1、几个结论： 1）有两个向量相同（或成比例）的向量组线 性相关,2）向量组的线性相关性与分量的位置无关,3）线性相关的向量组的每个向量各去掉 r 个分量后得到的向量组也线性相关,线性无关的向量组的每个向量都任意添加 r 个分量后得到的向量组也线性无关,4）个数维数，向量组线性相关,定理 设 n 维向量组 构成矩阵,向量组 A 线性无关,矩阵 A 中存在一个不等于 0 的 r 阶子式,向量组 A 线性相关,矩阵 A 中没有不等于 0 的 r 阶子式,推论 n 维向量组 线性无关,所构成的矩阵 A 的秩,n 维向量组 线性相关,所构成的矩阵 A 的秩,含有 D 的 r 个行向量及 r 个列向量 都线
2、性无关,推论 在 矩阵 A 中有一个 r 阶子式,3.4 向量组的秩与极大无关组,一、等价向量组（equivalent sets of vectors）,定义,设有两个 n 维向量组,若A中的每一个向量都能由B中的向量线性表示，则称向量组A能由向量组B线性表示.,若向量组 A 能由向量组 B 线性表示，向量组 B 也能由向量组 A 线性表示，则称向量组 A 与向量组 B 等价. 记为,定理 可由 线性表示,且 线性无关,推论2 两个等价的线性无关向量组所含向量的个数相等.,二、向量组的极大无关组及其性质,定义,1）A 中有 r 个向量 线性无关,设有向量组 A,如果,（即添进任一向量，新向量组
3、线性相关）,2）A 中任一向量可由 线性表示,则称 为向量组 A 的一个极大线性无关组(maximal linearly independent subset)，简称极大无关组.,性质1 一个向量组与它的极大无关组等价,性质3 A1 与 A2 是 A 的极大无关组,A1 与 A2 等价，且所含向量个数相同,性质2 一个向量组的极大无关组不是唯一的,（一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含的向量个数相同）,三、向量组的秩,定义,一个向量组的极大无关组所含的向量的个数称为该向量组的秩.,说明：只含有零向量的向量组没有极大无关组，规定它的秩为0.,结论1 一个向量组线性无关,它的秩等于所含向量的
4、个数,结论2 向量组 A 的秩为 r1，向量组 B 的秩为 r2,向量组 A 能由向量组表示,结论3 等价的向量组有相同的秩,3.5 向量组的秩与矩阵的秩,定义,矩阵行向量组的秩称为矩阵的行秩(row rank)，矩阵列向量组的秩称为矩阵的列秩(column rank).,性质 矩阵的行秩等于矩阵的列秩.,统称为矩阵的秩，即,矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩,性质 设矩阵 A 的某个 r 阶子式 D 是A 的最高阶非零子式,D 所在的 r 个行（列）向量是 A 的 行（列）向量组的一个极大无关组,说明：一个向量组的极大无关组不是唯一的,求向量组的秩以及极大无关组的方法： 将向量组中的向
5、量作为列向量构成一个矩阵, 然后进行初等行变换,说明,2 维向量的集合是一个向量空间,记作 .,一、向量空间,定义 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间(vector space),1集合 对于加法及乘数两种运算封闭指,3. 只含有一个零向量的集合叫做零空间,3.6 向量空间的基本概念,例2 判别下列集合是否为向量空间.,解,解,例 4 齐次线性方程组的解集,是一个向量空间（称为齐次线性方程组的解空间）.因为由齐次线性方程组的解的性质1.2,即知其解集 S 对向量的线性运算封闭.,例 5 非 齐次线性方程组的解集,S,不是向量空
6、间.因为当 S 为空集时，S 不是向量空间；当 S 为非空时，若 则,知 2S.,定义 设有向量空间 及 ，若向量空间 ， 就说 是 的子空间(subspace),实例,二、子空间,设 是由 维向量所组成的向量空间，,三、向量空间的基与维数,定义3 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足,（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基,说明,（3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为,（2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基 就是向量组的极大无关组, 的维数就是向量组的 秩.,即V是基所生成的向量空间.,三、判别向量组的线性相关性，求极大无关组,将向量组中的向量作为列向
7、量构成一个矩阵, 然后进行初等行变换，化为行阶梯形. 可求出矩阵的秩（即向量组的秩）.,向量组线性相关,向量组的秩 r 向量的个数 n,（线性无关）,（r = n）,矩阵A的某个r阶子式D是A的最高阶非零子式,D所在的r个行（列）向量是A的行（列）向量组的一个极大无关组,定义,内积,（inner product）,5.1 预备知识：向量的内积,内积的运算性质,定义 令,称为n 维向量 的长度（或范数）,性质,1）非负性：,2）齐次性：,3）三角不等式：,施瓦茨不等式：,设 为非零向量， 与 的夹角为,定义,若一非零向量组中的向量两两正交，则称 该向量组为正交向量组,是一组非零的正交向量组,线性
8、无关,当 时，称 与 正交（或垂直）,定义 设 n 维向量 是向量空间 V的一个基，若 两两正交，称 为正交基（orthogonal basis）；如正交基中的每一个向量都是单位向量，则称其为标准正交基（normal orthogonal basis）或规范正交基（orthonormal basis）.,例如,就是 的一个规范正交基.,如果 是向量空间 V 的一个标准正交基，那么 V 中任一向量都能由 线性表示. 表示式为：,系数向量 也称为向量 标准正交基 下的坐标.,可求得,这就是向量在标准正交基中的坐标的计算公式. 利用这个公式能方便地求向量的坐标，因此， 在给向量空间取基时常常取标准正交基.,（1）正交化，取 ，,（2）单位化，取,施密特正交化过程,解,例 1 设,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.,再把它们单位化，取,
