)的极限称为函数,也称为单位脉冲函数。函数用标有1的箭头表示。 显然(t)的函数值和面积(通常表示能量或强度)分别为,（2）采样性质 若f(t)为一连续信号，则有 f(0)(t)的函数值无穷大，强度为f(0)。 在（， ）积分，有,对于有延时t0的函数（t-t0)，有,（3）与其他函数的卷积,x(),（4）频谱
10、对(t)取傅里叶变换 可见函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱 通常称为“均匀谱”。,利用对称、时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变换对。,正、余弦函数的频谱密度函数,余弦函数的频谱 利用欧拉公式，余弦函数可以表达为： 其傅里叶变换为,正弦函数的频谱 同理，利用欧拉公式及其傅里叶变换有：,等间隔的周期单位脉冲序列函数称为梳状函数，表达式为： 式中 Ts 为周期，n为整数，n=0,1, 2,3, 。因为周期脉冲序列函数为周期函数，所以可以写成傅里叶级数的复指数函数形式,周期单位脉冲序列的频谱,因此，有周期单位脉冲序列函数的傅里叶级数的复数表达式： 根据式,可得周期单位脉冲序列函数的频谱，
11、周期单位脉冲序列的频谱仍是周期脉冲序列。时域周期为 ，频域周期则为 ；时域脉冲强度为1，频域脉冲强度则为 。,习题1-1,=,=,n 为“正”时,n 为“负”时,即：,n=,n 为奇数时,习题1.1,1.2求正弦信号 x(t)=x0sint的绝对均值|x |和均方根值x rms 解：1.3求指数函数 的频谱。解：,习题1-5,解：,第四节 随机信号,一、概述 随机信号特点： 不能用确定的数学关系式描述； 具有不能被预测的瞬时值； 其值的变动服从统计规律； 描述随机信号必须采用概率统计的方法 样本函数 ：随机信号按时间历程所作的各次长时间的观察 ，记作xi(t)。 样本记录 ：在有限时间区间上的
12、样本函数。 随机过程 ：同一试验条件下的全部样本函数的集合（总体），记为x(t)。,对随机过程常用的统计特征参数： 均值、均方值、方差、概率密度函数、概率分布函数和功率谱密度函数等。均值：均方值：这些特征参数均是按照集合平均来计算的，即在集合中的某个时刻对所有的样本函数的观测值取平均。为了与集合平均相区别，把按单个样本的时间历程进行平均的计算叫做时间平均。,随机过程的分类： 平稳随机过程 过程的统计特征参数不随时间的平移而变化的过程。 对于一个平稳随机过程，若它的任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征，则该过程称为各态历经随机过程，本文仅限于讨论各态历经随机过程的范围。
13、两点说明： 工程中遇到的许多过程都可认为是平稳的，其中的许多都具有各态历经性；有的虽不是严格的各态历经过程，也可当作各态历经随机过程处理。 测试工作中常以一个或几个有限长度的样本记录来推断整个随机过程，以其时间平均来估计集合平均。 非平稳随机过程,二、随机信号的主要特征参数 均值、方差和均方值,均值 各态历经随机信号 的平均值 反映信号的常值分量，即常值分量：,式中，T为样本长度，即观测时间。,方差 方差 描述随机信号的波动分量，反映 偏离均值的波动情况，表示为：,均方值 各态历经信号的均方值 反映信号的能量或强度，表示为：,标准差 标准差 为方差的正的平方根：,均方根值 均方根值为 正的平方根，即,概率密度函数 概率密度函数是指一个随机信号的瞬时值落在指定区间（x,x+x）内的概率对x比值的极限值。 x(t)落在区间（x,x+x）内的时间为Tx:当T趋于无穷大， Tx/T的比值就是幅值落在区间（x,x+x）的概率，即,幅值概率密度函数p(x)为：,不同的随机信号具有不同的概率密度函数图形，可以借此来识别信号的性质：,（a）正弦信号（初始相角为随机量） （b）正弦加随机噪声 （c）窄带随机信号 （d）宽带随机信号,狄里赫利(Dirichlet)充条件,作业1-8：,信号,在一个周期内观测,概率密度,当,当,
