1、1 、重点内容： 傅里叶定律及其应用； 导热系数及其影响因素； 导热问题的数学模型。 2 、掌握内容：一维稳态导热问题的分析 解法 ；3 、了解内容：多维导热问题 ，具有内热源的导热问题。定性导热基本概念，傅里叶定律 定量温度场求解，导热量计算,第二章 稳态热传导,基本要求：,2-3 典型一维稳态导热问题的分析解,2-1 导热基本定律-傅里叶定律,2-5 具有内热源的一维导热问题,2-4 通过肋片的导热,2-2 导热问题的数学描写,2-6 多维稳态导热的求解,2-1 导热基本定律傅里叶定律,回顾定义,一、温度场,第一章中,（1-2）,的适用条件为一维均匀导热问题，如图,0,x,t,试问：如图,
2、，,式（1-2）可用吗?（多维）,0,y,x,不能！ 因为t同时在x、y方向变化，,变化（在x方向上）,温度场、等温线概念,（2-1）,（2-2）,变化（在y方向上）,温度场 Temperature field：各时刻物体中各点温度所组成的集合-温度分布,物体中任一点温度,若,，则为稳态温度场,若,，则为非稳态温度场,平行平面间的温度场 稳态一维温度场,对应,非稳态导热 非稳态温度场,稳态导热 稳态温度场,引入温度变化率：,傅里叶定律为,，,，,（在x方向传导的热量，在y方向上亦类似 ),（2-3）,（2-4）,0,y,x,二、向量形式的傅里叶定律, 、温度梯度,如图，等温面（,，,，,）,梯
3、度指向量变化最剧烈方向，法向方向，,则温度梯度为,在空间坐标，则,q=?,2、傅里叶定律的向量表达式,（2-5）,热流密度矢量,可见：（1）热流方向同温度梯度方向相反；,（2）热流线（方向）垂直于等温线。,见图,说明,三、导热机理及导热系数,（一）导热系数实际值由专门实验测定,（二）其定义式由傅里叶定律的数学式给出,，,（2-6）,分子热运动,（三）导热系数同温度的关系,（1）,与,有关！,为某温度下的,常用材料的,见附录211,（2）具有线性关系,常用保温、隔热材料的,值见附录4,1992年国家标准规定：导热系数小于0.12w/（mk） 20世纪50年代是0.23，80年代是0.14，,（四
4、）,同空间方向的关系,各向同性材料（ 恒同）,各向异性材料，,例：枕木，垂直木纹方向,平行木纹方向,P557 附录3 松木, 2-2 导热问题的数学描写,（ 一）一维导热,积分,为常数时,一、导热微分方程,（二）多维导热,，,，,，,即,t 在x，y，z，方向均有变化，,且随时间变化,如图：在物体内取一微元平行六面体，,设物体各向同性。,存在,6,为常数,gradt？,或q？,t=f（x,y,z,）？,傅里叶定律+热力学第一定律,非稳态时热力学能（内能）增量：,内热源生成热：,6,内热源：例如电器及线圈中有电流通过时的发热，化工中的放热、吸热反应以及核能装置中燃料元件的放射反应等。 w/m3,
5、在x、y、z方向上，,流入热流量：,（a）,流出热流量：,同理：,（b）,非稳态时热力学能（内能）增量：,内热源生成热：,（d）,（e）,根据热平衡方程（热力学第一定律）,（2-7）,式（a）（b）（d）（e）代入（c）并整理,流入的总热流量+内热源生成的热量,=内能增量+流出的总热流量 （C）,+,+,=,U,导入微元体的净热流,内热源生成热,（2-8）,式中，定义,热扩散率（导温系数）,a的物理意义：反映物体导热时使内部温度趋向均匀的能力大小,a内部温度变化得越快,式（2-8）为常物性、非稳态、有内热源的导热微分方程式,一般形式的导热微分方程式,（三）导热微分方程式的几种形式,1、导热系数
6、=const,2、导热系数为常数，无内热源：,3、常物性、稳态：,4、常物性、无内热源、稳态：,（2-9）,（2-10）,（2-11）,（五）圆柱坐标或球坐标中的导热微分方程式,针对式（2-7），,转换成圆柱坐标（对于轴对称物体）：,（2-12）,球坐标（适用于点对称物体）：,（2-13）,注：（1）无内热源、稳态导热，,令,，,即可。,（2）无内热源的稳态一维、二维导热，,再令,（或,）,导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能量守恒。它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；没有涉及具体、特定的导热过程，是通用表达式。,单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件。,二、定解条件,（2-7）,通
7、解,定解？,包括四项：几何、物理、初始、边界,1、几何条件：,2、物理条件：,3、初始条件：,、边界条件:,完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件,说明导热体的几何形状和大小，如：平壁或圆筒壁； 厚度、直径等。,说明导热体的物理特征如：物性参数 、c 和 的 数值，是否随温度变化；有无内热源、大小和分布。,又称时间条件，反映导热系统的初始状态。,反映导热系统在界面上的特征，也可理解为系统与外 界环境之间的关系。,（Boundary conditions）边界条件常见的有三类,（）第一类边界条件:该条件是给定系统边界上的温度分布，它可以是时间和空间的函数，也可以为给定不变的常数值tw=常量,
8、（2）第二类边界条件:该条件是给定系统边界上的温度梯度，即相当于给定边界上的热流密度，它可以是时间和空间的函数，也可以为给定不变的常数值qw=常量,（3）第三类边界条件:该条件是第一类和第二类边界条件的线性组合，常为给定系统边界面与流体间的换热系数和流体的温度，这两个量可以是时间和空间的函数，也可以为给定不变的常数值,导热微分方程单值性条件求解方法 温度场,（2-17）,（4）辐射边界条件,（2-19）,(5) 接触边界条件.数学表达形式：,导热微分方程式（为常数）,非稳态、无内热源：,稳态、有内热源：,稳态、无内热源：,（2-9）,（2-10）,（2-11）,一般形式：,（2-8）,2-3
9、典型一维稳态导热问题的分析解,（2-7）,导热微分方程式（为变量）,（一） 单层平壁的导热,a 几何条件：单层平板；,b 物理条件：、c、（常数） 已知；无内热源,c 时间条件：,d 边界条件：第一类,一、通过平壁的导热,1、求温度分布,dx,根据上面的条件可得：,第一类边条：,微分方程,边界条件,导热微分方程单值性条件求解方法 温度场,直接积分，得其温度分布通解：,带入边界条件：,求解方法,得 温度分布：,呈线性分布,若,由,2、求热流密度,根据傅里叶定律 对式 求导：,（2-21）,（2-20）,3、导热热阻,定义面积热阻：,（2-23）,热阻,对于研究多层平壁导热问题很有用,（二）通过多
10、层平壁的导热（,为常数）,1、以三层为例：,a)求导热量,：（,，,，材料，尺寸）,，,，,则,（2-24）,n层：,（2-25）,11 22 33,b)求界面温度,，,又,注意：（a）每层线性分布，tx,（b）每层线性分布之斜率不一定相同,（2-26）,2、对于多层平壁（设n层）,则,问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？,第一层：,第二层：,第 i 层：,导热环节越多，串联的热阻就越多，总热阻相对来说就越大，相同温差下传递的热量越少，越有利于隔热。,在推导多层壁导热的公式时，假定了两层壁面之间是保持了良好的接触，要求层间保持同一温度。而在工程实际中这个假定并不存在。因为任
11、何固体表面之间的接触都不可能是紧密的。,在这种情况下，两壁面之间只有接触的地方才直接导热，在不接触处存在空隙。,热量是通过充满空隙的流体的导热、对流和辐射的方式传递的，因而存在传热阻力，称为接触热阻。,接触热阻是普遍存在的，而目前对其研究又不充分，往往采用一些实际测定的经验数据。通常，对于导热系数较小的多层壁导热问题接触热阻多不予考虑；但是对于金属材料之间的接触热阻就是不容忽视的问题。,【例】锅炉炉墙由三层材料组成：内层为耐火砖，厚度为230 mm，导热系数为1.1 W/(mK)；中间层为石棉隔热层，厚度为60 mm，导热系数为0.1 W/(mK)；外层为红砖，厚度位240 mm，导热系数为0
12、.58 W/(mK)。已知炉墙内外表面的温度分别为500和50，试求通过炉墙的热流密度与各层接触面处的温度。解：由 qt/ (RAi)(t1-t4)/(1/1+ 2/2+ 3/3）又因： 1/10.21 (m2K)/W 1/10.60 (m2K)/W 1/10.41 (m2K)/W 所以：q368.9 W/m2 由 tit1-q ( i-1/i-1) 所以： t2t1-q (1/1)422.5 t3t2-q (2/2) t1-q (1/1+ 2/2) 201.2,解：,为常数,如图，认为一维导热,(,),二、通过圆筒壁的导热,1、条件：无内热源、稳态、,2、基本方程：,（2-25）,积分一次：
13、,再积一次：,（i）,用圆柱坐标，有导热微分方程式,（2-12）,3、定解条件,边界条件,代入式（i）,于是，式（i）成为,4、温度分布,（2-28）,5、热流量,变化,（2-30）,对数分布,由式（2-28），温度梯度,（2-29）,（2-29）,6、热阻,（2-31）,则：,7、多层圆筒壁的导热热流量（由多层平壁扩展来）,三层：,（2-32）,内容回顾,平壁：,一维稳态导热问题,圆管：,三、各向同性的变导热系数 变截面 的处理方法1、一维稳态无内热源的情况,分离变量，积分：,=,2 无内热源，A为常数，不为常数,0、b为常数,最后可求得其温度分布,二次曲线方程,其抛物线的凹向取决于系数b的
14、正负。 （1）当b0，=0(1+bt)，随着t增大，增大，即高温区的大于低温区。据=-A(dt/dx)，所以高温区的温度梯度dt/dx较小，而形成上凸的温度分布。 （2）当b0，=0(1+bt)，随着t增大，减小，高温区的温度梯度dt/dx较大。,式中,从中不难看出，为平壁两表面温度下的导热系数值的算术平均值，亦为平壁两表面温度算术平均值下的导热系数值。,3 稳态、一维有内热源，为常数,如果平壁内有均匀的内热源 ，且认为导热系数为常数和平壁两边温度相等。,积分后：,温度分布：,讨 论,解,如图所示：三种不同材料的平板a，b，c，左侧处于相同的温度t1，在稳定状态下，如果传递的热量相同，三种材料
15、平板内部温度分布如图所示，则三种材料的导热系数哪个最大？哪个最小？请排列。 a b c,冷流体水从冷水泵通过管道DA段上水至锅炉，在AB段管道吸收热量变成满足热用户要求的热水，通过BC段管道送给热用户，由于长期使用，在整个管道上管内结了厚厚的一层水垢，管外落了一层厚厚的灰尘，试分析这些尘垢的利弊。,自学： 三、通过球壳的导热 四、其他变截面或变导热系数问题,作业：P89-92 2-2，2-9，2-14，2-17,请认真看懂 P50 ：例题2-1 （单层壁）例题2-2 （多层壁） 例题2-3 （水垢）例题2-5 （圆管壁）,2-4 通过肋片的导热,基本概念 1 、肋片：指依附于基础表面上的扩展表
16、面 2 、常见肋片的结构：针肋 直肋 环肋等 3 、肋片导热的作用及特点 1 ）作用：增大对流换热面积及辐射散热面积, 以强化换热；,方肋,暖气片,2 ）特点：在肋片伸展的方向上有表面的对流换热及辐射散热， 肋片中沿导热热流传递的方向上热流量是不断变化的。即： const 。 4 、分析肋片导热需解决的问题 一是：确定肋片的温度沿导热热流传递的方向是如何变化的？ 二是：确定通过肋片的散热热流量有多少？,一、通过等截面直肋片的导热,如图：,，,，,，一维导热,横截面面积：,周 长：,分析： 1、假设 1 ）肋片垂直于纸面方向 (深度方向 ) 很长，不考虑温度沿该方向的变化，因此取单位长度分析；
17、2 ）材料导热系数 及表面传热系数 h 均为常数，沿肋高方向肋片横截面积 不变； 3 ）表面上的换热热阻 1/h ，远大于肋片的导热热阻 / ，即肋片上任意截面上温度均匀不变； 4 ）肋片顶端视为绝热，即 dt/dx=0 ；,2、微元导热分析,已经学了导热微分方程式，对流换热与导热的关系未学 处理方法：将散热量认为有内热源（热源是负的） 则导热类型为：一维、稳态、有内热源类型的导热问题,由,（2-8）,则,（a）,，,代入（a）式：,（c）,，,（d）,（2-38a）,定义过余温度,为一正常数，表征肋片导热性能、换热性能及几何结构之间的相对关系。,即为等截面直肋片的导热微分方程式,属二阶一次微
18、分方程式，数学的通解,（e）,3、假设直肋端面绝热时的特解,（绝热端面同流体间无对流换热，,亦导热为0，,）,边界条件,（1）,(2),代入式（e），有,联解，得,注意 双曲函数,（2-39）,分析：,（1）肋端温度,（2）通过肋根的热流量（肋的散热量）,=,（2-41）,（2-40）,4、讨论,（1）以上各式是假设,，,即端面,，绝热条件下的,当小、H长时，以上假设可用，误差小,（2）,，即一维假设，绝大部分肋片,引起误差,（3）实际影响大的是,的不均匀性,（4）肋端换热的Harper-Brown近似，当必须考虑肋端面散热时，也可以采用近似修正方法，将通过肋端面的换热量折算到侧面上去，相当于
19、肋加高为(H+H)，其中对于矩形肋H/2,随着mH的增大，肋片的散热量随之逐渐增加，一开始增加很迅速，但后来越来越缓慢，逐渐趋于一渐近值。这说明，增大mH虽然可以增加肋片的散热量，但增加到一定程度后，再增大mH所产生的效果已不显著，因此需要考虑经济性问题。,温度计套管测温误差分析 压气机设备的储气筒里的空气温度，用一支插入装油的套管中的玻璃水银温度计来测量。如图所示。已知温度计的读数为t，储气筒与温度计套管连接处的温度 ，套管高H，壁厚管材的导热系数为 ，套管外表面传热系数为h。,例：一实心燃气轮机叶片，高度h=6.25mm，横截面积A4.65cm2，周长P12.2cm，导热系数22W/ (m
20、）。燃气有效温度tge=867K，叶根温度tr=755K，燃气对叶片的总换热系数h390W/ (m2）。假定叶片端面绝热，求叶片的温度分布和通过叶根的热流。解：,二、通过环肋及三角截面直肋的导热,对于等截面直肋：,，,其中,若,变，,则求解要复杂的多，有较多数学方程,只介绍这些理论解的结果：,1、定义肋效率：,假设整个肋表面处于肋基温度下的散热量,实际散热量,即,例：等截面直肋,（2-42）,（牛顿冷却公式）,可见,由此可以看出影响矩形肋片效率的主要因素有： (1) 肋片材料的的导热系数：导热系数愈大，肋片效率愈高； (2) 肋片高度H：肋片愈高，肋片效率愈低；(3) 肋片厚度：肋片愈厚，肋片
21、效率愈高； (4) 表面传热系数h：h愈大，即对流换热愈强，肋片效率愈低。,2、各种肋片的效率曲线,若,，,（2-44）,P64-65：图2-19，图2-20等,肋片应选用导热系数较大的材料；当和h 都给定时m随P/A的降低而减小。P/A取决于肋片几何形状和尺寸f 80%的肋片经济实用. 变截面肋片：保持散热量基本不变并减轻肋片重量、节省材料,3、用效率曲线进行实际导热量计算,步骤,（1）由已知条件及效率曲线之说明计算,（2）由此值查效率曲线的,（3）计算：,（4）实际散热量,自学： 四版：P61例题2-6, 2-7，2-8 2-5， 2-6略 作业：四版P98 2-54；2-55 (参考例题2-6，铜40.0 钢63.86)， （提示：这是等截面直肋； 中间截面指x=h/(H/2)； 求肋基处Q）,
