1、1,期末复习 2010-2011-2,2,1. 已知 P(A)=0.7,P(B)=0.3,P(A-B)=0.5, 求P(B-A).,解: P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.5 P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.2从而 P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.3-0.2 =0.1.,2. 计算8 个人生日不同月份的概率.,解: 总数n=128,m=A128,则,3,3. 已知P(A)=P(B)=1/2,P(A|B)=1/4, 求,解: 由已知有,P(AB)=P(B)P(A|B),=1/8,又,=1-P(A)-P(B)+P(AB),=1/8,因此,4,4. 有甲、乙两个同型号的箱子,甲
2、箱中装有5个红球3个白球,乙箱中装有6个红球4个白球. 现在任意取一箱,再从该箱中任意取出一球. 求 (1)恰好取到甲箱的白球的概率；,解：设A=取到甲箱, B=取到白球, 则,(2) 取到白球的概率.,5,5. 从120的整数中取一个数, 若取到整数k的概率与k成正比, 求取到偶数的概率.,解:设随机变量的表示取到的整数, 则P=k=k,因此 的取偶数的概率为,6,6. 设离散型随机变量X的分布律为,求X的分布函数F(x)及概率P0X1.5.,解: X的分布函数F(x)为,P0X1.5= PX=0+PX=1=0.3+0.5=0.8.,7,7. 设离散型随机变量X的分布函数为,(1) 求X的概
3、率分布； (2) 求PX2|X0.,8,解:(1)X的可能值为0,1,2,3,由PX=xk=F(xk)-F(xk-0)得,PX=0=F(0)-F(0-0),=0.1;,PX=1=F(1)-F(1-0),=0.4-0.1=0.3,PX=2=F(2)-F(2-0),=0.8-0.4=0.4,PX=3=F(3)-F(3-0),=1-0.8=0.2.,X的概率分布表为,9,8. 二维随机变量(X,Y)的联合分布律为,求(1) X,Y的边缘分布律;,解:(1) P(Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=0)=0.7;P(Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=1)=0.3;,X的边缘分
4、布律为,Y的边缘分布律为,10,(2)P(Y=0|X=0), P(Y=1|X=0);,X与Y的边缘分布律为,P(Y=0|X=0)=P(Y=0,X=0)/P(X=0),=2/3;,P(Y=1|X=0)=P(Y=1,X=0)/P(X=0),=1/3.,(3)判断X与Y的独立性.,P(Y=0,X=0)P(Y=0)P(X=0),因此X与Y不独立.,11,9. 已知连续型随机变量X的分布函数为,求: (1) A,B的值; (2) P-1X1 (3) 概率密度f (x).,解:,因此,12,解: 由题可知XN(160, 2),且P120X2000.80,10. 工厂生产的某种元件的寿命X(小时)服从正态分
5、布N(160,2), 其中2未知.若要求P120X2000.80, 允许最大为多少?,即,因此,即 31.25.,13,11.设随机变量X的分布律为,求(1) a , (2)Y=X2的概率分布.,解:(1)由pi=1可知,2a+0.1+3a+a+a+2a=1,因此 a=0.1, (2)Y=X2的概率分布为,14,12.设随机变量X的分布律为,求EX,E(3X2+5), D(X).,解:EX=-20.1-10.3+00.2+10.3+30.1=0.1;,EX2= 40.1+10.3+00.2+10.3+90.1=1.9; E(3X2+5)= 3E(X2)+5=31.9+5=10.7; D(X)=
6、E(X2)-E(X)2=1.9-0.12=1.89.,15,13. 已知XB(n,p),且EX=3,DX=2, 求X的全部取值, 并计算P(X8).,解: 由于XB(n,p),则EX=np,DX=np(1-p), 即 np=3, np(1-p)=2,从而 n=9,p=1/3,因此X的全部可能取值为0,1,9.,14. 设 是 的无偏估计, 且有,试证: 不是 2的无偏估计.,证明:由已知有,则,15.设(x1, x2, xn)为从总体X中取出的样本观察值,试用最大似然估计法估计总体X的概率密度函数中的参数:,解: 由已知可得似然函数,相应的对数似然函数是,对对数似然函数求导可得,解正规方程:,
7、16. 设X1,X2,Xn是来自于参数为的泊松分布的随机样本, 试求的最大似估计.,解:由于XP(),则,相应的似然函数为,相应的对数似然函数是,对对数似然函数求导可得,解正规方程:,17.设(x1, x2, xn)为从总体X中取出的样本观察值,试用最大似然估计法估计总体X的概率密度函数中的参数:,解: 由已知可得似然函数,相应的对数似然函数是,对对数似然函数求导可得,解正规方程:,23,18. 已知XU(0,6), Ye(3),且X与Y相互独立,求E(XY),D(XY).,解: 由于XU(0,6),Ye(3),且X与Y相互独立, 则EX=3, DX=3, EY=1/3,DY=1/9.(1)
8、E(XY)=1;(2) D(XY)=E(XY)2-E(XY)2=EX2Y2-1=E(X2)E(Y2)-1E(X2)=D(X)+E(X)2=3+9=12,E(Y2)=D(Y)+E(Y)2=1/9+1/9=2/9,因此D(XY)=8/3-1=5/3.,24,19. 某灯泡厂某天生产了一大批灯泡, 从中抽取了7个进行寿命X实验,得到数据：1510,1460,1520,1490,1480, 1500,1520 (1) 已知XN(,16 2),估计灯泡寿命的置信区间(=0.05).,解:,确定统计量,已知: =0.05,即 (u0.05)=1-0.025,因此, u0.05=1.96,又,确定概率表达式
9、,25,带入已知数据，,即,因此在5%的显著性水平下灯泡寿命的置信区间为(1485，1509).,26,(2) 已知XN(, 2), 2未知, 估计灯泡寿命的置信区间(=0.05).,解:,确定统计量,已知: =0.05,即 t0.05(6)=2.45,确定概率表达式：,27,(3) 已知XN(, 2), ,2未知, 估计灯泡寿命的标准差的置信区间(=0.05).,解:,确定统计量,已知=0.05,因此,确定概率表达式：,即标准差的95%的置信区间为,28,带入已知数据，,即,因此在5%的显著性水平下灯泡寿命的标准差的置信区间为(5.79，48.39).,29,20. 某班高等数学成绩XN(, 2), 其中, 2均未知. 随机抽取容量为25的样本, 测得样本均值为86, 样本标准差s=5, 已知全校高等数学平均分数为83. 试问在5%的显著性水平下该班的成绩与全校成绩有无显著差异.,解: n=25, 总体分布为是正态分布, 且 0=83,提出检验假设,H0: =83 H1: 83,构造检验统计量,确定临界值t/2: t0.025(24)=2.06,30,根据已知计算检验统计量的值:,样本标准差s=5, 则,统计判断: 由|t|t0.025(24)可知应拒绝H0, 接受H1, 即在显著性水平=5%下该班的高等数学成绩与全 校的平均分数有显著的差异.,
