1、第十章 期权与期权定价,期权的基本概念期权的价值及其影响因素期权定价的二叉树方法B-S期权定价方法期权平价定理及其性质期权的动态行为,期货同时有权利和义务期权将权利和义务分离,期货价格,损失,盈利,期货多头,期货空头,期权的概念,利润,标的资产价格,损失,看涨期权多头,看涨期权空头,看跌期权多头,看跌期权空头,期权是一种选择交易的权利，是指当合约买方付出期权费后，享有在特定期间内向合约卖方按照事先约定的执行价格买入或卖出一定数量的标的物的权利。如果这种权利是买进标的物，则期权为买入期权(call option)，也称为看涨期权、择购权；若此权利为卖出标的物，则称为卖出期权(put option
2、)，也称为看跌期权、择售权。 在交易所内进行交易的期权合约是标准化合约，也有一些期权合约不在场内进行交易在场内交易的期权合约，同样有结算所的每日结算和交易保证金要求。由于期权的买方不承担必须履行合约的义务，他们不需要缴纳保证金。,芝加哥期权交易所S&P500指数期权合约文本期权的基本要素基础资产（标的资产）执行价格（约定价格、敲定价格）权利金（期权费）到期日看涨期权和看跌期权（权利类型）欧式期权和美式期权（执行时间）,按照权利的性质分类：看涨期权和看跌期权按标的资产分类：股票期权、外汇期权、利率期权、期货期权等按行权的期限分类：欧式期权、美式期权按期权执行价格与标的资产价格的关系分类：实值期权
3、(in the money)、两平期权(at the money)、虚值期权(out of the money),期权的价值及其影响因素,期权的到期价值与盈亏平衡分析,欧式看涨期权的到期价值例如：对于一个欧式看涨期权，执行价格X=100 如果期权到期时，ST=80，期权价值为0 如果期权到期时，ST=120，期权价值为20所以，对于欧式看涨期权，期权到期时的价值： VCT=max(ST -X,0),欧式看跌期权的到期价值例如：对于一个欧式看跌期权，执行价格X=100 如果期权到期时，ST=80，期权价值为20 如果期权到期时，ST=120，期权价值为0所以，对于欧式看涨期权，期权到期时的价值：
4、 VPT=max(X-ST,0),设看涨期权和看跌期权的期初价格为C0和P0，看涨期权的买方、看涨期权的卖方、看跌期权的买方和看跌期权的卖方盈亏分布为： 看涨期权的买方：VCTC0= max(ST XC0，C0) 看涨期权的卖方：VCT+C0= minXST + C0 ，C0 （看涨期权买方最大盈利可能无限大，卖方最大亏损无限大） 看跌期权的买方： VPTP0= max(XST P0，P0) 看跌期权的卖方：VPT+P0= minP0 X + ST ，P0（看跌期权买方最大盈利是执行价格减期权费，卖方最大亏损是期权执行价格减期权费）,X,ST,看涨期权买方的盈亏分布,-C0,X+C0,ST,X
5、,看跌期权卖方的盈亏分布,P0,X- P0,X-P0,X,ST,看跌期权买方的盈亏分布,-P0,X- P0,X-P0,期权的价值构成,内在价值:,看涨期权:,看跌期权:,时间价值：持有方等待选择是否执行所带来的收益,14,以看涨期权为例：X10。假设无风险利率为0,ST,16 20 执行,14 20 执行,12 20 执行,10 20 不执行,8 20 不执行,期权内在价值为2。如果所有状态都执行，收益等于内在价值；最后一个状态不执行，期望收益2.4。因此时间价值为0.4。,S12,S9,ST,11 20 执行,10 20 不执行,9 20 不执行,8 20 不执行,7 20 不执行,期权内在
6、价值为0。如果所有状态都不执行，收益等于内在价值；第一个状态执行，期望收益0.2。因此时间价值为0.2。,期权价值的影响因素,标的资产价格：标的资产价格越高，看涨期权的价值越大，看跌期权的价值越小；标的资产价格越低，看跌期权的价值越大，看涨期权的价值越小。执行价格：执行价格越高，看涨期权的价值越低，看跌期权的价值越高；执行价格越低，看涨期权的价值越高，看跌期权的价值越低。标的资产的波动率：标的资产的波动率越高，期权的时间价值越高，期权的价值越大。期权的剩余有效时间：对于美式期权，剩余有效时间越长，期权的保险价值越高，期权的价值越大。欧式期权则不一定。,无风险利率：无风险利率越高，投资者购买标的
7、资产所要求的收益率越高，预期未来的标的资产价格就会越高；另外，无风险利率越高，期权未来收益的折现率越高，折现现值越低。对于看跌期权 ，两种影响都使期权价值降低。对于看涨期权，两种影响的方向相反，但前者的影响是主要的，即无风险利率越高，期权价值应该越高。红利：红利的发放使股票价格下降，因此红利越高，看涨期权的价值越低，看跌期权的价值越高。,期权定价的二叉树方法,单期模型股票A的当前价格为10元，一年后的价格有两种可能，12元或9元。无风险利率为5%，行权价格为10元的欧式看涨期权的合理价格是多少？,S0=10,S1=12,S2=9,C0=？,C1=2,C2=0,B0=1,B1=1.05,B2=1
8、.05,股票A：h,看涨期权：-1,无风险资产组合：N,期权的合理价格为：,在本题中，也可以考虑用股票和无风险资产复制一个期权,S0=10,S1=12,S2=9,h0.667,B0=1,B1=1.05,B2=1.05,N-5.71,+,C0=？,C1=2,C2=0,1,例：假设当前股票价格100元，1年后股票价格可能升至115元，或者下降至95元。现有一个股票的欧式看跌期权，执行价格105元，期限1年，无风险利率10%。计算该期权的价值。,S0=100,S1=115,S2=95,P0=？,P1=0,P2=10,B0=1,B1=1.1,B2=1.1,股票A：h,看跌期权：1,无风险资产组合：N,
9、期权的合理价格为：,风险中性定价,股票A的当前价格为10元，一年后的价格有两种可能，12元或9元。无风险利率为5%，行权价格为10元的欧式看涨期权的合理价格是多少？,S0=10,S1=12,S2=9,P,1-P,C0=?,C1=2,C2=0,P,1-P,一般化单期模型,S0=1,S1=u,S2=d,P,1-P,B=1,1+i,1+i,P,1-P,c,cu,cd,P,1-P,一般化多期模型,S,Su,Sd,Su2,Su3,Su4,Su2,S,Sd2,Sd3,Sd2,Sd4,P4,4P3(1-P),6P2(1-P)2,4P (1-P)3,(1-P)4,例：S=10，X=8，T=1，Rf=0.05，
10、N=3，=0.5,S10,101.335323.37,10 1.3352 0.75=13.35,10 1.335 0.752=7.49,10 0.753=4.2,0.45730.0955,30.4572(1-0.457)0.34,30.457(1-0.457)20.404,(1-0.457)30.16,Black-Scholes期权定价方法,股票价格遵循几何布朗运动 1.维纳过程,或,对于任意两个区间 和 ， 和 是相互独立的,当 ，,2.股票价格的几何布朗运动,或者,ITO过程,设服从ITO过程的变量若f(x,t)是x和t的函数，则有：,Black-Scholes期权定价公式,假设标的资产价
11、格遵从几何布朗运动市场无摩擦，没有税收和交易成本，所有资产无限可分，无卖空限制没有红利支付无风险利率不变股票价格增量：期权价格是股票价格的函数，由Ito定理：,构造如下组合：在 期间内因为：,-1 ：看涨期权,：股票,该组合是一个瞬间无风险的组合,Black-Scholes微分方程,设定边界条件：t=T时，求解微分方程可得：由欧式期权平价公式,风险中性等价,欧式看涨期权的期末的期望价值为所以在风险中性世界中，期权的当前价值为：,（根据风险中性假设原理）,求积分得：,正态分布：,例：当前股票价格10元，无风险利率为5%，股票收益率的标准差（年波动率）为0.5，期权执行价格为8元，则剩余期限为1年
12、的欧式看涨被执行的概率是多大，期限为1年的欧式看跌期权被执行的概率是多大？,期权平价定理与期权价格上下限,期权价格的上限与下限,1.期权价格的上限看涨期权的价格不会超过股票的价格 欧式看涨期权： 美式看涨期权：看跌期权的价格不会超过行权价格 欧式看跌期权： 美式看涨期权：,2.不付红利的欧式看涨期权的下限考虑如下两个组合 组合A：欧式看涨期权加的 现金 组合B：一股股票,组合A的价值不小于组合B的价值,例：股票A的当前价格50元，以股票A为标的资产的执行价格为45元欧式看涨期权的价格为4元，无风险利率为0。市场上是否存在套利机会，如果存在，设计套利策略并分析套利交易的现金流。,欧式看涨期权的价
13、格下限为：本例中，c=4 ，S-X=5，显然存在套利机会,例如：2009年6月3日，江铜权证价格2.965元，江西铜业31.14元。权证执行价格15.44元，每4个权证可用于购买1股股票，权证到期日为2010年10月9日。设无风险利率为3，期权剩余期限为1.33年。存在套利机会，套利策略为： 当前现金流 期末现金流 ST15.44 ST4.62,3.不付红利的欧式看跌期权的下限 组合C：欧式看跌期权加一股股票 组合D： 的现金,组合C的价值在不小于组合D的价值,考虑如下组合 组合E：美式看涨期权加 的现金 组合F：一股股票,若提前执行：EF若不提前执行：EF,不付红利的美式看涨期权不应该提前执
14、行,不付红利的美式看涨期权价格下限：,不支付红利的美式期权的提前执行,考虑如下两个组合 组合G：美式看跌期权加一股股票 组合H： 的现金在到期日之前的时刻执行,G:H:,时刻,到期日,G:H:,在到期日之前不执行,G:H:,可见，若 ，提前执行是明智的,若 ，提前执行是不明智的,当美式看跌期权处于深度实值状态时，提前执行是明智的。,看涨期权和看跌期权的关系,1.欧式看涨期权与欧式看跌期权的平价关系考虑如下两个组合 组合I：一个欧式看涨期权加价值为 的资金 组合J：一个欧式看跌期权加一股股票期权到期时的股票价格STX：组合A中资金可以用来执行看涨期权，买入一股股票，组合A最后价值为ST ；组合B
15、看跌价值为0，组合B的价值也是一只股票价值ST 。期权到期时的股票价格ST33 ST33 STL,若美式看跌期权提前执行，例如在时刻执行看跌期权，则在时刻：,K:L:,KL,期权的动态行为,一、基础资产价格对衍生证券价值的影响：得尔塔定义：当基础资产价格S变化一个单位时，对应衍生证券价格f 的变化。如果一个包含衍生证券的资产组合的=0，则该组合的价值将不随基础资产的价格变化而变化构造=0的组合的方法，称为套期保值或对冲,对于不付红利的欧式看涨期权，其为对于不付红利的欧式看跌期权，其为例：根据Black-Scholes期权定价公式计算并查正态分布表得到N(d1)=0.6，N(d2)=0.5，如果
16、某投资者持有100万个看涨期权，他要对这些期权进行套期保值，应如何操作？如果他的投资组合中持有100万个看跌期权，他要对这些期权进行套期保值，应如何操作？,二、基础资产价格对得尔塔的影响：伽马定义：基础资产价格变化一个单位时，对应得尔塔的变化如果一个资产组合的值等于0，则当基础资产价格变动时，该组合的不变采用套期保值的组合，如果=0，则当基础资产价格变动时，可以不用频繁调整其值,对于不付红利的欧式看涨期权，其为对于不付红利的欧式看跌期权，其为,三、到期时间变化对衍生证券价值的影响：希塔定义：当到期日变化一个单位时，衍生资产价格变化的幅度对于期权来说，希塔衡量了随着时间的流逝，期权价值的衰减速度
17、,对于欧式看涨期权来说，根据Black-Scholes微分方程对于欧式看跌期权，根据期权平价定理,四、波动率变化对衍生证券价值的影响：维加定义：当波动率变化一个单位时，衍生证券的价值变化如果组合的=0，则该组合的价值不受波动率变动的影响由于证券的波动率具有时变性， 可以用于对波动率的套期保值,对于不付红利的欧式看涨期权对于不付红利的欧式看跌期权,五、利率变化对衍生证券价值的影响：罗定义：当利率变化一个单位时，衍生证券价值的变化对于不付红利的欧式看涨期权对于不付红利的欧式看跌期权,正态分布随机数产生方法随机数发生器产生12个均匀分布的随机数，计算服从标准正态分布的随机数用正态分布函数的反函数： NORMINV(RAND(),均值，标准差）产生两个均匀分布随机数，计算如下的标准正态分布随机数：,例1：Standard & Poor500指数平均每年收益为10%，年度标准差为17%（月度为5%），则需要有多少年长:能达到以97.7%的置信度水平下有非负的平均收益。12年。对于个股来说，则需要更长时间。例2：如果无风险收益为年度6%，Standard & Poor500指数平均每年收益为10%，年度标准差为17%（月度为5%），则需要有多少年长才能达到以97.7%的置信度水平下有比6%无风险收益更高的平均收益。72年,
