1、,第十二章 达朗贝尔原理,2,本章介绍动力学的一个重要原理达朗贝尔原理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法，因而也称动静法。,动力学,121 惯性力的概念 质点的达朗贝尔原理 122 质点系的达朗贝尔原理 123 刚体惯性力系的简化 124 达朗贝尔原理的应用 125 定轴转动刚体的轴承动反力 静平衡与动平衡的概念,第十二章 达朗贝尔原理,4,12-1惯性力的概念 质点的达朗贝尔原理,人用手推车,动力学,力 是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。,定义：质点惯性力
2、 加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。,一、惯性力的概念,5,动力学,注 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。,6,动力学,非自由质点M，质量m，受主动力 ， 约束反力 ，合力,质点的达朗贝尔原理,二、质点的达朗贝尔原理,该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。,7,动力学,例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车厢的加速度 。,8,动力学,选单
3、摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力,角随着加速度 的变化而变化，当 不变时， 角也不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 。摆式加速计的原理。,解：,由动静法, 有,解得,9,动力学,12-2 质点系的达朗伯原理,对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：,设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有,注意到 , 将质点系受力按内力、外力划分, 则,10,动力学,表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。,11,动力学,对平面任意力系：,对于空间任意力系：,实际应用时, 同静力学
4、一样任意选取研究对象, 列平衡方程求解。,用动静法求解动力学问题时，,12,动力学,12-3 刚体惯性力系的简化,简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 和一个惯性力偶 。,无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。,13,动力学,一、刚体作平动,向质心C简化：,刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。,14,动力学,空间惯性力系平面惯性力系（质量对称面）O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：,主矢：主矩：,二、定轴转动刚体,先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面的简单情况。,O,
5、直线 i : 平动， 过Mi点，,15,动力学,作用在C点,作用在O点,16,动力学,讨论：,刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。,17,动力学,讨论：,转轴过质点C，但0，惯性力偶 （与反向）,18,动力学,讨论：,19,动力学,假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。,刚体平面运动可分解为随基点（质点C）的平动：绕通过质心轴的转动： 作用于质心,三、刚体作平面运动,20,动力学,对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：,实质上：,21,动力学,例1 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位置静止落下。
6、求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。,选杆AB为研究对象 虚加惯性力系：,解：,根据动静法，有,22,动力学,23,动力学,选取研究对象。原则与静力学相同。 受力分析。画出全部主动力和外约束反力。 运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出 方向。,应用动静法求动力学问题的步骤及要点：,虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要 在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。,12-4 动静法的应用,24,动力学,列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 求解求知量。,注 的方向及转向已在受力图中标出，建立方
7、程时，只需按 代入即可。,25,动力学,例2 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。,取轮为研究对象 虚加惯性力系：,解：,由动静法，得：,O,26,动力学,由(1)得,由(2)得 N= P +S，要保证车轮不滑动，必须 Ff N =f (P+S) (5),可见，f 越大越不易滑动。 Mmax的值为上式右端的值。,把(5)代入(4)得：,O,27,动力学,例3 质量为m1和m2的两重物，
8、分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为I，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。,取系统为研究对象,解：,方法1 用达朗伯原理求解,28,动力学,虚加惯性力和惯性力偶：,由动静法：,列补充方程： 代入上式得：,29,动力学,方法2 用动量矩定理求解,根据动量矩定理：,取系统为研究对象,30,动力学,例4 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M， 试求：(1)鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？ (3)轴承O处的支
9、反力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？,31,动力学,解：方法1 用达朗伯原理求解取轮O为研究对象，虚加惯性力偶,列出动静方程：,取轮A为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MQC如图示。,32,动力学,列出动静方程：,运动学关系： ，,将MQ，RQ，MQA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：,33,动力学,代入(2)、(3)、(5)式，得：,34,动力学,12-5 定轴转动刚体的轴承动反力 静平衡与动平衡的概念,一、刚体的轴承动反力 刚体的角速度 ，角加速度（逆时针） 主动力系向O点简化: 主矢 ,主矩 惯性力系向O点简化: 主矢 ,主矩,35,动力学,36,动力学,
10、根据动静法：,其中有五个式子与约束反力有关。设AB=l , OA=l1, OB=l2 可得,37,动力学,由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能消除，称为静反力；一部分是由于惯性力系的不平衡引起的，称为附加动反力，它可以通过调整加以消除。,使附加动反力为零，须有,38,动力学,当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。,39,动力学,静平衡：刚体转轴过质心，则刚体在仅受重力而不受其它主动力时，不论位置如何，总能平衡。 动平衡：转动为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力。,二、静平衡与动平衡的概念,40,动力学,例1 质量不计的刚轴以角速度匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？,静平衡： (b)、 (d),动平衡： ( a),41,动力学,动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。,本章结束,作业：12.12；12.13；12.14；,
