1、,1,二重积分的概念及性质,2,二重积分的计算,3,曲线积分,目,录,CONTENTS,1,二重积分的概念及性质,2,二重积分的计算,3,曲线积分,目,录,CONTENTS,曲顶柱体的体积,若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线，且母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y)，设f(x,y)0为D上的连续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.现在来求这个曲顶柱体的体积.,引例,体积=,曲边梯形面积的求法,“分割、近似、求和、取极限”的思想方法,平顶柱体的体积计算,底面积高,曲顶柱体的体积计算,以直线代曲线,以平面代曲面,其中任意两小块 和 除边界外无公共点
2、.其中 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积.,近似、求和 记 为 的直径(即 表示 中任意两点间距离的最大值)，在 中任取一点 ,以 为高而底为 的平顶柱体体积为,取极限 若记 ，则定义,为所讨论的曲顶柱体的体积.,此为小曲顶柱体体积的近似值，故曲顶柱体的近似值可以取为：,定义1 设f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.,分割 用任意两组曲线分割D成n个小块 其中任意两小块 和 除边界外无公共点， 既表示第i小块，也表示第i小块的面积.,二重积分的概念,近似、求和 对任意点 ，作和式,取极限 若 为 的直径，记 若极限,存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点 的取法，称此极限为f(
3、x,y)在D上的二重积分.记为,(2),称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x，y为积分变元， 为面积微元(或面积元素).,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,由这个定义可知，质量非均匀分布的薄板D的质量等于其面密度 在D上的二重积分.因此二重积分 的物理意义可以解释为：二重积分的值等于面密度为f(x,y)的平面薄板D的质量.,(1) 若在D上f(x,y)0，则 表示以区域D 为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.,(2) 若在D上f(x,y)0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下 方，二重积分 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积.,二重积分的几何意义,(3)若
4、f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则 表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶 柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).,二重积分的存在定理 若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积).,二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积的.,性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即,二重积分的性质,性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即,性质3 若D可以分为两个区
5、域D1，D2，它们除边界外无公共点，则,性质4 若在积分区域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区域D的面积，则,性质5 若在D上处处有f(x,y)g(x,y)，则有,推论,性质6(估值定理) 若在D上处处有mf(x,y)M，且S(D)为区域D的面积，则,(3),例1 设D是圆域： ，证明,解 在D上， 的最小值m=e，最大值M=e4，而D的面积S(D)=4=3.由估值公 式(3)得,1,二重积分的概念及性质,2,二重积分的计算,3,曲线积分,目,录,CONTENTS,二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，简称为化为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何意义来引出这种计算方法.,在直角
6、坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两组直线段，将区域D分割成n个小块 从而有,二重积分在直角坐标系下的计算,由定积分的几何应用：设一立体满足 ，,在区间a,b上任取一点x，过该点作垂直于x轴的平面与所给立体相截，若截面面积为S(x)，则所给立体体积,设区域D的边界曲线与平行于y轴的直线至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为,(1),在a,b上取定一点x，过该点作垂直于x轴的平面截曲顶柱体，截面为一曲边梯形.将这曲边梯形投影到Oyz坐标面，它是区间y1 (x),y2 (x)上，以z=f(x,y)为曲边的曲边梯形(将x认定为不变)，因此这个截面的面积可以由对变元y的定积分来表示.,故曲顶柱体的体
7、积，也就是二重积分为,(2),将二重积分化成了先对y积分，后对x积分的二次积分.,需要指出，计算 时，应将x视为常量，按定积分的计算方法解之.,为了简便常记为,同样，设区域D的边界曲线与平行于x轴的直线至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为,(3),在c,d上取定一点y，过该点作垂直于y轴的平面截曲顶柱体，所得截面也为一曲边梯形.若截面面积为S(y)，则,所给立体体积:,因此,(4),即化成先对变元x积分，后对变元y积分的二次积分.,先对x积分时， 中的y应视为常量，按定积分的计算方法解之.,在上述讨论中，我们假定f(x,y)0，但是实际上，上述结论并不受此限制.,如果积分区域D的边界曲线与
8、平行于坐标轴的直线相交，其交点多于两个，则先将区域D划分为几个子区域，其中每个子区域的边界曲线与平行于坐标轴的直线相交时，交点不多于两个，用前述方法及重积分的可加性可求区域D上的二重积分.,为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常可以采用下述步骤：,(1) 画出积分区域D的图形.,若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界线的交点不多于两点，那么确定关于y积分限的方法是：,作平行于y轴的直线与区域D相交，所作出的直线与区域D先相交的边界曲线y=y1(x)，称之为入口曲线，作为积分下限.该直线离开区域D的边界线y=y2(x),称之为出口曲线，作为积分上限.,而后对x积分时，其积分区间为区域
9、D在Ox轴上投影区间a,b，a是下限，b是上限，即,如果所作出的平行于y轴的直线与区域D相交时，在不同的范围内，入口曲线或出口曲线不同，则应该将积分区域D分为几个部分，在每个部分区域上，所作出的直线与区域D的入口曲线与出口曲线唯一确定.,例1 用二重积分计算由平面2x+3y+z=6和三个坐标平面所围成的四面体的体积.,解 即求以z=62x3y为顶，以ABC围成区域D为底的柱体体积.也就是计算二重积分,解法1 先对y积分.,作平行于y轴的直线与区域D相交，入口曲线为y=0，作为积分下限.出口曲线为 ，作为积分上限.,解法2 也可先对x积分，作平行于x轴的直线与区域D 相交，沿x轴正向看，入口曲线
10、为x=0，作为积 分下限，出口曲线为 ，作为积分上限.积分区域D在y轴上投影区间为0,2，,这个结果与我们熟知的四面体的体积是一致的.,例2 计算积分 ，其中D是正方形区域：,解 像这样的正方形区域可以不必画，即得,例3 计算积分 ，其中D是由y=x，y=0和 所围成的三角形区域.,解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与积分 区域D相交，沿着y的正方向看，入口曲线为y=0，出口曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间为 .,解法2 先对x积分. 作平行于x轴的直线与积分区域D相交，沿x轴的正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为 .D在y轴上的投影区间为 .故,例4 计算积分 ，其中D由 y0
11、确定.,解法1 先对y积分， 作平行于y轴的直线与区域D相交，沿着y轴正方向看，入口曲线y=0；出口曲线为 ，因此,解法2 先对x积分. 作平行于x轴的直线与区域D相交，沿着y轴正方向看，入口曲线为 ，出口曲线为 ，因此,比较两种解法可知，解法1比解法2简便些.说明将二重积分化为二次积分时，应注意选择积分次序.,例5 计算积分 ，其中D是由不等式： 所确定的长方形区域.,解 这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即,例6 交换二次积分 的符号分次序.,解 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分 别为D1与D2.先依给定的积分限将积分区域Di用 不等式表示：,如果转换为先对y积分，后对x积分，只需作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方向看，入口曲线为y=x，出口曲线为y=2x，因此 在D中 ，,1,二重积分的概念及性质,2,二重积分的计算,3,曲线积分,目,录,CONTENTS,
